- Forme sesquilinéaire complexe
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Cet article concerne un cadre élémentaire. Pour un cadre général, voir Forme sesquilinéaire et Forme hermitienne.
En algèbre, une forme sesquilinéaire sur un espace vectoriel complexe E est une application de E × E dans , linéaire selon l'une des variables et semi-linéaire par rapport à l'autre variable. Elle possède donc une propriété de « un-et-demi » linéarité (cf. sesqui). C'est l'équivalent complexe des formes bilinéaires réelles.
Les formes sesquilinéaires les plus étudiées sont les formes hermitiennes qui correspondent aux formes bilinéaires (réelles) symétriques. Parmi celles-ci, les formes hermitiennes définies positives permettent de munir E d'un produit scalaire et ouvrent à l'étude des espaces hermitiens, des espaces préhilbertiens complexes et des espaces de Hilbert.
Sommaire
Définitions et conventions
Forme semi-linéaire
- Soit E un -espace vectoriel, une application φ de E dans est semi-linéaire[1] (ou antilinéaire) si :
- Elle respecte l'addition et presque la multiplication scalaire : pour tous x, y de E, pour tout λ de : où est le conjugué de λ
Une application semi-linéaire vérifie : f(ix) = − if(x), ce qui justifie l'autre terme utilisé : application anti-linéaire.
Forme sesquilinéaire (à gauche)
Les conventions qui suivent imposent un choix de l'argument qui est linéaire. Le choix ci-dessous (forme sesquilinéaire à gauche : première variable semi-linéaire, deuxième variable linéaire) est utilisé par tous les physiciens[2], ceci étant dû à l'origine à l'utilisation de la notation bra-ket (peut-être pas universel), mais le choix opposé est courant en mathématiques[3] depuis les années 1950.
- Une application f de E × F → est une forme sesquilinéaire (à gauche) si :
- a) Elle est linéaire à droite : pour tout x de E, y, y' de F, pour tout λ de :
- b) Elle est semi-linéaire à gauche, ce qui signifie que pour tout x, x' de E et y de F, pour tout λ de : .
Les formes sesquilinéaires (à gauche) constituent un sous-espace vectoriel complexe de l'espace des applications de E x F dans C.
Formes hermitiennes
Forme hermitienne à gauche (resp. à droite) : c'est une forme sesquilinéaire à gauche (resp. à droite, suivant la convention choisie) sur E x E qui vérifie la propriété de symétrie hermitienne :
- c) Pour tous x et y de E,
- En particulier : , donc f(x,x) est un réel.
- Réciproquement, une forme sesquilinéaire pour laquelle f(x,x) est réel pour tout vecteur x est nécessairement hermitienne[4].
Les formes hermitiennes (à gauche) constituent un espace vectoriel réel.
Forme hermitienne positive : c'est une forme hermitienne telle que :
- d) pour tout x de E,
Forme hermitienne définie : c'est une forme hermitienne telle que
- e) pour tout x de E, implique
Forme hermitienne non dégénérée : c'est une forme hermitienne telle que :
- f) pour tout x de E, si pour tout y de E, , alors
Toute forme hermitienne définie est donc non dégénérée. Pour une forme hermitienne positive, la réciproque est vraie grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz : toute forme hermitienne positive non dégénérée est définie.
Une forme hermitienne définie positive (ou positive non dégénérée) est encore appelée produit scalaire (sous-entendu au sens complexe).
Exemples
- En dimension finie, on prouve que les seules formes sesquilinéaires à gauche sont les applications définies dans une base par :
où X et Y sont les vecteurs colonnes, coordonnées de x et y dans la base (e1,...,en), et où A est la matrice définie par .
L'espace vectoriel complexe des formes sesquilinéaires (à gauche) sur un espace vectoriel de dimension n est donc isomorphe à l'espace vectoriel des matrices carrées . Les formes sesquilinéaires hermitiennes correspondent aux matrices telles que .
- Soit B un ensemble non vide et le -espace vectoriel des applications de B dans , et soient a et b deux éléments de B. La forme fa,b définie par est une forme sesquilinéaire (à gauche) à symétrie hermitienne.
Notes et références
- N. Bourbaki, Algèbre, II, p. 32
- C'est aussi le choix des programmes officiels d'enseignement en France
- Bourbaki qui a introduit le terme applications sesquilinéaires dans Algèbre, chapitre IX, page 10 parle de forme sesquilinéaire à droite et dans EVT, chapitre V, page 1 choisit ses formes hermitiennes sesquilinéaires à gauche.
- Bourbaki, EVT, chapitre V, page 2, remarque.
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