Distribution de Gumbel

Distribution de Gumbel
Gumbel
Densité de probabilité / Fonction de masse
Probability distribution function
Fonction de répartition
Cumulative distribution function
Paramètres \mu\! location (réel)
\beta>0\! échelle (réel)
Support x \in (-\infty; +\infty)\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{\exp(-z)\,z}{\beta}\!
avec z = \exp\left[-\frac{x-\mu}{\beta}\right]\!
Fonction de répartition \exp(-\exp[-(x-\mu)/\beta])\!
Espérance \mu + \beta\,\gamma\!
Médiane (centre) \mu - \beta\,\ln(\ln(2))\!
Mode \mu\!
Variance \frac{\pi^2}{6}\,\beta^2\!
Asymétrie \frac{12\sqrt{6}\,\zeta(3)}{\pi^3} \approx 1.14\!
Kurtosis normalisé \frac{12}{5}
Entropie \ln(\beta)+\gamma+1\!
pour \beta > \exp(-(\gamma+1))\!
Fonction génératrice des moments \Gamma(1-\beta\,t)\, \exp(\mu\,t)\!
Fonction caractéristique \Gamma(1-i\,\beta\,t)\, \exp(i\,\mu\,t)\!
modifier Consultez la documentation du modèle

En théorie des probabilités, la distribution de Gumbel ou loi de Gumbel, nommée d'après Émil Julius Gumbel, est une distribution de probabilité continue. C'est une distribution particulièrement importante en théorie des valeurs extrêmes : la distribution de Gumbel est une bonne approximation de la loi du maximum d'un échantillon de variables aléatoires indépendantes et de même loi, dès que cette loi appartient, précisément, au domaine d'attraction de la loi de Gumbel. Parmi les lois appartenant au domaine d'attraction de la loi de Gumbel, on compte la loi exponentielle[1].

La distribution de Gumbel peut, par exemple, servir à prévoir le niveau des crues d'un fleuve, si on possède le relevé des débits sur dix ans. Elle peut aussi servir à prédire la probabilité d'un événement critique, comme un tremblement de terre.

Sommaire

Fonctions caractéristiques

La fonction de répartition de la loi de Gumbel est :

F(x;\mu,\beta) = e^{-e^{(\mu-x)/\beta}}.\,

Pour μ = 0 et β = 1, on obtient la loi standard de Gumbel.

À voir

Notes

  1. ↑ Regular variation, Bingham, Goldie et Teugels.

Bibliographie

  • (en) N. H. Bingham, C. M. Goldie et J. L. Teugels, Regular Variation, Cambridge, Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (no 27), juin 1989, 1re éd., 516 p. (ISBN 9780521379434) 
v · Lois de probabilités
Lois discrètes
à support fini Loi de Bernoulli • Loi uniforme discrète • Loi binomiale • Loi hypergéométrique • Loi de Benford
à support dénombrable Loi géométrique • Loi de Poisson • Loi binomiale négative • Loi logarithmique
Lois continues
à support compact Loi uniforme continue • Loi triangulaire • Loi bêta
à support semi-infini Loi exponentielle • Loi Gamma • Loi du χ² • Loi de Fisher • Loi de Weibull • Loi de Rayleigh • Loi de Rice • Loi d'Erlang • Loi de Lévy • Loi inverse-gamma • Loi log-normale
à support infini Loi normale • Loi normale asymétrique • Loi de Cauchy • Loi de Laplace • Loi logistique • Loi de Student • Loi stable • Loi de Gumbel
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