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Théorème de Gauss-Lucas
En mathématiques, le théorème de Gauss-Lucas, ou théorème de Lucas, établit une propriété des polynômes complexes. Il énonce que les racines du polynôme dérivé sont situées dans l'enveloppe convexe de l'ensemble des racines du polynôme d'origine.
Ce résultat est utilisé de façon implicite en 1836 par Carl Friedrich Gauss et prouvé en 1874 par Édouard Lucas[1].
Sommaire
Motivation
Il est facile de remarquer que si
est un polynôme du second degré, le zéro de
est la demi-somme des zéros de
.
Par ailleurs, si un polynôme de degré
à coefficients réels admet
zéros réels distincts
, on voit en utilisant le théorème de Rolle que les zéros du polynôme dérivé sont dans l'intervalle
.
Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation.
Enoncé
Soit
un polynôme non constant à coefficients complexes. Alors tout zéro de
appartient à l'enveloppe convexe de l'ensemble des zéros de
.
Preuve
Soit
la décomposition de
en facteurs irréductibles : les complexes
sont les zéros distincts du polynôme, les entiers
leurs multiplicités.
On a alors
En particulier, si
et
,
ou encore
ce qui s'écrit aussi
En prenant les conjugués, on voit que
est un barycentre à coefficients positifs des
.
Le cas où
est aussi zéro de
est évident.
Voir aussi
Notes et références
- ↑ Édouard Lucas, Propriétés géométriques des fractions rationnelles, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 77 et 78 (1874)
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