Inégalité de Hölder

En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l'honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces de fonctions L^p et aux espaces de suites $\ell^p$ .

Sommaire

1 Enoncé
2 Applications
3 Cas particuliers
4 Généralisation
5 Voir aussi
6 Bibliographie

Enoncé

Soient S un espace mesuré, deux nombres réels p et q satisfaisant 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1, puis deux fonctions f et g définies sur S et appartenant respectivement aux espaces L^p(S) et L^q(S). Alors le produit f g appartient à L¹(S) et sa norme satisfait l’inégalité de Hölder :

$\|fg\|_1 \le \|f\|_p \ \|g\|_q.$

De plus, il y a égalité si et seulement si $f^p\$ et $g^q\$ sont colinéaires presque partout (pp), c'est-à-dire s’il existe $α$ et $β$ non simultanément nuls tels que $\alpha f^p + \beta g^q = 0 \$ pp.

Applications

L’inégalité de Hölder permet d’établir la relation de dualité entre les espaces L^q et L^p.

Elle intervient comme argument permettant de montrer l’inégalité de Minkowski qui est l'inégalité triangulaire pour la norme de L^p.

Cas particuliers

Inégalité de Cauchy-Schwarz :

C’est l’inégalité de Hölder lorsque p = q = 2.

Dimension finie :

Soit S l’ensemble {1,...,n} avec la mesure de dénombrement et 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1. Pour tout couple de vecteurs $\vec x$ et $\vec y$ de $\R^n$ (ou de $\C^n$ ), alors

$\sum_{k=1}^n |x_k \ y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}.$

En dimension finie, l'inégalité de Hölder peut être démontrée en exprimant les conditions d'optimalité d'un problème de minimisation d'une fonction linéaire sur la boule unité pour la norme $\ell_p$ : voir la section Inégalités de Hölder.

Suites :

L’inégalité précédente se généralise aux suites (ou aux séries selon le point de vue) : si $(x k)$ et $(y k)$ sont respectivement dans les espaces de suites $\ell^p$ et $\ell^q$ , alors la suite « produit terme à terme » $(x_k \, y_k)$ est dans $\ell^1$ .

Généralisation

L’inégalité de Hölder se généralise à plus de 2 fonctions, ceci de la manière suivante :

Soient m réels $p k$ satisfaisant $\sum_{k=1}^m 1/p_k =1$ et m fonctions ${f}_k \in {L}^{p_k}(S)$ . Alors le produit $\prod_{k=1}^m {f}_k \in {L}^1(S)$ et sa norme satisfait

$\|\prod_{k=1}^m {f}_k\|_1 \le \prod_{k=1}^m \|f_k\|_{p_k}.$

De plus, il y a égalité si et seulement si les $f_k^{p_k}$ sont colinéaires pp.

Démonstration

Lemme : Pour tout vecteur $\vec u \in \R^m$ (ou $\C^m$ ), alors $\sum_{k=1}^m \frac{1}{p_k} = 1$ implique

$\prod_{k=1}^m |u_k|^{1/p_k} \leq \sum_{k=1}^m \frac{1}{p_k} |u_k|.$

Preuve

Sans restreindre la généralité, supposons qu’aucune composante de $\vec u$ est nulle. La version discrète de l’inégalité de Jensen appliquée avec la fonction « logarithme népérien » qui est concave implique

$\sum_{k=1}^m \frac{1}{p_k}\ln(|u_k|) \leq \ln(\sum_{k=1}^m \frac{1}{p_k} |u_k|).$

La conclusion découle de l’application de l’exponentielle.

Proposition : L’inégalité de Hölder est satisfaite lorsque les $\|f_k\|_{p_{k}}=1.$

Preuve

Avec $u_k = |f_k(x)|^{p_k},$ le lemme précédent implique

$|\prod_{k=1}^m f_k(x)| \leq \sum_{k=1}^m \frac{1}{p_k} |f_k(x)|^{p_k}.$

Après intégration (ou sommation pour les suites), la conclusion découle de l’hypothèse.

La généralité se déduit de l’homogénéité des termes dans l’inégalité de Hölder.

Pour qu’il y ait égalité, il faut et il suffit que tous les $| u k |$ soient égaux.

Voir aussi

Bibliographie

Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]

v · Ensemble convexe Outils et résultats fondamentaux : Enveloppe convexe • Adhérence, intérieur et frontière d'un convexe • Projection sur un convexe fermé • Séparation des convexes • Points remarquables à la frontière d'un convexe • Polytope • Théorème de Krein-Milman • Lemme de Farkas Géométrie combinatoire : Théorème de Carathéodory • Théorème de Radon • Théorème de Helly Géométrie métrique : Courbe de largeur constante • Théorème des quatre sommets Algorithmes de géométrie convexe : Approche polyédrique • Marche de Jarvis • Parcours de Graham • Théorème optimisation/séparation Optimisation linéaire : Optimisation linéaire • Algorithme du simplexe • Génération de colonnes
Interactions géométrie-analyse	Théorème de Hahn-Banach • Jauge
Analyse convexe	Articles principaux : Ensemble convexe • Fonction convexe Outils et résultats fondamentaux : Conditions de Kuhn-Tucker • Inégalité de Jensen Algorithmique : Méthodes de points intérieurs
Utilisations de la convexité	Inégalités de convexité : Inégalité arithmético-géométrique • Inégalité de Hölder Analyse fonctionnelle : Espace localement convexe • Théorème du point fixe de Schauder Localisation de zéros de polynômes : Théorème de Gauss-Lucas Théorie des nombres : Théorème de Minkowski

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