Inégalité de Hölder

En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l'honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces de fonctions L^p et aux espaces de suites $\ell^p$ .

Sommaire

1 Enoncé
2 Applications
3 Cas particuliers
4 Généralisation
5 Voir aussi
6 Bibliographie

Enoncé

Soient S un espace mesuré, deux nombres réels p et q satisfaisant 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1, puis deux fonctions f et g définies sur S et appartenant respectivement aux espaces L^p(S) et L^q(S). Alors le produit f g appartient à L¹(S) et sa norme satisfait l’inégalité de Hölder :

$\|fg\|_1 \le \|f\|_p \ \|g\|_q.$

De plus, il y a égalité si et seulement si $f^p\$ et $g^q\$ sont colinéaires presque partout (pp), c'est-à-dire s’il existe $α$ et $β$ non simultanément nuls tels que $\alpha f^p + \beta g^q = 0 \$ pp.

Applications

L’inégalité de Hölder permet d’établir la relation de dualité entre les espaces L^q et L^p.

Elle intervient comme argument permettant de montrer l’inégalité de Minkowski qui est l'inégalité triangulaire pour la norme de L^p.

Cas particuliers

Inégalité de Cauchy-Schwarz :

C’est l’inégalité de Hölder lorsque p = q = 2.

Dimension finie :

Soit S l’ensemble {1,...,n} avec la mesure de dénombrement et 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1. Pour tout couple de vecteurs $\vec x$ et $\vec y$ de $\R^n$ (ou de $\C^n$ ), alors

$\sum_{k=1}^n |x_k \ y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}.$

En dimension finie, l'inégalité de Hölder peut être démontrée en exprimant les conditions d'optimalité d'un problème de minimisation d'une fonction linéaire sur la boule unité pour la norme $\ell_p$ : voir la section Inégalités de Hölder.

Suites :

L’inégalité précédente se généralise aux suites (ou aux séries selon le point de vue) : si $(x k)$ et $(y k)$ sont respectivement dans les espaces de suites $\ell^p$ et $\ell^q$ , alors la suite « produit terme à terme » $(x_k \, y_k)$ est dans $\ell^1$ .

Généralisation

L’inégalité de Hölder se généralise à plus de 2 fonctions, ceci de la manière suivante :

Soient m réels $p k$ satisfaisant $\sum_{k=1}^m 1/p_k =1$ et m fonctions ${f}_k \in {L}^{p_k}(S)$ . Alors le produit $\prod_{k=1}^m {f}_k \in {L}^1(S)$ et sa norme satisfait

$\|\prod_{k=1}^m {f}_k\|_1 \le \prod_{k=1}^m \|f_k\|_{p_k}.$

De plus, il y a égalité si et seulement si les $f_k^{p_k}$ sont colinéaires pp.

Démonstration

Lemme : Pour tout vecteur $\vec u \in \R^m$ (ou $\C^m$ ), alors $\sum_{k=1}^m \frac{1}{p_k} = 1$ implique

$\prod_{k=1}^m |u_k|^{1/p_k} \leq \sum_{k=1}^m \frac{1}{p_k} |u_k|.$

Preuve

Sans restreindre la généralité, supposons qu’aucune composante de $\vec u$ est nulle. La version discrète de l’inégalité de Jensen appliquée avec la fonction « logarithme népérien » qui est concave implique

$\sum_{k=1}^m \frac{1}{p_k}\ln(|u_k|) \leq \ln(\sum_{k=1}^m \frac{1}{p_k} |u_k|).$

La conclusion découle de l’application de l’exponentielle.

Proposition : L’inégalité de Hölder est satisfaite lorsque les $\|f_k\|_{p_{k}}=1.$

Preuve

Avec $u_k = |f_k(x)|^{p_k},$ le lemme précédent implique

$|\prod_{k=1}^m f_k(x)| \leq \sum_{k=1}^m \frac{1}{p_k} |f_k(x)|^{p_k}.$

Après intégration (ou sommation pour les suites), la conclusion découle de l’hypothèse.

La généralité se déduit de l’homogénéité des termes dans l’inégalité de Hölder.

Pour qu’il y ait égalité, il faut et il suffit que tous les $| u k |$ soient égaux.

