- Base de voisinages
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Voisinage (mathématiques)
La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme la continuité en tout point. En revanche, pour les propriétés locales comme la continuité en un point ou la limite, le formalisme des voisinages est souvent plus simple.
Sommaire
Voisinage dans un espace topologique
Dans un espace topologique, un voisinage d'un point est un sous-ensemble contenant un ouvert contenant ce point. Soit
un espace topologique et
un point de
. Notons alors
l'ensemble des voisinages de
. Nous pouvons alors remarquer que :
(donc
)
Nous venons de démontrer que les voisinages de
forment un filtre sur
pour l'inclusion. On peut de plus remarquer que (comme un ouvert est voisinage de chacun de ses points) :
et
(on retrouve donc que
)
Topologie définie à partir des voisinages
La section précédente montre que les axiomes de la topologie définissent les voisinages en chaque point. On peut alors définir axiomatiquement l'ensemble des voisinages. Cette définition nous permet de définir une topologie.
Soit
un ensemble. Une application de
dans
notée
forme un ensemble de voisinages si et seulement si:
est un filtre sur
pour l'inclusion
et
Considérons alors l'ensemble des parties de
qui sont voisinages de chacun de leurs points. Cet ensemble forme une topologie.
Base de voisinages
L'ensemble des voisinages d'un point est vaste. L'analyse des filtres pour l'inclusion nous indique qu'il nous suffit de connaître une base de filtre pour définir cet ensemble de voisinages. La définition, déduite directement du concept de base de filtre, est donc la suivante : Une base de voisinages
d'un point
d'un ensemble
est une famille de sous-ensembles de
contenant
et telle que toute intersection finie d'éléments de
contient un élément de
.
Un voisinage de
est alors tout sous-ensemble de E contenant un élément de
.
Limite et continuité en un point
Le formalisme des voisinages permet d'exprimer simplement les notions de limite et de continuité en un point.
Limite
Soit
un espace topologique et
un sous espace de
. Soit
une fonction de
dans
un espace topologique. Soit
un point de l'adhérence
de
, la fonction
admet
comme limite au point
si et seulement si l'image réciproque d'un voisinage de
est un voisinage de
dans
. L'expression de la limite prend alors la forme suivante:
Continuité
Soit
une fonction d'un espace topologique
dans
et soit
un point élément du domaine de définition de
. La fonction
est continue au point
si et seulement si l'image réciproque d'un voisinage de
est un voisinage de
. L'expression de la continuité au point
prend alors la forme suivante :
Exemples
Le cas des entiers positifs
Il est possible de compléter
avec la valeur
. Si on associe à cet espace le filtre de Frêchet, contenant tous les complémentaires des ensembles finis qui contiennent la valeur
. Alors
possède un ensemble de voisinages. On peut alors définir la limite d'une suite
à valeur dans
ou
. Cette suite converge vers la valeur
quand
tend vers
si et seulement si:
0 \quad \exist N \in \mathbb N \quad \forall n > N \quad |u_n- l|<\epsilon \;" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/54/6a7ff533a5624e3f6053f1b2b9fcd40e.png" border="0">
Le cas des nombres réels
Dans l'ensemble des réels, on définit les voisinages d'un réel a de la manière suivante:
est un voisinage de
si et seulement s'il existe un réel strictement positif
tel que
. Les intervalles cités forment une base de filtre pour les voisinages du point
. C'est un cas particulier des espaces métriques traités en exemple et démontré à la suite de cette section.
Exprimons alors les notions de limite et de continuité pour une fonction
définie sur
un sous ensemble des nombres réels dans
un espace topologique.
Soit
un élément de l'adhérence de
et
un élément de
. Dire que la fonction
a pour limite
au point
, c'est dire que pour tout voisinage
il existe
strictement supérieur à
tel que l'image de l'intersection de l'intervalle
avec
est incluse dans
. Ou encore:
0\quad \forall x \in ]a - \mu; a + \mu[\;\cap\; E \quad f(x)\in V\quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to a}f(x)=l\;" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/52/4f4a69364a3f2a73d9c2d965b715e78b.png" border="0">
La continuité en
si
est un élément du domaine de définition de
s'exprime de la manière suivante:
0\quad \forall x \in ]a - \mu; a + \mu[\;\cap\; E \quad f(x)\in V\;" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/101/ead78a8d2e00436457e3ef66c6375b9a.png" border="0">
Dans le cas des fonctions réelles de la variable réelle, on obtient:0 \quad \exist \mu > 0\quad \forall x \in E \quad |x-a|<\mu \Rightarrow |f(x)- l|<\epsilon \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to a}f(x)=l\;" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/102/fcf7dbb222bd7caf3ea8a6c15562787a.png" border="0">
Pour la continuité on a:
0 \quad \exist \mu > 0\quad \forall x \in E \quad |x-a|<\mu \Rightarrow |f(x)- f(a)|<\epsilon \;" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/57/969db9c785549373aa6a4a5d1897d6e6.png" border="0">
Extension de la droite réelle
Il est possible d'étendre la droite réelle avec les valeurs
et
. on définit alors leurs voisinages:
- Voisinage de
: V est un voisinage de
si et seulement s'il existe un réel M tel que
- Voisinage de
: V est un voisinage de
si et seulement s'il existe un réel M tel que
Remarque: On peut remarquer que la droite réelle étendue avec les voisinages précédents forme bien une topologie. En revanche cette topologie n'est pas déduite de la distance usuelle. En effet, les points limites de la droite réelle n'ont pas de distance vis à vis des autres points.
