Espace de Fréchet

Espace de Fréchet

L'espace de Fréchet au sens de la topologie générale est décrit à l'article Espace T1.

Un espace de Fréchet est une structure mathématique d'espace vectoriel topologique satisfaisant certains théorèmes relatifs aux espaces de Banach même en l'absence d'une norme. Cette dénomination fait référence à Maurice Fréchet, mathématicien français ayant participé notamment à la fondation de la topologie et à ses applications en analyse fonctionnelle. C'est dans ce dernier domaine que la structure des espaces de Fréchet se révèle particulièrement utile, notamment en fournissant une topologie naturelle aux espaces de fonctions infiniment dérivables.

Sommaire

Définition

Article détaillé : Espace localement convexe.

Un espace vectoriel topologique réel est appelé espace de Fréchet s'il est à la fois

ou plus simplement : s'il est localement convexe et métrisable par une distance complète et invariante par translation.

Pour un espace de Fréchet non nul, il existe plusieurs distances invariantes par translation induisant la topologie, et elles sont toutes complètes puisqu'elles induisent la même structure uniforme.

En analyse fonctionnelle, on utilise directement la définition équivalente suivante :

Un espace de Fréchet est un e.v.t. réel complet (au sens uniforme) dont la topologie est induite par une famille dénombrable et séparante de semi-normes.

De même, il n'y a pas de choix canonique d'une telle famille de semi-normes. Il n'y a pas non plus de bijection naturelle entre les distances compatibles et invariantes, et ces familles de semi-normes.

Exemples

Tout espace de Banach est un espace de Fréchet mais la réciproque n'est pas toujours vraie. En particulier, certains espaces de Fréchet ne sont pas normables.

C'est le cas de l'espace C∞([0;1]) des fonctions infiniment différentiables sur l'intervalle [0;1], qui peut être muni des semi-normes pour tout entier k ≥ 0 :

\|f\|_k = \sup_{x\in[0;1]}\left|f^{(k)}(x)\right|

où f (0) = f et pour tout k > 0, f (k) désigne la dérivée k-ième de f.
Dans cet espace, une suite (fn) de fonctions converge vers la fonction f∊C∞([0;1]) si et seulement si pour tout k≥0, la suite (fn(k)) converge uniformément vers f (k).

Plus généralement, si M est une variété compacte lisse et B un espace de Banach alors l'espace des fonctions infiniment différentiables de M vers B peut être muni d'une structure d'espace de Fréchet grâce aux semi-normes définies par les normes sup des dérivées partielles.

L'espace des suites réelles ou complexes peut également être muni d'une structure d'espace de Fréchet par les semi-normes qui associent à chaque suite la valeur absolue d'un terme fixé de la suite. La convergence d'une suite de suites revient alors à la convergence terme à terme.

Plus généralement, l'ensemble des fonctions continues d'un espace topologique σ-compact X vers un espace de Banach peut être muni des semi-normes définies par les normes sup sur des compacts recouvrant l'espace X. La topologie obtenue s'identifie alors avec la topologie compact-ouvert des espaces de fonctions. Ainsi, l'espace des applications continues de ℝ dans ℝ est un espace de Fréchet.

Propriétés

  • Le théorème d'inversion locale ne s'applique pas en général aux espaces de Fréchet, mais une version faible a été trouvée sous le nom de théorème de Nash-Moser (en).
  • Tout quotient d'un espace de Fréchet par un sous-espace vectoriel fermé est complet (donc est un espace de Fréchet)[1]. L'hypothèse de métrisabilité est ici cruciale[2].

Dérivée de Gâteaux

L'espace des applications linéaires continues entre deux espaces de Fréchet ne constituant pas a priori un espace de Fréchet, la construction d'une différentielle pour les fonctions continues entre deux espaces de Fréchet passe par la définition de la dérivée de Gâteaux.

Soit Φ une fonction définie sur un ouvert U d'un espace de Fréchet X, à valeurs dans un espace de Fréchet Y. La dérivée de Gâteaux de Φ en un point x de U et dans une direction h de X est la limite dans Y (lorsqu'elle existe)

\Phi'(x ; h) = \lim_{t\to 0\atop t\ne0} \,\frac{1}{t}\Big(\Phi(x+th)-\Phi(x)\Big),

où la variable t est prise réelle.

La fonction Φ est dite Gâteaux-différentiable en x s'il existe une application linéaire continue Φ'G(x ) de X dans Y telle que pour tout h de X, (Φ'G(x ))(h) = Φ'(x ; h).

La différentielle de l'application Φ peut alors être vue comme une fonction définie sur une partie de l'espace de Fréchet X×X et à valeurs dans Y. Elle peut éventuellement être différentiée à son tour.

Par exemple, l'opérateur linéaire de dérivation D : C∞([0,1]) → C∞([0,1]) défini par D (f ) = f ' est infiniment différentiable. Sa première différentielle est par exemple définie pour tout couple (f, h) de fonctions infiniment dérivables par D' (f )(h) = h' , autrement dit D' (f ) = D.

Cependant, le théorème de Cauchy-Lipschitz ne s'étend pas à la résolution des équations différentielles ordinaires sur des espaces de Fréchet en toute généralité.

Notes et références

  1. ↑ (en) Jean Dieudonné, Treatise on Analysis, vol. 2, p. 66
  2. ↑ (en) S. M. Khaleelulla, Counter examples in topological vector spaces, LNM 936, p. 108, donne un exemple d'espace localement convexe complet dont le quotient par un certain sous-espace fermé n'est même pas séquentiellement complet.

Voir aussi


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