Fonction Beta

Fonction Beta

Fonction bêta

En mathématiques, la fonction bêta est un type d'intégrale d'Euler définie pour tous complexes x et y par


\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt si \textrm{Re}(x)>0 \, et \textrm{Re}(y) > 0.\,.

La fonction bêta a été étudiée par Euler et Legendre et doit son nom à Jacques Binet. Elle est en relation avec la fonction Gamma d'Euler

Il existe aussi une version incomplète de la fonction bêta, la fonction bêta incomplète ainsi qu'une version régularisée de celle-ci, la fonction bêta incomplète régularisée

Propriétés

Dans sa définition sous forme d'intégrale, le changement de variable u = 1 - t prouve que cette fonction est symétrique c'est à dire que :

\mathrm{\Beta}(x,y)=\mathrm{\Beta}(y,x)\,.

Elle est liée à la fonction gamma par la relation suivante

\mathrm{\Beta}(x,y)=\frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}


Elle peut prendre aussi les formes intégrales

\mathrm{\Beta}(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,d\theta,
\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^\infty\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt,

Elle satisfait des équations fonctionnelles telles que :

\mathrm{\Beta}(x,y+1)={y \over x+y} \mathrm{\Beta}(x,y)

Fonction bêta incomplète

La fonction beta incomplète est définie par

\Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. \!

Pour x = 1, elle correspond à la fonction bêta de paramètres a et b

La fonction bêta incomplète régularisée consiste à diviser la fonction bêta incomplète par la fonction bêta complète

I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}. \!

Si a et b sont des entiers, des intégrations par parties conduisent à l'expression suivante de la fonction bête incomplète régularisée:

I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} {(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!} x^j (1-x)^{a+b-1-j}.
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Fonction b%C3%AAta ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction Beta de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Fonction beta — Fonction bêta En mathématiques, la fonction bêta est un type d intégrale d Euler définie pour tous complexes x et y par si et . La fonction bêta a été étudiée par Euler et Legendre et doit son nom à Jacques Binet. Elle est en relation avec la… …   Wikipédia en Français

  • Fonction bêta — En mathématiques, la fonction bêta est un type d intégrale d Euler définie pour tous complexes x et y par si et . La fonction bêta a été étudiée par Euler et Legendre et doit son nom à Jacques Binet. Elle est en relation avec la fonction Gamma d… …   Wikipédia en Français

  • Fonction Beta De Dirichlet — Fonction bêta de Dirichlet En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C est un cas particulier de fonction L de… …   Wikipédia en Français

  • Fonction beta de Dirichlet — Fonction bêta de Dirichlet En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C est un cas particulier de fonction L de… …   Wikipédia en Français

  • Fonction beta de dirichlet — Fonction bêta de Dirichlet En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C est un cas particulier de fonction L de… …   Wikipédia en Français

  • Fonction bêta de Dirichlet —  Ne pas confondre avec la fonction bêta à deux variables. En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C est un cas… …   Wikipédia en Français

  • Fonction zeta de Catalan — Fonction bêta de Dirichlet En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C est un cas particulier de fonction L de… …   Wikipédia en Français

  • Fonction zêta de Catalan — Fonction bêta de Dirichlet En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C est un cas particulier de fonction L de… …   Wikipédia en Français

  • Fonction β de Dirichlet — Fonction bêta de Dirichlet En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C est un cas particulier de fonction L de… …   Wikipédia en Français

  • Fonction Polylogarithme — La fonction polylogarithme (aussi connue sous le nom de fonction de Jonquière) est une fonction remarquable et peut être définie pour tout s et |z|<1 par : Le paramètre s et l argument z sont pris sur l ensemble , l ensemble des nombres… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”