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Théorème de Lax-Milgram
Le théorème de Lax-Milgram – des noms de Peter Lax et Arthur Milgram – est un théorème de mathématiques. Il est utilisé pour résoudre des équations différentielles partielles via la formulation faible et sert ainsi notamment de fondement à la méthode des éléments finis.
Sommaire
Énoncé
Soient :
- un espace de Hilbert réel muni de son produit scalaire noté , de norme associée notée
- une forme bilinéaire qui est
- L une forme linéaire continue sur .
Sous ces hypothèses il existe un unique u de tel que l'équation a(u,v) = Lv soit vérifiée pour tout v de :
Si de plus la forme bilinéaire a est symétrique, alors u est l'unique élément de qui minimise la fonctionnelle définie par pour tout v de , c'est-à-dire :
Démonstration
Cas général
Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un unique tel que pour tout .
Pour tout , l'application est une forme linéaire continue sur et donc de la même manière, il existe un unique élément tel que pour tout . On montre facilement que l'opérateur ainsi défini est un endomorphisme linéaire continu sur . La relation (1) s'écrit donc de manière équivalente :
Pour prouver cette proposition, il suffit donc de montrer que A est une bijection de sur . On montre dans un premier temps que l'opérateur est injectif, puis qu'il est surjectif.
Par la coercivité de a et en appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a pour tout
d'où pour tout v de (*), ce qui montre que A est injectif.
Pour la surjectivité, considérons l'image de l'opérateur A dans .
L'inégalité (*) implique que, si Aun est une suite de Cauchy, alors un est une suite de Cauchy, dans complet donc converge vers . Et A est continue, donc Aun converge vers Au.
est donc un sous-espace fermé de et par le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé on sait que .
Soit ensuite un élément w de , on a par définition et donc :
d'où w = 0. Ainsi, est réduit à {0}, ce qui montre que A est surjectif.
L'endomorphisme A est bijectif, il existe donc un unique u de tel que Au = f et il est donné par u = A − 1f.
Remarque
Sans calculer u on a l'inégalité
où désigne la norme de l'espace dual .
Cas symétrique
Si la forme bilinéaire a est symétrique, on a pour tout w de :
Comme u est l'unique solution de la proposition (1), cela donne
Et comme a est coercive, on a :
On a donc pour tout , d'où le résultat (2).
Applications
- Ce théorème est à la base des méthodes aux éléments finis, on peut en effet montrer que si au lieu de chercher u dans l'on cherche un dans , un sous espace de de dimension finie n, alors d'une part :
- Dans le cas où a est symétrique un est le projeté de u au sens du produit scalaire définit par a
- Si l'on se donne une base de , le problème se ramène alors à la résolution d'un système linéaire :
- avec et
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