Analyse convexe

L'analyse convexe est la branche des mathématiques qui étudie les ensembles et les fonctions convexes. Cette théorie étend sur beaucoup d'aspects les concepts de l'algèbre linéaire et sert de boîte à outils en analyse et en analyse non lisse. Elle s'est beaucoup développée du fait de ses interactions avec l'optimisation, où elle apporte des propriétés particulières aux problèmes qui y sont étudiés.

Le fait que l'Analyse convexe existe en tant que discipline des mathématiques, et pas l'«Analyse concave», provient du fait que l'on définit aisément la notion d'ensemble convexe, alors que celle d'«ensemble concave» est moins naturelle. On définit alors les fonctions convexes comme celles ayant un épigraphe convexe (les fonctions concaves ont un «hypographe» convexe …). Si l'on poursuit dans cette voie, on remarquera qu'il est normal de minimiser les fonctions convexes, pas de les maximiser, si bien que l'optimisation s'intéressera tout naturellement à la minimisation de fonctions et pas à leur maximisation. La chaîne logique est donc la suivante :

Ensemble convexe

L'ensemble convexe est le concept de base de l'analyse convexe ; c'est une partie d'un espace vectoriel réel qui contient tout le segment compris entre deux quelconques de ses points. Comme exemples d'ensemble convexe, les polyèdres convexes jouent souvent un rôle particulier, renforçant les propriétés que l'on peut démontrer pour des ensembles convexes arbitraires. À un ensemble convexe, on peut associer un certain nombre d'ensembles, comme

• son enveloppe affine,
• son intérieur relatif,
• son cône asymptotique, etc.

Les ensembles convexes peuvent être le résultat de diverses constructions :

• enveloppe convexe,
• enveloppe convexe fermée,
• enveloppe conique d'un autre ensemble,
• image directe ou réciproque d'un convexe par une application linéaire,
• ensemble de sous-niveau d'une fonction convexe, etc.

On peut aussi effectuer un certain nombre d'opérations avec les ensembles convexes, telles que

• la projection sur un ensemble convexe,
• la séparation de deux convexes,
• la détermination de son cône dual d'un cône, etc.

Fonction convexe

Toute notion introduite pour les ensembles convexes se transporte aux fonctions convexes par l'intermédiaire de leur épigraphe. L'inverse est également vrai : toute notion introduite pour une fonction convexe peut souvent se transporter aux ensembles convexes en l'appliquant à la fonction indicatrice de ces ensembles.

La première de toutes ces notions est bien sûr celle de fonction convexe, qui est une fonction définie sur un espace vectoriel réel à valeurs dans la droite réelle achevée dont l'épigraphe est convexe. Comme fonctions convexes particulières, mentionnons

• les fonctions indicatrices d'ensembles convexes,
• les fonctions affines,
• les fonctions convexes polyédriques,
• les fonctions sous-linéaires,
• les fonctions d'appui sur des ensembles (convexes ou pas), etc.

Les fonctions convexes peuvent apparaître comme le résultat de diverses constructions :

• pré-composition d'une fonction convexe par une fonction affine,
• enveloppe supérieure d'autres fonctions convexes,
• fonction marginale d'une fonction convexe,
• fonction duale en optimisation, etc.

À une fonction convexe, on peut associer

• sa fonction asymptotique,
• sa fonction conjuguée,
• son sous-différentiel, etc.

Bibliographie

• (en) J. M. Borwein, A. S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
• (en) J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal (1993). Convex Analysis and Minimization Algorithms. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 305-306. Springer-Verlag.
• (en) J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal (2001). Fundamentals of convex analysis. Springer-Verlag, Berlin.
• (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.

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