Parcours de Graham

Le parcours de Graham est un algorithme déterminant l'enveloppe convexe d'un ensemble de points. Son principal intérêt est sa complexité algorithmique en O(n log n). Cet algorithme doit son nom à Ronald Graham, qui a publié l'algorithme original en 1972^[1].

Algorithme

La première étape de cet algorithme consiste à rechercher le point de plus petite ordonnée. S'il y a égalité entre un ou plusieurs points, l'algorithme choisit parmi eux le point de plus petite abscisse. Nommons P ce point. La complexité en temps de cette étape est en O(n), n étant le nombre de points de l'ensemble.

L'ensemble des points (P compris) est ensuite trié en fonction de l'angle que chacun d'entre eux fait avec l'axe des abscisses relativement à P. N'importe quel algorithme de tri convient pour cela, par exemple le tri par tas (qui a une complexité de O(n log n)). Pour cela, il n'est pas nécessaire de calculer l'angle réel ; on peut se limiter à la comparaison des tangentes, ou bien même utiliser le produit en croix des coordonnées pour connaître les positions relatives des points. À l'issue de cette étape, on dispose d'un tableau T contenant les points ainsi triés.

L'algorithme considère ensuite successivement les séquences de trois points contigus dans le tableau T, vus comme deux couples successifs. Pour chacun de ces paires de couples, il décide si passer du premier couple au second constitue un « tournant à gauche » ou un « tournant à droite ». Si c'est un « tournant à droite », cela signifie que l'avant dernier point considéré (le deuxième des trois) ne fait pas partie de l'enveloppe convexe, et qu'il doit être rejeté de T. Cette analyse se répète ensuite, tant que l'ensemble des trois derniers points est un « tournant à droite ». Dès que l'on rencontre un « tournant à gauche », l'algorithme passe au point suivant de T. (Si l'on rencontre trois points colinéaires, à quelque étape que ce soit, on peut choisir de conserver ou de rejeter le point considéré, au choix, suivant la définition que l'on choisit pour l'enveloppe convexe : en effet certaines applications requièrent que tous les points sur l'enveloppe soient compris dans l'enveloppe).

Ici encore, déterminer si trois points constituent un « tournant à gauche » ou un « tournant à droite » ne requiert pas de calculer l'angle réel entre les deux segments, et peut être réalisé par simple arithmétique. Pour trois points (x₁,y₁), (x₂,y₂) et (x₃,y₃), il suffit de calculer le sens du produit vectoriel des deux vecteurs définis par les points (x₁,y₁), (x₂,y₂) et (x₁,y₁), (x₃,y₃), donné par le signe de l'expression (x₂-x₁)(y₃-y₁)-(y₂-y₁)(x₃-x₁). Si le résultat est nul, les points sont colinéaires. S'il est positif, les trois points constituent un « tournant à gauche », dans le cas contraire c'est un « tournant à droite ».

Ce processus retournera finalement au point auquel il a commencé, auquel cas l'algorithme sera terminé, et T contiendra alors les points formant l'enveloppe convexe, dans l'ordre inverse des aiguilles d'une montre.

Complexité algorithmique

Le tri des points peut se faire avec une complexité en temps en O(n log n). La complexité de la boucle principale peut sembler être O(n²), parce que l'algorithme revient en arrière à chaque point pour évaluer si l'un des points précédents est un « tournant à droite ». Mais elle est en fait en O(n), parce que chaque point n'est considéré qu'une seule fois. Ainsi, chaque point analysé ou bien termine la sous-boucle, ou bien est retiré de T et n'est donc plus jamais considéré. La complexité globale de l'algorithme est donc en O(n log n), puisque la complexité du tri domine la complexité du calcul effectif de l'enveloppe convexe.

Pseudo-code

Soit Points l'ensemble de points à examiner, sous la forme d'un tableau indexé à partir de un, et Pile une pile qui contiendra le résultat final.

Trouver le pivot P;
Trier les points par angle (les points d'angle égal seront triés par rapport à leur abscisse);
 
# Points[1] est le pivot, Points[longueur] aussi (fin du circuit)
Pile.empiler(Points[1]);
Pile.empiler(Points[2]);
POUR i = 3 A Points.longueur
        TANT QUE (Pile.hauteur >= 2) ET (Produit_vectoriel(Pile.second, Pile.haut, Points[i]) <= 0)
                Pile.dépiler;
        FIN TANT QUE
        Pile.empiler(Points[i]);
FIN POUR
 
FONCTION Produit_vectoriel(p1, p2, p3)
        RENVOYER(p2.x - p1.x)*(p3.y - p1.y) - (p3.x - p1.x)*(p2.y - p1.y);
FIN FONCTION

Note: pour gérer les cas dégénérés où l'enveloppe convexe a moins de trois points, un seul point devrait être entré dans la pile au départ, et si jamais la pile a moins de deux points (elle en aura au moins toujours un), alors le haut de la pile devrait être également sorti si le nouveau point est le point considéré. En d'autres termes, la condition du « tant que » devrait être :

Pile.hauteur >= 2 ? Produit_vectoriel(Pile.second, Pile.haut, Points[i])<= 0 : Pile.haut == Points[i].

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Graham scan » (voir la liste des auteurs)

Voir aussi

Liens et documents externes

• (en) Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, et Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Deuxième édition. MIT Press et McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Pages 949–955 de la section 33.3: Finding the convex hull.
• (en) Implémentations du parcours de Graham en C++ et en Pascal Objet
• (fr) Présentation d'algorithmes pour calculer l'envelopper convexe d'un nuage de points

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