Convergence de variables aléatoires

Dans la théorie des probabilités, il existe différentes notions de convergence de variables aléatoires. La convergence (dans un des sens décrits ci-dessous) de suites de variables aléatoires est un concept important de la théorie des probabilités utilisé notamment en statistique et dans l'étude des processus stochastiques. Par exemple, la moyenne de n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées converge presque sûrement vers l'espérance commune de ces variables aléatoires. Ce résultat est connu sous le nom de loi forte des grands nombres.

Dans cet article, on suppose que (X_n) est une suite de variables aléatoires réelles, que X est une variable aléatoire réelle, et que toutes ces variables sont définies sur un même espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ .

Sommaire

1 Convergence en loi
2 Convergence en probabilité
3 Convergence presque sûre
4 Convergence en moyenne d'ordre r
5 Convergence d'une fonction d'une variable aléatoire
6 Implications réciproques
7 Notes
8 Références

Convergence en loi

Soient F₁, F₂, ... la suite des fonctions de répartition associées aux variables aléatoires réelles X₁, X₂, ..., et F la fonction de répartition de la variable aléatoire réelle X. Autrement dit, F_n est définie par F_n(x)=P(X_n ≤ x), et F par F(x)=P(X ≤ x).

La suite X_n converge vers X en loi, ou en distribution, si

$\lim_{n\rightarrow\infty} F_n(a) = F(a),$ pour tout réel a où F est continue.

Puisque F(a) = P(X ≤ a), cela signifie que la probabilité que X appartienne à un certain intervalle est très similaire à la probabilité que X_n soit dans cet intervalle pour n suffisamment grand. La convergence en loi est souvent notée en ajoutant la lettre $\mathcal L$ (ou $\mathcal D$ pour distribution) au-dessus de la flèche de convergence:

$X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X.$

La convergence en loi est la forme la plus faible au sens où, en général, elle n'implique pas les autres formes de convergence définies ci-dessous, alors que ces autres formes de convergence impliquent la convergence en loi. C'est ce type de convergence qui est utilisé dans le théorème de la limite centrale.

De manière équivalente, la suite (X_n) converge en loi vers X si et seulement si pour toute fonction continue bornée

$\lim_{n\rightarrow\infty} E[f(X_n)]=E [f(X)].$

Théorème de continuité de Paul Lévy — Soit $φ n (t)$ la fonction caractéristique de $X n$ et $φ(t)$ celle de $X$ . Alors

$\left\{\forall t\in\mathbb{R} : \varphi_n(t)\to\varphi(t)\right\}\quad\Leftrightarrow\quad\left\{ X_n \xrightarrow{\mathcal D} X\right\}$

Autrement dit, (X_n) converge en loi vers X ssi la fonction caractéristique de la variable aléatoire réelle X_n converge simplement vers la fonction caractéristique de la variable aléatoire réelle X.

exemple: Théorème de la limite centrale :

La moyenne d'une suite de variables aléatoires centrées, indépendantes et de même loi, une fois renormalisée par $\sqrt n$ converge en loi vers la loi normale

$\sqrt{n}\bar X_n\xrightarrow{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0, \sigma^2).$

exemple: convergence de la loi de Student :

La loi de Student de paramètre $k$ converge, lorsque $k$ tend vers $+\infty$ , vers la loi de Gauss:

$\mathrm{t}(k)\xrightarrow{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0,1).$

Dans ce cas, on peut aussi utiliser le lemme de Scheffé, qui est un critère de convergence d'une suite de variables aléatoires à densité vers une variable aléatoire à densité.

exemple: loi dégénérée :

La suite^[1] $\mathcal{N}\left(0, \frac{1}{n}\right)$ converge en loi vers une variable aléatoire X₀ dite dégénérée, qui prend une seule valeur (0) avec probabilité 1 (on parle parfois de masse de Dirac en 0, notée $δ 0$ ) :

