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Théorie analytique des nombres
La théorie analytique des nombres est la branche de la théorie des nombres qui utilise les méthodes de l'analyse mathématique. Son premier succès majeur fut l'application de l'analyse par Dirichlet pour la démonstration du Théorème de Dirichlet (existence d'une infinité de nombres premiers dans toute progression arithmétique an+b, lorsque a et b sont des entiers premiers entre eux). Les démonstrations du théorème des nombres premiers basées sur la fonction Zeta de Riemann représentent une autre étape.
Le développement des ramifications de la discipline, reste similaire à celui de la discipline qui fut à son apogée dans les années 1930. La théorie multiplicative des nombres traite de la distribution des nombres premiers, utilisant les séries de Dirichlet comme fonctions génératrices. Il est supposé que les méthodes s'appliqueront finalement aux fonctions L générales, bien que cette théorie soit encore largement hypothétique. La théorie additive des nombres concerne les problèmes typiques comme la conjecture de Goldbach ou le problème de Waring.
Les méthodes ont quelque peu évolué. La méthode du cercle de Hardy et Littlewood avait été conçue comme appliquant aux séries entières près du cercle unité dans le plan complexe ; on y pense désormais en termes de somme exponentielle limitée (c'est-à-dire, sur le cercle unité, mais avec les séries entières tronquées). Les besoins de l'approximation diophantienne sont pour les fonctions auxiliaires qui ne sont pas des fonctions génératrices - leurs coefficients sont construits par l'utilisation d'un principe du casier - et impliquent plusieurs variables complexes. Les champs de l'approximation diophantienne et la théorie transcendantale ont pris de l'expansion, au point que les techniques ont été appliquées à la Conjecture de Mordell.
Le plus grand changement technique unique après 1950 fut le développement des méthodes du crible comme un outil auxiliaire, particulièrement dans les problèmes multiplicatifs. Elles sont combinatoires par nature, et plutôt variées. Les utilisations de la théorie probabiliste des nombres sont aussi souvent citées - formes d'assertions de distributions aléatoires sur les nombres premiers, par exemple. Celles-ci n'ont pas reçu une forme définitive. La branche extrême de la théorie combinatoire a en retour été très influencée par la valeur placée dans la théorie analytique des nombres sur des limites quantitatives supérieures et inférieures.
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