Espace Localement Convexe

Espace localement convexe

Sommaire

1 Définition
2 Critère de séparation
3 Continuité d'une fonction
4 Espace métrisable
5 Espace de Fréchet

Définition

Un espace vectoriel topologique E est dit localement convexe s'il vérifie l'une des deux propriétés équivalentes suivantes :

(i) La topologie de E peut être définie par une famille filtrante de semi-normes
(ii) 0 possède une base de voisinages formée de convexes

Démonstration de l'équivalence des 2 définitions
(i) $\Rightarrow$ (ii)
En effet toute semi-norme sur E est une fonction convexe et donc pour tout R>0 l'ensemble des x de E vérifiant p(x)<R est convexe.
(ii) $\Rightarrow$ (i)

Supposons d'abord que E est un espace réel.

Si V est un voisinage convexe de 0 alors $W = V \cap (-V)$ est un voisinage convexe et symétrique de 0. Il est absorbant. Il en résulte que la jauge de W est une semi-norme sur E et ces semi-normes définissent la topologie de E.

Supposons maintenant que E est un espace complexe.

Nous allons montrer que tout voisinage convexe de l'origine contient un voisinage convexe équilibré.
Soit en effet $\mathcal V$ un voisinage convexe de 0. Par application de la continuité de l'application de $\mathbb C \times\mathrm E$ dans $\quad \mathrm E$ : $(\lambda,v)\mapsto \lambda v$ , il existe $α > 0$ et un voisinage $\mathcal W$ de 0 tels que $| λ | < α$ et $v \in \mathcal W\quad \Rightarrow \lambda v \in \mathcal V$ .
Soit $\quad \mu$ un scalaire vérifiant $| μ | < α$ . Alors $\quad \mu \mathcal W$ est un voisinage de 0 inclus dans $\mathcal V$ . Si $w=\mu v \in \mathcal \mu W$ et $|\lambda|\le 1 \quad (\Rightarrow |\lambda\mu|<\alpha)\quad \Rightarrow \lambda w=\lambda\mu v \in \mathcal V$ . Ceci entraîne que x appartient au noyau équilibré de $\mathcal V$ .
Ce noyau équilibré (contenant $\mu \mathcal W$ ) est un voisinage de 0. Son enveloppe convexe est un voisinage convexe et équilibré de 0 inclus dans $\mathcal V$ (puisque $\mathcal V$ est convexe).
La jauge de ce noyau équilibré est une semi-norme sur E (ce noyau est un voisinage de 0 donc absorbant ). Ces semi-normes définissent la topologie de E.

Critère de séparation

Théorème

Pour qu'un espace localement convexe E défini par la famille $\quad (p_i)_{i \in I}$ soit un espace séparé, il faut et il suffit que pour tout $\quad v \ne 0\in E$ il existe une semi-norme $\quad p_i$ telle que $\quad p_i(v) \ne 0$ .

Continuité d'une fonction

Soient $(E,\mathcal P),(F,\mathcal Q)$ 2 espaces localement convexes, $\mathcal P$ et $\mathcal Q$ étant des familles de semi-normes définissant les topologies et f une application du premier espace dans le second. Alors il résulte de la définition même que f est continue en $\quad v \in E$ si et seulement si
$\forall q \in\mathcal Q\quad \forall \epsilon >0 \quad \exists p\in \mathcal P\quad\exists \alpha >0\quad\forall w\in E\quad p(v-w)<\alpha\quad\Rightarrow\quad q(f(v)-f(w))<\epsilon$

On peut aussi définir la continuité uniforme. f est uniformément continue si
$\forall q\in\mathcal Q\quad\forall\epsilon >0\quad\exists p\in\mathcal P\quad\exists\alpha >0\quad\forall v \in E\quad\forall w\in E\quad p(v-w)<\alpha\quad\Rightarrow\quad q(f(v)-f(w))<\epsilon$

Espace métrisable

Un espace localement convexe est métrisable ssi il est séparé et sa topologie peut être définie par une famille dénombrable de semi-normes.

Le qualificatif "métrisable" est justifié par le théorème suivant:
Théorème

Si E est un espace localement convexe métrisable, il existe une distance invariante par translation définissant la même topologie que celle de E.