Voir aussi

Bibliographie

Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]

v · Ensemble convexe Outils et résultats fondamentaux : Enveloppe convexe • Adhérence, intérieur et frontière d'un convexe • Projection sur un convexe fermé • Séparation des convexes • Points remarquables à la frontière d'un convexe • Polytope • Théorème de Krein-Milman • Lemme de Farkas Géométrie combinatoire : Théorème de Carathéodory • Théorème de Radon • Théorème de Helly Géométrie métrique : Courbe de largeur constante • Théorème des quatre sommets Algorithmes de géométrie convexe : Approche polyédrique • Marche de Jarvis • Parcours de Graham • Théorème optimisation/séparation Optimisation linéaire : Optimisation linéaire • Algorithme du simplexe • Génération de colonnes
Interactions géométrie-analyse	Théorème de Hahn-Banach • Jauge
Analyse convexe	Articles principaux : Ensemble convexe • Fonction convexe Outils et résultats fondamentaux : Conditions de Kuhn-Tucker • Inégalité de Jensen Algorithmique : Méthodes de points intérieurs
Utilisations de la convexité	Inégalités de convexité : Inégalité arithmético-géométrique • Inégalité de Hölder Analyse fonctionnelle : Espace localement convexe • Théorème du point fixe de Schauder Localisation de zéros de polynômes : Théorème de Gauss-Lucas Théorie des nombres : Théorème de Minkowski

Portail de l'analyse

Catégories :

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Inégalité de Hölder de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

Inegalite de Holder — Inégalité de Hölder En analyse, l’inégalité de Hölder, du nom de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces Lp : soit S un espace mesuré, soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1, soit f une fonction de Lp(S) et g dans… … Wikipédia en Français
Inégalité De Hölder — En analyse, l’inégalité de Hölder, du nom de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces Lp : soit S un espace mesuré, soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1, soit f une fonction de Lp(S) et g dans Lq(S). Alors fg… … Wikipédia en Français
Inégalité de hölder — En analyse, l’inégalité de Hölder, du nom de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces Lp : soit S un espace mesuré, soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1, soit f une fonction de Lp(S) et g dans Lq(S). Alors fg… … Wikipédia en Français
Inegalite de Cauchy-Schwarz — Inégalité de Cauchy Schwarz Pour les articles homonymes, voir Cauchy et Schwarz. En mathématiques, l inégalité de Cauchy Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz[1], ou encore inégalité de Cauchy Bunyakovski Schwarz[2], se rencontre dans de… … Wikipédia en Français
Inégalité De Cauchy-Schwarz — Pour les articles homonymes, voir Cauchy et Schwarz. En mathématiques, l inégalité de Cauchy Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz[1], ou encore inégalité de Cauchy Bunyakovski Schwarz[2], se rencontre dans de nombreux doma … Wikipédia en Français
Inégalité de cauchy-schwarz — Pour les articles homonymes, voir Cauchy et Schwarz. En mathématiques, l inégalité de Cauchy Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz[1], ou encore inégalité de Cauchy Bunyakovski Schwarz[2], se rencontre dans de nombreux doma … Wikipédia en Français
Inegalite de Jensen — Inégalité de Jensen En mathématiques, en analyse, l’inégalité de Jensen est une relation utile et très générale concernant les fonctions convexes, due au mathématicien danois Johan Jensen et dont il donna la preuve en 1906[1]. On peut l écrire de … Wikipédia en Français
Inégalité De Jensen — En mathématiques, en analyse, l’inégalité de Jensen est une relation utile et très générale concernant les fonctions convexes, due au mathématicien danois Johan Jensen et dont il donna la preuve en 1906[1]. On peut l écrire de deux manières … Wikipédia en Français
Inégalité de jensen — En mathématiques, en analyse, l’inégalité de Jensen est une relation utile et très générale concernant les fonctions convexes, due au mathématicien danois Johan Jensen et dont il donna la preuve en 1906[1]. On peut l écrire de deux manières … Wikipédia en Français
Inegalite arithmetico-geometrique — Inégalité arithmético géométrique Étant donnés n réels strictement positifs , on définit leur moyenne arithmétique et leur moyenne géométrique : et . Il est classique que … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Inégalité de Hölder

Sommaire

Enoncé

Applications

Cas particuliers

Généralisation

Voir aussi

Bibliographie

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Inégalité de Hölder

Sommaire

Enoncé

Applications

Cas particuliers

Généralisation

Voir aussi

Bibliographie

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link