Theoreme de Herbrand-Ribet

Theoreme de Herbrand-Ribet

Théorème de Herbrand-Ribet

Le théorème de Herbrand-Ribet est un renforcement du théorème de Kummer avec pour effet le fait que le nombre premier p divise le nombre de classes du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité si et seulement si p divise le dénominateur du n-ième nombre de Bernoulli B_n\, pour un certain n, 0 < n < p - 1\,. Le théorème de Herbrand-Ribet précise ce que veut dire, en particulier, lorsque p divise B_n\,.

Le groupe de Galois \Sigma\, du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité pour un nombre premier impair p, \mathbb{Q}(\zeta) avec \zeta^p = 1\,, est constitué des p - 1 éléments \sigma_a\,, où \sigma_a\, est défini par le fait que \sigma_a(\zeta) = \zeta^a\,. Comme conséquence du petit théorème de Fermat, dans l'anneau des entiers p-adiques \mathbb{Z}_p, nous avons p - 1 racines de l'unité, chacune d'elles est congrue mod p à un certain nombre dans l'intervalle 1 à p - 1; nous pouvons par conséquent définir un caractère de Dirichlet \omega\, (le caractère de Teichmüller) avec des valeurs dans \mathbb{Z}_p en requérant ceci pour n relativement premier à p, \omega(n) \equiv n \mod{p}\,. La partie p du groupe de classes est un \mathbb{Z}_p-module, et nous pouvons appliquer les éléments dans l'anneau \mathbb{Z}_p[\Sigma] vers lui et obtenir les éléments du groupe de classes. Nous pouvons maintenant définir un élément idempotent de l'anneau pour chaque n de 1 à p - 1, comme

\epsilon_n = \frac{1}{p-1}\sum_{a=1}^{p-1} \omega(a) \sigma_a^{-1}\,.

Nous pouvons maintenant séparer la partie p du groupe des classes d'idéaux G de \mathbb{Q}(\zeta) par identification des idempotents; si G est le groupe des classes d'idéaux, alors G_n = \epsilon_n(G)\,.

Alors, nous avons le théorème de Herbrand-Ribet : G_n\, ne contient pas d'élément si et seulement si p divise le nombre de Bernoulli B_{p - n}\,. La partie exprimant p divise B_{p - n}\, si G_n\, est non trivial est due à Herbrand. La réciproque, si p divise B_{p - n}\, alors G_n\, est non trivial est due à Ribet, et est considérablement plus difficile. Par la théorie des corps de classes, ceci peut être vrai s'il existe une extension non-ramifiée du corps des racines p-ièmes de l'unité par une extension cyclique de degré p qui se comporte d'une manière précise sous l'action de \Sigma\,; Ribet démontra ceci par une construction concrète d'une telle extension.

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