Démonstration:
$(p_n)_{n\in \mathbb N}$ désignant une famille filtrante de semi-normes définissant la topologie de E, posons pour tout $\quad (u,v)\in E^2$
$d(u,v)=\sum_{n=0}^\infty 2^{-n}\frac {p_n(v-u)}{1+p_n(v-u)}$ .
Remarque: En fait la structure d'espace localement convexe est souvent définie par une famille quelconque de semi-normes (cf. semi-norme). Cependant on peut, comme vu dans cet article, la compléter pour obtenir une famille filtrante. Cette complétion est toujours sous-entendue dans les démonstrations. De plus, la procédure indiquée (rajouter les sup des sous-familles finies) conserve ici le caractère dénombrable de cette famille complétée (Le cardinal de cette famille complétée est majoré par celui des parties finies de la suite initiale, qu'on peut mettre en bijection avec les entiers écrits en binaire).

Tout d'abord, on voit aisément que d(u,v) est bien défini pour tous u, v (série positive convergente).
Ensuite il est aisé de démontrer qu'il s'agit bien d'une distance sur E (en particulier le critère de séparation ci-dessus montre que $d(u,v)=0 \quad \Rightarrow u=v$ ).
L'invariance par translation de cette distance est également immédiate ( $\quad d(u+w,v+w)=d(u,v)$ ).
Il reste enfin à montrer que la topologie définie par cette distance est identique à celle définie par la famille de semi-normes. Comme la distance est invariante par translation, il suffit de montrer que toute boule (ouverte) de centre 0 pour la distance d contient une "p-boule" de centre 0 et réciproquement. Autrement dit:

(i) $\forall \epsilon >0\quad\exists n \in \mathbb N\quad\exists \alpha >0\quad p_n(w-0)<\alpha \Rightarrow d(0,w)<\epsilon$

(ii) $\forall \epsilon >0\quad\forall n \in \mathbb N\quad \exists\alpha>0\quad d(0,w)<\alpha\Rightarrow p_n(w-0)<\epsilon$

- Démontrons (i). Soit $ε > 0$

Le terme général de la série définissant $\quad d(0,w)$ etant majoré par $\quad 2^{-n}$ , on peut tout d'abord trouver $n_0 \in\mathbb N$ tel que $\forall w\in E\quad\sum_{n=n_0+1}^\infty 2^{-n}\frac{p_n(w)}{1+p_n(w)}<\epsilon /2$ .
Ensuite, la famille de semi-normes étant filtrante, on peut trouver une semi-norme $\quad p_s$ majorant toutes les semi-normes $\quad p_j ,\quad j=0,1,2,...,n_0$ .
Comme l'application $X\mapsto 2^{-n}\frac{X}{1+X}$ de $\mathbb R_+$ sur $\quad [0,2^{-n}]$ est croissante, on en déduit que $0\le n \le n_0\quad \Rightarrow 2^{-n}\frac{p_n(w)}{1+p_n(w)} \le 2^{-n}\frac{p_s(w)}{1+p_s(w)}$ .
On obtient alors $d(0,w)\le (\sum_{n=0}^{n_0} 2^{-n} )\frac{p_s(w)}{1+p_s(w)} + \epsilon /2 \le 2 \frac{p_s(w)}{1+p_s(w)} + \epsilon /2 \le 2 p_s(w) + \epsilon/2$
Il suffit alors de poser $α = ε / 4$ . CQFD

- Démontrons maintenant(ii). Soit encore $ε > 0$

D'après la définition de $d (u, v)$ , on doit avoir: $\forall n \in \mathbb N\quad 2^{-n}\frac{p_n(w)}{1+p_n(w)}\le d(0,w).\qquad$
On définit l'homographie $y = h(x) = 2^{-n} \frac{x}{1+x}$ . On a donc $h(p_n(w)) \le d(0,w)$ .
L'homographie inverse est donnée par $x = h^{-1}(y) = \frac{y}{2^{-n} -y}$ . .Cette homographie inverse est continue en 0 et est strictement croissante.
On a donc $p_n(w) \le h^{-1}(d(0,w))$ . On veut choisir $α$ tel que si $d(0,w) = y \le \alpha$ , alors $p_n(w) \le x=h^{-1}(y) \le \epsilon$ . Il suffit donc de choisir $α$ tel que $h - 1 (α) = ε$ .
Donc on choisit $\alpha = h(\epsilon) = \frac{2^{-n} \epsilon}{1+\epsilon}$ . CQFD

Espace de Fréchet

Un espace de Fréchet est un espace localement convexe métrisable et complet

Remarquons qu'un espace de Banach est un espace de Fréchet (topologie définie par une seule semi-norme: la norme). Cependant la réciproque n'est pas vraie car si d est la distance définie ci-dessus, d(0,v) n'est en général pas une norme sur E.

Tout espace de Fréchet est un espace de Baire.

En effet la topologie est celle d'un espace métrique complet (voir théorème de Baire)

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