Espace de Schwartz

En mathématiques, l'espace ${\mathcal S}$ de Schwartz est un espace de fonctions utilisé notamment en théorie des distributions, pour la définition générale de la transformation de Fourier d'une distribution tempérée. La lettre 'S' a été choisie par Schwartz lui même, celui-ci nommant "sphériques" les distributions qu'on appelle de nos jours "tempérées".

Définition

Une fonction f fait partie de l'espace $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ lorsqu'elle est indéfiniment dérivable, et si f et toutes ses dérivées sont à décroissance rapide, c'est-à-dire que leur produit par une fonction polynôme quelconque est borné à l'infini.

Pour deux multi-indices $α, β$ on définit les normes $| | . | | α, β$ par

$\|f\|_{\alpha,\beta}=\|x^\alpha D^\beta f\|_\infty\,.$

Alors l'espace de Schwartz peut être décrit comme

$\mathcal{S} \left(\mathbb{R}^n\right) = \{ f \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^n) /\ \forall (\alpha, \beta),\ \|f\|_{\alpha,\beta} < +\infty \}$ .

S'il n'y a pas d'ambiguïté, l'espace peut être simplement représenté par la lettre $\mathcal{S}$ .

Topologie

L'espace de Schwartz peut être muni d'une topologie, la topologie initiale associée à la famille de semi-normes $(||.||_{\alpha, \beta})_{\alpha,\beta \in \mathbb{N}^N}$ , équivalente à celle associée par la famille filtrante de semi-normes $(\mathcal{N}_p)_{p \in \mathbb{N}}$ définie par :

$\mathcal{N}_p (.) = \sum_{|\alpha, |\beta| \leq p} ||.||_{\alpha, \beta} \quad, p \in \mathbb{N}$

L'espace de Schwartz est, muni de cette topologie, un espace de Fréchet. Étant défini par une famille filtrante dénombrable de semi-norme, il est en effet un espace localement convexe, séparé, métrisable, et on montre en outre qu'il est complet.

La convergence d'une suite de $\mathcal{S}$ se définit donc de la manière suivante. Une suite de fonctions $(\phi_n)_{n \in \mathbb{R}}$ converge dans $\mathcal{S}(\mathbb{R}^N)$ vers une fonction $ϕ$ si $\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^N)$ et si

$\forall p \in \mathbb{N}, \quad \lim_{n \to \infty} \mathcal{N}_p (\phi_n - \phi) = 0$

Son dual topologique (continu) est l'espace des distributions tempérées $\mathcal{S}'$ .

Exemples et propriétés

L'espace $\mathcal{S}$ contient l'espace $\mathcal{D}$ des fonctions $\mathcal{C}^\infty$ à support compact. Cet espace, aussi noté $C^\infty_c (\mathbb{R}^N)$ , ets d'ailleurs dense dans $\mathcal{S}(\mathbb{R}^N)$ au sens de la convergence (forte) définie ci-dessus.

Il contient également d'autres éléments comme les fonctions de la forme produit d'un polynôme et d'une gaussienne :

$x\mapsto x^\alpha e^{-a \|x\|^2} \in \mathcal{S}$ pour un certain multi-indice α et un réel

a > 0

L'espace $\mathcal{S}$ est un sous-espace vectoriel des différents espaces $L p$ pour $p\in[1;+\infty]$ . Il est d'ailleurs dense dans chacun de ces ensembles $L^1, L^2, \ldots$ , hormis $L^\infty$ .

Opérations sur l'espace de Schwartz

L'espace $\mathcal{S}$ est stable par dérivation, par multiplication, ou même par multiplication par toute fonction $C^\infty$ dont toutes les dérivées sont à croissance polynômiales. En particulier, il est stable par multiplication par un polynôme.

La transformation de Fourier induit un automorphisme continu de $\mathcal{S}$ , qui préserve la norme.

Références

L. Schwartz Théorie des distributions et transformation de Fourier Annales de l'Université de Grenoble- T.23, 1948
F. Golse, Distributions, analyse de Fourier et équations aux dérivées partielles, polycopié de cours, Éditions de l'École polytechnique, 2009

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