Inegalite de Holder

Inegalite de Holder

Inégalité de Hölder

En analyse, l’inégalité de Hölder, du nom de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces Lp : soit S un espace mesuré, soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1, soit f une fonction de Lp(S) et g dans Lq(S). Alors fg appartient à L1(S) et

\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q.

En considérant S comme l’ensemble {1,...,n} avec la mesure de dénombrement, nous obtenons un cas particulier de l’inégalité, avec p, q < ∞ :

\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}

valable pour tous réels (ou nombres complexes) x1,...,xn, y1,...,yn.

En considérant S comme l’ensemble des entiers naturels avec la mesure de dénombrement, nous obtenons une inégalité similaire pour les séries.

Pour p = q = 2, nous obtenons l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

L’inégalité de Hölder est utilisée pour démontrer l'inégalité triangulaire dans l’espace Lp, parfois appelée inégalité de Minkowski et aussi pour établir que Lp est le dual de Lq si p \neq 1.

Démonstration

La concavité de la fonction logarithme népérien permet d'écrire, pour tout réels strictements positifs a et b, vu que \frac{1}{p} et \frac{1}{q} sont positifs de somme 1: \frac{1}{p}\ln(a)+\frac{1}{q}\ln(b) \leq \ln(\frac{1}{p}a+\frac{1}{q}b), soit encore en prenant l'exponentielle: a^{1/p}b^{1/q} \leq \frac{1}{p}a+\frac{1}{q}b (1).

Supposons dans un premier temps \sum_{k=1}^n |x_k|^p=\sum_{k=1}^n |y_k|^q=1. En prenant a = | xk | p et b = | yk | q dans l'inégalité ci-dessus, puis en sommant pour k allant de 1 à n, on obtient \sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq 1 (2).

Supposons désormais simplement que \sum_{k=1}^n |x_k|^p et \sum_{k=1}^n |y_k|^q sont non nuls (i.e. l'un au moins des xk et l'un au moins des yk sont non nuls). En posant x'_{i}=\frac{x_{i}}{\left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p}} et y'_{i}=\frac{y_{i}}{\left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}} on peut appliquer l'inégalité (2) avec les x'i et y'i, ce qui donne l'inégalité de Hölder. Enfin, elle est évidente si tous les xk ou tous les yk sont nuls.

Il y a une généralisation de cette inégalité :

Soient {f}_k \in {L}^{p_k}(S) avec \sum_{k=1}^n 1/p_k =1 , alors :

On a {f}_1...{f}_n \in {L}^1(S) et \|f_1...f_n\|_1 \le \|f_1\|_{p_1} ... \|f_n\|_{p_n}.

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Voir aussi

Bibliographie

  • Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
  • Walter Rudin, Analyse réelle et complexe : cours et exercices [détail des éditions]
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
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