Théorie d'Iwasawa

Théorie d'Iwasawa

La théorie d'Iwasawa peut être vue comme une tentative d'étendre les résultats arithmétiques classiques sur les corps de nombres (extensions finies du corps \mathbb{Q} des rationnels) à des extensions infinies de \mathbb{Q}, par des procédés de passage à la limite des extensions finies vers les extensions infinies.

Sommaire

Généralités

Les objets de base de la théorie d'Iwasawa sont les \mathbb{Z}_p-extensions ; c'est-à-dire des extensions galoisiennes dont le groupe de Galois est le groupe profini \mathbb{Z}_p, pour p un nombre premier fixé. Par la correspondance de Galois, la donnée d'une \mathbb{Z}_p-extension est équivalente à celle d'une tour d'extensions K=K_0\subset K_1\subset\dots\subset K_n\subset\dots\subset K_\infty telle que chaque Kn est galoisienne sur K de groupe de Galois \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}.

  • Pour chaque corps de nombres, une \mathbb{Z}_p-extension particulière peut-être construite par adjonction de racines p-ièmes de l'unité : la \mathbb{Z}_p-extension cyclotomique.
  • Sous la conjecture de Leopoldt, un corps de nombres admet r2 + 1 \mathbb{Z}_p-extensions linéairement indépendantes, où r2 est le nombre de couples de plongements complexes conjugués du corps considéré ; ce qui peut encore s'énoncer en disant que le compositum de toutes ces extensions a pour groupe de Galois \mathbb{Z}_p^{r_2+1}.

Théorème fondamental

Le théorème fondateur de la théorie, dû à Iwasawa, porte sur le comportement du groupe des classes le long d'une \mathbb{Z}_p-extension. Soit p\, un nombre premier, K\, un corps de nombres, et \bigcup_n K_n\, une \mathbb{Z}_p\,-extension de K\,. Pour chaque n\,, on s'intéresse au cardinal du p\,-Sylow du groupe des classes de K_n\, ; notons le p^{e_n}\,. Alors, il existe des entiers \mu\,, \lambda\, (positifs), \nu\, (de signe quelconque), tels que pour n\, assez grand, on ait :

e_n=\mu p^n+\lambda n+\nu\,

Idée de la démonstration

Notons A(Kn) le p-Sylow du groupe des classes du corps Kn. Par la théorie du corps de classes, il existe une extension Ln de Kn tel que A(K_n)\simeq Gal(L_n/K_n) : Ln est la p-extension abélienne non ramifiée maximale de Kn. L'union des corps Ln fournit alors un corps L, qui est la pro-p- extension abélienne non ramifiée maximale de K_\infty.

On considère alors le groupe de Galois X=Gal(L/K_\infty) :

  • X est la limite projective des groupes Gal(Ln / Kn), qui apparaissent comme des quotients de X.
  • X en tant que pro-p-groupe abélien a une structure naturelle de \mathbb{Z}_p-module.
  • Par ailleurs, le groupe de Galois de l'extension cyclotomique Gal(K_\infty/K) agit sur X, dont on peut montrer qu'il est ainsi muni d'une structure de \mathbb{Z}_p[[T]]-module, c'est-à-dire de module d'Iwasawa.

L'investigation de la structure des modules d'Iwasawa relève de l'algèbre linéaire. Connaissant leur classification à pseudo-isomorphisme près, et ayant calculé par quel sous-groupe on quotiente X pour obtenir Gal(Ln / Kn), on peut en déduire l'estimation asymptotique du cardinal de ces groupes, qui founrit la formule annoncée sur A(Kn).

Quelques résultats et conjectures

Développements

Le développement des idées d'Iwasawa peut se faire selon plusieurs axes :

  • on considère le comportement le long des étages d'une \Z_p-extension d'autres objets que le groupe de classes, notamment du groupe de Mordell-Weil d'une courbe elliptique. On parle de théorie d'Iwasawa des courbes elliptiques.
  • on considère le comportement des objets arithmétiques non plus le long d'une \mathbb{Z}_p-extension, mais dans des extensions infinies ayant d'autres groupes de Galois : par exemple \mathbb{Z}_p^d, ou plus généralement un groupe analytique p-adique. Se développe ainsi une théorie d'Iwasawa non commutative, notamment sous l'impulsion de John Coates.

Notes et références

Notes

  1. (en) B. Mazur et A. Wiles, « Class fields of abelian extensions of Q », dans Inventiones Mathematicae, vol. 76, no 2, 1984, p. 179–330 [texte intégral] 
  2. (en) A. Wiles, « The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields », dans Annals of Mathematics, vol. 131, no 3, 1990, p. 493–540 [lien DOI] 
  3. (en) K. Rubin, « The "main conjectures" of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields », dans Inventiones Mathematicae, vol. 103, no 1, 1991, p. 25–68 [lien DOI] 
  4. (en) C. Skinner et É. Urban, The Iwasawa main conjectures for GL2, preprint (2010).

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Iwasawa theory » (voir la liste des auteurs)
  • (en) Lawrence C. Washington (de), Introduction to cyclotomic fields [détail des éditions]

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorie d'Iwasawa de Wikipédia en français (auteurs)

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