Espace localement convexe

Espace localement convexe

Sommaire

Définition

Un espace vectoriel topologique E est dit localement convexe s'il vérifie l'une des deux propriétés équivalentes suivantes :

  1. la topologie de E est la topologie initiale associée à une famille de semi-normes;
  2. le vecteur nul possède une base de voisinages formée de convexes.

Dans ce cas, la famille de semi-normes peut toujours être choisie filtrante.

Démonstration de l'équivalence des deux définitions
  • (1) \Rightarrow (2)
En effet toute semi-norme sur E est une fonction convexe et donc pour tout R > 0 l'ensemble des x de E vérifiant p(x) < R est convexe.
  • (2) \Rightarrow (1)
Soient T la topologie de E, supposée vérifier (2), et T' celle, moins fine, définie par la famille de toutes les semi-normes sur E continues pour T.
Il s'agit de prouver qu'inversement, T\subset T'. Il suffit pour cela de montrer que tout T-voisinage V de 0 contient un T'-voisinage de 0.
Or pour un tel V, par continuité de l'application (\lambda,v)\mapsto \lambda v, il existe un réel α > 0 et un T-voisinage W de 0, que l'on peut supposer convexe d'après (2), tels que
| λ | < α et v \in W \; \Rightarrow \lambda v \in V.
V contient alors l'ensemble Ω défini par
\Omega = \bigcup_{|\lambda | < \alpha} \lambda W.
De plus, Ω est voisinage de 0 (donc absorbant), convexe, et équilibré. Sa jauge est donc une semi-norme continue sur E, dont la boule de centre 0 et de rayon 1 / 2 est par conséquent un T'-voisinage de 0. Or cette boule est incluse dans Ω, donc dans V.

Critère de séparation

Théorème — Pour qu'un espace localement convexe E défini par une famille \quad (p_i)_{i \in I} de semi-normes soit séparé, il faut et il suffit que pour tout vecteur non nul \quad v\in E il existe une semi-norme \quad p_i telle que \quad p_i(v) \ne 0.

En effet, un espace vectoriel topologique est séparé si et seulement si l'intersection des voisinages de 0 est réduite au singleton 0, autrement dit si et seulement si pour tout vecteur v non nul, il existe un voisinage de 0 ne contenant pas v.

Continuité d'une fonction

Soient (E,\mathcal P),(F,\mathcal Q) deux espaces localement convexes, dont les topologies sont respectivement définies par des familles de semi-normes \mathcal P (supposée filtrante) et \mathcal Q (quelconque), et f une application du premier espace dans le second. La proposition suivante résulte des définitions.

Proposition — 

  • f est continue en un point v de E si et seulement si

\forall q \in\mathcal Q\quad \forall \epsilon >0 \quad \exists p\in \mathcal P\quad\exists \alpha >0\quad\forall w\in E\quad p(w-v)<\alpha\quad\Rightarrow\quad q(f(w)-f(v))<\epsilon\ .

\forall q\in\mathcal Q\quad\forall\epsilon >0\quad\exists p\in\mathcal P\quad\exists\alpha >0\quad\forall v \in E\quad\forall w\in E\quad p(w-v)<\alpha\quad\Rightarrow\quad q(f(w)-f(v))<\epsilon\ .

Par exemple (en prenant F=\R et \mathcal Q=(|\ |)), toutes les semi-normes appartenant à \mathcal P sont uniformément continues sur E (car 1-lipschitziennes). Une semi-norme q sur E est en fait uniformément continue si et seulement si elle est continue en 0, ce qui équivaut à l'existence d'une semi-norme p\in\mathcal P et d'une constante C > 0 telles que q\le C\ p. On en déduit un analogue pour les applications linéaires :

Proposition — Une application linéaire T:E\to F est uniformément continue si et seulement si elle est continue en 0, ce qui se traduit par :
\forall q \in\mathcal Q\quad\exists p\in\mathcal P\quad\exists C >0\quad\forall v \in E\quad q(T(v))\le C\ p(v)\ .

