- Théorème de représentation de Riesz
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Il existe en analyse fonctionnelle plusieurs théorèmes nommés théorème de représentation de Riesz, en l'honneur du mathématicien Frigyes Riesz.
Sommaire
Le théorème de représentation de Riesz dans les espaces de Hilbert
Ce théorème est aussi parfois appelé théorème de Fréchet-Riesz (à ne pas confondre avec le théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov). Il s'apparente singulièrement au théorème de Lax-Milgram qui englobe l'énoncé ci-dessous. Pour tout vecteur y d'un espace de Hilbert H, la forme linéaire qui à x associe <y,x> est continue sur H (sa norme est égale à celle de y, d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz). Le théorème de Riesz énonce la réciproque : toute forme linéaire continue sur H s'obtient de cette façon[1].
Énoncé
Soient :
- H un espace de Hilbert (réel ou complexe)[2] muni de son produit scalaire noté
- une forme linéaire continue sur H.
Alors il existe un unique y dans H tel que pour tout x de H on ait .
Démonstration
Unicité de y
Soient y et z deux éléments de H vérifiant .
Pour tout on a et en particulier d'où y = z.
Existence de y en dimension finie
Si H est de dimension finie, l'existence se déduit de l'unicité. En effet, puisque l'application de H dans son espace dual (de même dimension sur R) qui à tout y associe la forme linéaire <y, > est R-linéaire (antilinéaire dans le cas complexe) et injective, elle est surjective.
Existence de y en dimension quelconque
Si , il suffit de choisir y = 0.
Supposons . Le noyau ker(f) de f est alors distinct de H. Or c'est un sous-espace vectoriel de H (par linéarité de f) et il est fermé (car c'est l'image réciproque du fermé {0} par l'application continue f). D'après le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert on en déduit que n'est pas réduit à {0}.
Soit donc b un vecteur non nul orthogonal à ker(f).
Pour tout , posons .
Ainsi et en particulier .
En développant, on obtient
D'où finalement
avec .
Extension aux formes bilinéaires
Énoncé
Si a est une forme bilinéaire continue sur un espace de Hilbert réel (ou une forme sesquilinéaire complexe continue sur un Hilbert complexe), alors il existe une unique application A de dans telle que, pour tout on ait . De plus, A est linéaire et continue, de norme égale à celle de a.
Démonstration
Démontrons-le dans le cas réel (le cas complexe est analogue). Pour un vecteur fixé u de , le théorème de représentation de Riesz assure de l'existence d'un unique vecteur Au dans tel que : pour tout ,
On pose défini tel que décrit ci-dessus. Pour tous v,u1,u2 de et tout réel λ on a
donc A est linéaire.
Soit c la norme de l'application bilinéaire continue a. Pour tous vecteurs u,v on a :
. Pour v = Au, on en déduit . Donc l'application linéaire A est continue, et sa norme - notons-la d - est inférieure ou égale à c.
Montrons l'inégalité inverse. Pour tous vecteurs u,v on a :
, donc c est inférieure ou égale à d, d'où l'égalité.
Le théorème de représentation de Riesz en théorie de la mesure
Le théorème de représentation de Riesz est fondamental en théorie de la mesure, et permet entre autres une construction efficace de la mesure de Lebesgue à partir de l'intégrale de Riemann. Il est connu que l'intégrale sur un espace topologique X associée à une mesure de Borel quelconque μ est une forme linéaire positive sur l'espace vectoriel Cc(X) des fonctions réelles, continues et à support compact définies sur X. Le théorème de représentation de Riesz établit sous certaines hypothèses la réciproque de cette propriété : on se donne une forme linéaire sur Cc(X), et on veut savoir si elle correspond à l'intégrale associée à une mesure μ.
Énoncé
Soit X un espace séparé localement compact, et soit Λ une forme linéaire positive sur Cc(X). Alors il existe une tribu contenant les boréliens, et une unique mesure μ sur telles que :
- ,
- Pour tout compact K de X,
- Pour tout ,
- Pour tout E ouvert de X ou appartenant à et vérifiant ,
La mesure μ est construite comme suit[3] :
- Pour tout ouvert V de X, on pose μ(V) = sup{Λ(f)} où f décrit l'ensemble des fonctions à valeurs dans [0,1] et dont le support est compact et inclus dans V.
- Pour toute partie E de X, on pose
- La tribu est constituée des parties E de X telles que, pour tout compact K,
Notes et références
- Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions] p. 77
- Forme sesquilinéaire complexe) : produit scalaire linéaire par rapport à v et semi-linéaire par rapport à w, comme dans les articles Espace préhilbertien et Espace de Hilbert, ou l'inverse, comme ici et dans l'article Dual topologique. Les formules sont à adapter en fonction de la convention choisie. Dans le cas complexe, deux conventions coexistent (voir l'article
- Rudin, op. cit.
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