Nombre formel
- Nombre formel
-
En mathématiques, la notion de nombre formel est une extension de la notion de nombre (réel).
Origine
Les mathématiciens ont introduit plusieurs extensions de la notion de nombre dont l'une des dernières et des plus abstraites est la notion de nombre formel. Un nombre formel est l'analogue de différentes façons d'un nombre réel. Les nombres réels sont apparus naturellement, après les entiers naturels et les nombres rationnels, pour mesurer des quantités physiques. Les nombres formels n'ont pas cette application concrète, mais ils forment aussi un corps commutatif où l'addition et la multiplication sont rendues possibles comme pour les autres nombres.
Mise en œuvre
Ils sont définis par un développement semblable au développement décimal pour les nombres réels, mais la base dix est ici remplacée par une indéterminée T. Pour cela ils apparaissent comme une série de puissances où la somme des puissances positives est la partie entière du nombre tandis que la somme des puissances négatives est la partie fractionnaire du nombre.
C'est pourquoi ces nombres sont le plus souvent nommés séries formelles et de façon encore moins adéquate séries de Laurent. Le point important est le choix de l'ensemble des coefficients de ces séries de puissances, qui correspondent aux chiffres, de 0 à 9, dans l'écriture décimale d'un nombre réel.
Pour plusieurs raisons ces coefficients doivent appartenir à une structure appelée corps fini et notée F_q, qui a q éléments et où q est une puissance d'un nombre premier p. L'exemple le plus simple de corps fini est F_2 qui contient les seuls éléments 0 et 1. Les corps finis sont apparus au XIXe siècle, introduits par le mathématicien français Galois. Par conséquent un corps de nombres formels, plus précisément nombres formels sur F_q, est une extension naturelle de la notion du corps fini F_q, et pourrait être notée F(q) en omettant l'indéterminée T, qui n'a qu'un rôle formel. Les entiers formels qui sont des polynômes sur un corps fini ont été considérés dans la première moitié du XXe siècle par le mathématicien américain Carlitz. Les modules de Carlitz ont été par la suite généralisés par la notion de module de Drinfeld (en). Le prolongement aux séries de puissances est dû à différents mathématiciens dans la deuxième moitié du XXe siècle. Ces corps de nombres formels sont aussi appelés corps de fonctions par les théoriciens des nombres et leur étude est une partie de l'arithmétique des corps de fonctions.
Exemples concrets
Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète.
Votre aide est la bienvenue !
Liens externes
Wikimedia Foundation.
2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Nombre formel de Wikipédia en français (auteurs)
Regardez d'autres dictionnaires:
Nombre réel — Pour les articles homonymes, voir Réel. En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s applique donc aux nombres rationnels, dont les… … Wikipédia en Français
Nombre Définissable — Un nombre définissable, nommé aussi parfois nombre accessible[1], ou nombre nommable[2], correspond à la notion intuitive décrite par Emile Borel [3] de « nombre pouvant être décrit comme un objet mathématique, de sorte que ceux qui en… … Wikipédia en Français
Nombre definissable — Nombre définissable Un nombre définissable, nommé aussi parfois nombre accessible[1], ou nombre nommable[2], correspond à la notion intuitive décrite par Emile Borel [3] de « nombre pouvant être décrit comme un objet mathématique, de sorte… … Wikipédia en Français
Nombre définissable — Un nombre définissable, nommé aussi parfois nombre accessible[1], ou nombre nommable[2], correspond à la notion intuitive décrite par Emile Borel [3] de « nombre pouvant être décrit comme un objet mathématique, de sorte que ceux qui en… … Wikipédia en Français
Nombre Complexe — Pour les articles homonymes, voir complexe. Les nombres complexes forment une extension de l ensemble des nombres réels. Ils permettent notamment de définir des solutions à toutes les équations polynomiales à coefficients réels. Les nombres… … Wikipédia en Français
Nombre Complexe Fendu — En mathématiques, les nombres complexes fendus sont une extension des nombres réels définis de manière analogue aux nombres complexes (usuels). La différence clef entre les deux est que la multiplication des nombres complexes (usuels) respecte la … Wikipédia en Français
Nombre complexe fendu — En mathématiques, les nombres complexes fendus sont une extension des nombres réels définis de manière analogue aux nombres complexes (usuels). La différence clef entre les deux est que la multiplication des nombres complexes (usuels) respecte la … Wikipédia en Français
Nombre dérivé — Dérivée Ne doit pas être confondu avec différentielle. En analyse, le nombre dérivé d une fonction en un point est, si celui ci existe, le coefficient directeur de la tangente au graphe de cette fonction en ce point. C est à dire le… … Wikipédia en Français
Nombre complexe — Pour les articles homonymes, voir complexe. En mathématiques, les nombres complexes forment une extension de l ensemble des nombres réels. Ils permettent notamment de définir des solutions à toutes les équations polynomiales à coefficients réels … Wikipédia en Français
Nombre complexe déployé — En mathématiques, les nombres complexes déployés ou fendus sont une extension des nombres réels définis de manière analogue aux nombres complexes (usuels). La différence clef entre les deux est que la multiplication des nombres complexes (usuels) … Wikipédia en Français
) · 
) · 
) · 
) · 
) · 
)
) · 
) · 
) · 
) · 
