Inégalité de Hölder

Inégalité de Hölder

En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l'honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces de fonctions Lp et aux espaces de suites \ell^p.

Sommaire

Enoncé

Soient S un espace mesuré, deux nombres réels p et q satisfaisant 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1, puis deux fonctions f et g définies sur S et appartenant respectivement aux espaces Lp(S) et Lq(S). Alors le produit f g appartient à L1(S) et sa norme satisfait l’inégalité de Hölder :

\|fg\|_1 \le \|f\|_p \ \|g\|_q.


De plus, il y a égalité si et seulement si f^p\ et g^q\ sont colinéaires presque partout (pp), c'est-à-dire s’il existe α et β non simultanément nuls tels que \alpha f^p + \beta g^q = 0 \ pp.

Applications

L’inégalité de Hölder permet d’établir la relation de dualité entre les espaces Lq et Lp.

Elle intervient comme argument permettant de montrer l’inégalité de Minkowski qui est l'inégalité triangulaire pour la norme de Lp.

Cas particuliers

Inégalité de Cauchy-Schwarz :

C’est l’inégalité de Hölder lorsque p = q = 2.


Dimension finie :

Soit S l’ensemble {1,...,n} avec la mesure de dénombrement et 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1. Pour tout couple de vecteurs \vec x et \vec y de \R^n (ou de \C^n), alors

\sum_{k=1}^n |x_k \ y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}.

En dimension finie, l'inégalité de Hölder peut être démontrée en exprimant les conditions d'optimalité d'un problème de minimisation d'une fonction linéaire sur la boule unité pour la norme \ell_p : voir la section Inégalités de Hölder.


Suites :

L’inégalité précédente se généralise aux suites (ou aux séries selon le point de vue) : si (xk) et (yk) sont respectivement dans les espaces de suites \ell^p et \ell^q, alors la suite « produit terme à terme » (x_k \, y_k) est dans \ell^1.

Généralisation

L’inégalité de Hölder se généralise à plus de 2 fonctions, ceci de la manière suivante :

Soient m réels pk satisfaisant \sum_{k=1}^m 1/p_k =1 et m fonctions {f}_k \in {L}^{p_k}(S) . Alors le produit \prod_{k=1}^m {f}_k \in {L}^1(S) et sa norme satisfait

\|\prod_{k=1}^m {f}_k\|_1 \le \prod_{k=1}^m \|f_k\|_{p_k}.

De plus, il y a égalité si et seulement si les f_k^{p_k} sont colinéaires pp.

Démonstration

Lemme : Pour tout vecteur \vec u \in \R^m (ou \C^m), alors \sum_{k=1}^m \frac{1}{p_k} = 1 implique

\prod_{k=1}^m |u_k|^{1/p_k} \leq \sum_{k=1}^m \frac{1}{p_k} |u_k|.

Preuve

Sans restreindre la généralité, supposons qu’aucune composante de \vec u est nulle. La version discrète de l’inégalité de Jensen appliquée avec la fonction « logarithme népérien » qui est concave implique
\sum_{k=1}^m \frac{1}{p_k}\ln(|u_k|) \leq \ln(\sum_{k=1}^m \frac{1}{p_k} |u_k|).
La conclusion découle de l’application de l’exponentielle.


Proposition : L’inégalité de Hölder est satisfaite lorsque les \|f_k\|_{p_{k}}=1.

Preuve

Avec u_k = |f_k(x)|^{p_k}, le lemme précédent implique
|\prod_{k=1}^m f_k(x)| \leq \sum_{k=1}^m \frac{1}{p_k} |f_k(x)|^{p_k}.
Après intégration (ou sommation pour les suites), la conclusion découle de l’hypothèse.


La généralité se déduit de l’homogénéité des termes dans l’inégalité de Hölder.

Pour qu’il y ait égalité, il faut et il suffit que tous les | uk | soient égaux.

Voir aussi

Bibliographie

  • Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
  • Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Inégalité de Hölder de Wikipédia en français (auteurs)

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