- Inégalité de Hölder
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En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l'honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces de fonctions Lp et aux espaces de suites
.
Sommaire
Enoncé
Soient S un espace mesuré, deux nombres réels p et q satisfaisant 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1, puis deux fonctions f et g définies sur S et appartenant respectivement aux espaces Lp(S) et Lq(S). Alors le produit f g appartient à L1(S) et sa norme satisfait l’inégalité de Hölder :
De plus, il y a égalité si et seulement siet
sont colinéaires presque partout (pp), c'est-à-dire s’il existe α et β non simultanément nuls tels que
pp.
Applications
L’inégalité de Hölder permet d’établir la relation de dualité entre les espaces Lq et Lp.
Elle intervient comme argument permettant de montrer l’inégalité de Minkowski qui est l'inégalité triangulaire pour la norme de Lp.
Cas particuliers
C’est l’inégalité de Hölder lorsque p = q = 2.
Dimension finie :Soit S l’ensemble {1,...,n} avec la mesure de dénombrement et 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1. Pour tout couple de vecteurs
et
de
(ou de
), alors
En dimension finie, l'inégalité de Hölder peut être démontrée en exprimant les conditions d'optimalité d'un problème de minimisation d'une fonction linéaire sur la boule unité pour la norme
: voir la section Inégalités de Hölder.
Suites :L’inégalité précédente se généralise aux suites (ou aux séries selon le point de vue) : si (xk) et (yk) sont respectivement dans les espaces de suites
et
, alors la suite « produit terme à terme »
est dans
.
Généralisation
L’inégalité de Hölder se généralise à plus de 2 fonctions, ceci de la manière suivante :
Soient m réels pk satisfaisant
et m fonctions
. Alors le produit
et sa norme satisfait
De plus, il y a égalité si et seulement si les
sont colinéaires pp.
DémonstrationLemme : Pour tout vecteur
(ou
), alors
implique
Preuve
- Sans restreindre la généralité, supposons qu’aucune composante de
est nulle. La version discrète de l’inégalité de Jensen appliquée avec la fonction « logarithme népérien » qui est concave implique
- La conclusion découle de l’application de l’exponentielle.
Proposition : L’inégalité de Hölder est satisfaite lorsque lesPreuve
- Avec
le lemme précédent implique
- Après intégration (ou sommation pour les suites), la conclusion découle de l’hypothèse.
La généralité se déduit de l’homogénéité des termes dans l’inégalité de Hölder.Pour qu’il y ait égalité, il faut et il suffit que tous les | uk | soient égaux.
Voir aussi
Bibliographie
- Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
- Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]
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