Nombre figuré

En arithmétique, un nombre figuré est un nombre entier qui peut être représenté par un ensemble de points disposés de façon plus ou moins régulière et formant une figure géométrique.

Les nombres figurés sont d'origine très ancienne. On attribue parfois à Pythagore les premières études de nombres figurés^[1] (nombres carrés). Diophante a résolu plusieurs problèmes les concernant. Pascal a écrit un traité sur le sujet.

Sommaire

1 Exemple de nombres figurés
2 Pistes d'exploration
3 Classification
4 Notes et références
5 Voir aussi
6 Articles connexes
- 6.1 Sources
- 6.2 Liens

Exemple de nombres figurés

Les nombre figurés les plus simples sont

Les nombres carrés

1	4	9

Les nombres triangulaires

1	3	6

Les nombres hexagonaux centrés

1	7	19

Ils correspondent par exemple à la répartition des cônes de couleur au centre de la rétine.

Les nombres cubiques:

1 8 27 64

qui dessinent un cube dans l'espace

Les nombres figurant sur les faces d'un dé cubique:

1	2	3	4	5	6

Pistes d'exploration

Le premier contact que tout être pensant entretient avec le nombre passe par le nombre figuré. C'est un langage universel non lié à l'écriture et aux systèmes de numération. Le nombre figuré permet de prouver que certains animaux (le poulpe par exemple) ont une conscience du nombre. En pédagogie, le passage par le nombre figuré permet de visualiser des propriétés comme la commutativité ou l'associativité des lois d'addition et de multiplication – lois qui leur sont dictées en construisant des rangées ou des tables de points. La relation 2 + 3 = 3 + 2 = 5, par exemple, qui traduit le fait que 2 et 3 sont permutables pour l'addition, peut être représentée par

Et la relation 2×3 = 3×2 = 6 (qui traduit le fait que 2 et 3 sont permutables pour la multiplication) peut être représentée par

2×3	3×2	6

On voit que on peut passer d'un rectangle à l'autre par rotation de 90° donc sans changer le nombre d'éléments. D'autre part, la somme est la simple juxtaposition des lignes des rectangles.

L'étude des nombres figurés consiste en général à trouver une relation entre le nombre lui-même et son rang dans la série. Par exemple, le nombre triangulaire de rang n est $\frac{n(n+1)}{2}$ . Le nombre cubique de rang n est $n^3\,$ . Les concepts des nombres figurés font intervenir implicitement le concept moderne de récurrence.

Une deuxième voie de recherche est de déterminer les propriétés des nombres figurant dans une même série. Par exemple, il est facile de montrer qu'il n'y a aucun nombre premier parmi les nombres triangulaires (sauf 3), carrés ou rectangles.

Une autre voie de recherche est d'utiliser les nombres figurés dans des résolutions d'équation dans $\mathbb N$ comme l'extraction de racine carré et de racine cubique.

Classification

On range les nombres figurés suivant la dimension de la figure représentée. Celle-ci est très fréquemment un polytope et le nombre est alors appelé un nombre polytopique.

En dimension un

les nombres linéaires

ce sont les entiers classiques

En dimension deux

Les nombres polygonaux (triangulaires, carrés, pentagonaux, hexagonaux, heptagonaux, octogonaux ou gnomoniques)
les nombres polygonaux centrés (triangulaires, carrés, pentagonaux, hexagonaux, heptagonaux, octogonaux)

En dimension trois

nombres tétraédriques
nombres cubiques ou cubiques centrés

En dimension supérieure

Les nombres figurés ne sont plus représentables par des figures correspondant au monde tangible mais sont considérés comme des vues de l'esprit

nombre hypersolide (en dimension quatre)
nombre Dn (en dimension n)

Une transversale

Il existe une liste de nombre figuré évoluant à la fois sur la taille de la figure et sur la dimension qu'elle détermine : ce sont les nombres r - topiques

nombres linéaires en dimension un
nombres triangulaires en dimension deux
nombres tétraédriques en dimension trois
nombres pentatopiques en dimension 4

Le nombre $r\,$ - topique de rang n est donné par la formule

$\forall n\in\mathbb{N}^*\quad P_r(n) = C_{n+r-1}^r = {n^{(r)} \over {r!}}$

$r!\,$ est la factorielle de $r$ , $C_n^r = {n \choose p}$ est un coefficient binomial, et $n^{(r)}\,$ est la factorielle croissante.

Les nombres polytopiques pour r = 2, 3, et 4 sont

$P_2(n)=\frac{n(n+1)}{2}$ (nombres triangulaires)
$P_3(n)=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ (nombres tétraédriques)
$P_4(n)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}$ (nombres pentatopiques)

Notes et références

↑ Paul-Henri Michel, De Pythagore à Euclide, contribution à l'histoire des mathématiques préeuclidienne, Paris, les belles lettres, p 295 (ouvrage commenté par Emile Bréhier, dans la Revue d'histoire des sciences et leurs applications, année 1950, Volume 3, numéro 3-3 p 203)

Voir aussi

v · d · m Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel ( $\scriptstyle\mathbb{N}$ ) · Entier relatif ( $\scriptstyle\mathbb{Z}$ ) · Nombre décimal ( $\scriptstyle\mathbb{D}$ ) · Nombre rationnel ( $\scriptstyle\mathbb{Q}$ ) · Nombre réel ( $\scriptstyle\mathbb{R}$ ) · Nombre complexe ( $\scriptstyle\mathbb{C}$ )
Extensions	Quaternion ( $\scriptstyle\mathbb{H}$ ) · Octonion ( $\scriptstyle\mathbb{O}$ ) · Sédénion ( $\scriptstyle\mathbb{S}$ ) · Nombre complexe déployé · Tessarine · Nombre bicomplexe ( $\scriptstyle\mathbb{C}$ ) · Nombre multicomplexe ( $\scriptstyle\mathbb{MC}$ ) · Biquaternion · Coquaternion · Octonion déployé · Nombre hypercomplexe · Nombre p-adique ( $\scriptstyle\mathbb{Q}$ ) · Nombre hyperréel · Nombre superréel · Nombre dual · Droite réelle achevée · Nombre cardinal · Nombre ordinal · Nombre surréel · Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité · Nombre premier · Nombre composé · Carré parfait · Nombre parfait · Nombre positif · Nombre négatif · Fraction dyadique · Nombre irrationnel · Nombre algébrique · Nombre transcendant · Nombre imaginaire pur · Nombre de Liouville · Nombre normal · Nombre univers · Nombre constructible · Nombre réel calculable · Nombre transfini · Infiniment petit · Infiniment grand
Exemples	Pi (π) · Racine carrée de deux (√2) · Nombre d’or (φ) · Zéro (0) · Unité imaginaire ( $i$ ) · Constante de Neper ( $e$ ) · Aleph-zéro (ℵ₀) · Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre · Numération · Fraction · Opération · Calcul · Algèbre · Arithmétique · Suite d’entiers · Infini (∞) · Chiffre significatif

Articles connexes

théorème de Pick

Sources

Gnomon, From Pharaohs to Fractals. Midhat J. Gazalé, Princeton University Press, Princeton, 1999.
Une classification des nombres figurés

Liens

Une exploration originale des nombres figurés dans le cercle de 360 degrés

http://www.laral.ch/aour

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