Dans le cas des fonctions réelles de la variable réelle, on obtient:
0 \quad \exist M \in \mathbb R \quad \forall x \in E \quad x>M \Rightarrow |f(x)- l|<\epsilon \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to +\infty}f(x)=l\;" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/55/71e9cafacc75c67a97c5e94cad4a3efb.png" border="0">
0 \quad \exist M \in \mathbb R \quad \forall x \in E \quad x
Espace métrique
Tout espace métrique est muni d'une topologie déduite. En effet, soit
un espace métrique, soit
un point de
et
un réel strictement positif. L'ensemble des boules ouvertes de centre
et de rayon
forment une base de filtre pour l'inclusion. Considérons alors
l'ensemble tous les filtres générés par cette base de filtre. Montrons alors que
forment un ensemble de voisinages. Par construction un ensemble
est élément de
si et seulement s'il existe une boule ouverte de centre
et de rayon
strictement positif, contenue dans
.
est un filtre pour l'inclusion par construction.
- Tout élément
de
contient
car il contient une boule centrée sur
et de rayon strictement positif.
- Enfin soit
un élément de
. Alors il existe un réel
tel que la boule ouverte de centre
et de rayon
soit incluse dans
. Soit alors
un élément de cette boule.
est à une distante
de
avec
strictement plus petit que
par définition de la boule. L'inégalité triangulaire nous garantit que la boule ouverte de centre
et de rayon
est incluse dans la boule de centre
et de rayon
.
Nous venons de démontrer que les axiomes des ensembles de voisinages sont bien satisfaits, ce qui montre que l'application de
dans
définit bien un ensemble de voisinages. Les ouverts sont alors les ensembles
tel que pour tout point
de
il existe une boule ouverte de centre
incluse dans
.
Exprimons alors les notions de limite et de continuité pour une fonctiondéfinie sur
dans
un espace métrique. On note
(resp.
) la distance dans
(resp. dans
).
Soit
un élément de l'adhérence de
et
un élément de
. Dire que la fonction
a pour limite
au point
, c'est dire que pour tout
strictement supérieur à
, il existe
strictement supérieur à
, tel que l'intersection l'image de la boule ouverte de centre
et de rayon
avec
, est incluse dans la boule ouverte de centre
et de rayon
, Ou encore:
0 \quad \exist \mu > 0\quad \forall x \in E \quad d_E(x,a)<\mu \quad \Rightarrow \quad d_F(f(x),l)<\epsilon\quad\Leftrightarrow \quad \lim_{x \to a}f(x)=l\;" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/101/e202b0696d9b4accddb27cd5487691d4.png" border="0">
La continuité en
si
est un élément du domaine de définition de
s'exprime de la manière suivante:
0 \quad \exist \mu > 0\quad \forall x \in E \quad d_E(x,a)<\mu \quad \Rightarrow \quad d_F(f(x),f(a))<\epsilon\;" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/56/81bde90124235c8df88b1ec5a97f677c.png" border="0">
L'ensembleest un voisinage de l'ensemble
si et seulement si
est un voisinage de tous les points de
.
est appelé voisinage uniforme de l'ensemble
si et seulement s'il existe un rayon
strictement positif tel que, pour tout
de
, la boule ouverte de centre
et de rayon
est incluse dans
.
Exemple : dans l'ensemble des réels muni de la distance issue de la valeur absolue, l'ensemble
défini par :
est un voisinage de l'ensemble
des entiers naturels, mais n'est pas un voisinage uniforme de celui-ci.
Topologie faible
Il existe des topologies qui ne sont pas associées à des espaces métriques. La topologie faible en est un exemple.
Voir aussi
Bibliographie
- Laurent Schwartz, Topologie générale et analyse fonctionnelle, édition Hermann
Liens internes
Soit A une partie d'un ensemble topologique.
- L'ensemble des points dont A est un voisinage est appelé l'intérieur de A.
- L'ensemble des points dont le voisinage rencontre A est appelé l'adhérence de A.
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Catégorie : Topologie générale
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