Symbole de Pochhammer

Symbole de Pochhammer

En mathématiques, le symbole de Pochhammer noté

(x)_n\,

ou préférablement

(x)^n\,

est utilisé en théorie des fonctions spéciales pour représenter la factorielle croissante :

(x)^n = x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)

et est parfois utilisée en combinatoire pour représenter la factorielle décroissante

(x)_n = x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1).

Si x et n sont tous les deux entiers, on peut établir :

(x)^n = {(x+n-1)! \over (x-1)!} pour la factorielle croissante, et
(x)_n = {x! \over (x-n)!} pour la factorielle décroissante.

Le produit vide (x)0 ou (x)0 est défini comme étant égal à 1 dans les deux cas.

Cette notation fut introduite par Leo Pochhammer.

On peut noter que le symbole reste défini ainsi même pour les valeurs de x non entières. Cependant, cette définition ne pourrait s'appliquer qu'à des valeurs de n entières. Toutefois, on peut noter que même pour des valeurs de x entières, on a aussi l'égalité:

(x)^n = {\Gamma(x+n) \over \Gamma(x)} pour la factorielle croissante,
(x)_n = {\Gamma(x+1) \over \Gamma(x-n+1)} pour la factorielle décroissante,

d’après les propriétés de la fonction Gamma, qui est aussi définie sur des valeurs réelles non nécessairement entières, ce qui permet alors d'étendre le symbole de Pochhammer pour des valeurs non entières à la fois de x et n.

La factorielle décroissante apparaît dans une formule, qui représente les polynômes en utilisant l'opérateur de différence Δ, qui est similaire à la formule de Taylor en analyse. Dans cette formule, la factorielle décroissante (x)k dans le calcul des différences finies joue le rôle de xk en calcul différentiel. Remarquons par exemple la similitude entre

\Delta((x)_k) = k \cdot (x)_{(k-1)}

et

D(x^k) = k \cdot x^{k-1}

où D désigne l'opérateur de dérivation des polynômes.

D'autres notations utilisées par Ronald Graham, Donald Knuth et Oren Patashnik (en) dans leur livre Concrete Mathematics (en) remplacent celles (ambiguës sur leur interprétation selon l'usage) de Pochhammer :

x^{\overline{n}} désigne la factorielle croissante et
x^{\underline{n}} la factorielle décroissante.

Relations particulières

Les factorielles croissantes et décroissantes sont liées aux coefficients binomiaux par les relations suivantes:

\frac{(x)^{n}}{n!} = {x+n-1 \choose n} \quad\mbox{et}\quad \frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.

Sources

  • Mathematical techniques for engineers and scientists, de Larry C. Andrews, Ronald L. Phillips (2003)

Liens externes


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Symbole de Pochhammer de Wikipédia en français (auteurs)

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