Métrisabilité

Théorème[1] — Soit E un espace localement convexe séparé, dont la topologie est définie par une famille \mathcal P de semi-normes. Les conditions suivantes sont équivalentes :

  1. E est métrisable.
  2. Tout point de E possède une base dénombrable de voisinages.
  3. La topologie de E peut être définie par une sous-famille dénombrable \mathcal D\subset\mathcal P de semi-normes.
  4. La topologie de E peut être définie par une famille dénombrable filtrante de semi-normes.
  5. La topologie de E peut être définie par une distance invariante par translation.
Démonstration

On a clairement 5\Rightarrow 1\Rightarrow 2.

  • 2\Rightarrow 3

Soit (V_n)_{n\in\N} une base de voisinages de 0. Chaque Vn contient une boule de la forme B_{q_n}(0,r_n), où rn > 0 et q_n=\max_{p\in\mathcal D_n}p pour une certaine partie finie \mathcal D_n\subset\mathcal P. La topologie définie par la sous-famille dénombrable \mathcal D=\cup_{n\in\N}D_n est évidemment moins fine que celle de E, mais également plus fine, par construction.

  • 3\Rightarrow 4

Soit (p_n)_{n\in\N} une suite de semi-normes définissant la topologie de E. En posant q_n=\max_{k\le n}p_k on obtient une suite filtrante de semi-normes définissant la même topologie.

  • 4\Rightarrow 5

Soit (p_n)_{n\in \mathbb N^*} une suite filtrante de semi-normes définissant la topologie de E ; posons pour tous \quad u,v\in E,

d(u,v)=\max_{n\in\N^*}\frac{\min(p_n(u-v),1)}n.

(C'est bien un max : le sup est atteint car la suite est positive et tend vers 0.) Les premier et troisième axiomes d'une distance (symétrie et inégalité triangulaire) sont clairement vérifiés, autrement dit d est un écart. Le deuxième (séparation) résultera du fait que d définit la topologie de E, qui est supposée séparée.

L'invariance par translation de cet écart est également immédiat (\quad d(u+w,v+w)=d(u,v)).

Il reste à montrer que la topologie définie par cet écart est identique à celle définie par la suite de semi-normes. Comme d est invariant par translation, il suffit de montrer que toute d-boule (ouverte) de centre 0 et de rayon positif contient une pn-boule de centre 0 et de rayon positif, et réciproquement. Autrement dit :

(i)\qquad\forall \varepsilon >0\quad\exists n \in \mathbb N^*\quad\exists \alpha >0\quad p_n(w)<\alpha \Rightarrow d(w,0)<\varepsilon
(ii)\qquad\forall \varepsilon >0\quad\forall n \in \mathbb N^*\quad \exists\alpha>0\quad d(w,0)<\alpha\Rightarrow p_n(w)<\varepsilon
    • Démontrons (i). Soit \varepsilon >0

Pour que d(w,0) < ε, il suffit que \forall k\le 1/\varepsilon,\ p_k(w)<k\varepsilon. La suite de semi-normes étant filtrante, on peut trouver une semi-norme \ p_n majorant toutes les semi-normes de cette famille finie \ (p_k)_{k\le 1/\varepsilon}. Il suffit alors de poser \alpha=\varepsilon\,.

    • Démontrons (ii). Soit encore ε > 0, et soit n\in\N^* fixé.

Pour que pn(w) < ε, il suffit que d(w,0)<1/n\, et d(w,0) < nε. On peut donc choisir α = min(1 / n,nε).

Remarquons qu'un espace vectoriel normé est un espace localement convexe métrisable (topologie définie par une seule semi-norme : la norme). Cependant la réciproque n'est pas vraie : les analogues pour p < 1 des espaces Lp avec avec p ≥ 1 sont métrisables par une distance invariante, mais ne sont pas localement convexes.

Espace de Fréchet

Article détaillé : Espace de Fréchet.

Un espace de Fréchet est un espace localement convexe qui est à la fois métrisable et complet au sens des espaces uniformes, ou plus simplement : un espace localement convexe complètement métrisable (c'est-à-dire dont la topologie est induite par une distance complète).

Notes et références

  1. ↑ Claude Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Édition Hermann, Collection Méthodes, 1995



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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Espace localement convexe de Wikipédia en français (auteurs)

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