$\mathbb{P}(X_0\le x)=\delta_0\left(]-\infty,x]\right)=\begin{cases}0 & \text{ si } x< 0,\\1 &\text{ si } x \geq 0.\end{cases}$

Convergence en probabilité

Définition — On dit que $X n$ converge vers $X$ en probabilité si,

$\forall \varepsilon>0,\qquad \lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb{P}\left(\left|X_n-X\right|\geq\varepsilon\right)=0.$

La convergence en probabilité est parfois notée $X_n \xrightarrow{p} X$ , ou encore $\operatorname{plim} X_n = X$

La convergence en probabilité est utilisée dans la loi faible des grands nombres.

La convergence en probabilité implique la convergence en loi. On peut donc énoncer le théorème suivant:

Théorème — $X n$ converge vers $X$ en probabilité $\Rightarrow$ $X n$ converge vers $X$ en loi.

Démonstration

Pour effectuer la démonstration, le lemme suivant est utile

Soient X, Y des variables aléatoires réelles, c un réel et ε > 0. Alors

Lemme — $\mathbb{P}(Y\leq c)\leq \mathbb{P}(X\leq c+\varepsilon)+\mathbb{P}(\left|Y - X\right|>\varepsilon).$

Démonstration du lemme

$\mathbb{P}(Y\leq c)=\mathbb{P}(Y\leq c,X\leq c+\varepsilon)+\mathbb{P}(Y\leq c,X>c+\varepsilon)$

$=\mathbb{P}(Y\leq c \vert X\leq c+\varepsilon)\mathbb{P}(X\leq c+\varepsilon)+\mathbb{P}(Y\leq c,c<X - \varepsilon)$

$\leq \mathbb{P}(X\leq c+\varepsilon)+\mathbb{P}(Y - X<- \varepsilon)\leq \Pr(X\leq c+\varepsilon)+\mathbb{P}(\left|Y - X\right|>\varepsilon)$

car

$\mathbb{P}(\left|Y - X\right|>\varepsilon)=\mathbb{P}(Y - X>\varepsilon)+\mathbb{P}(Y - X<-\varepsilon)\geq \mathbb{P}(Y - X<-\varepsilon).$

Pour tout ε > 0, en raison de ce lemme, on a:

$\mathbb{P}(X_n\leq a)\leq \mathbb{P}(X\leq a+\varepsilon)+\mathbb{P}(\left|X_n - X\right|>\varepsilon)$

$\mathbb{P}(X\leq a-\varepsilon)\leq \mathbb{P}(X_n \leq a)+\mathbb{P}(\left|X_n - X\right|>\varepsilon)$

On a donc

$\mathbb{P}(X\leq a-\varepsilon)-\mathbb{P}(\left|X_n - X\right|>\varepsilon)\leq \mathbb{P}(X_n \leq a)\leq \mathbb{P}(X\leq a+\varepsilon)+\mathbb{P}(\left|X_n - X\right|>\varepsilon).$

Soit $a$ un point de continuité de $F X$ . On fixe un réel $ε' > 0$ . Par continuité de $F X$ en $a$ , il existe un réel $\varepsilon >0$ tel que $|P(X\leqslant a+\varepsilon)-P(X\leqslant a)|<\varepsilon'$ et $|P(X\leqslant a-\varepsilon)-P(X\leqslant a)|<\varepsilon'$ .

De la convergence de $(X n) n$ en probabilité vers $X$ , on peut en déduire l'existence d'un entier $N$ tel que : $\mathbb{P}(\left|X_n - X\right|>\varepsilon)<\varepsilon'$ si $n \geqslant N$ .

D'où : $\forall n \in \N, n\geqslant N \Rightarrow |P(X_n\leqslant a)-P(X\leqslant a)|<2\varepsilon'$ .

Il existe des conditions suffisantes de convergence en probabilité vers une constante^[2], portant sur l'espérance et la variance des termes de la suite :

Théorème — $\lim_{n \to \infty} \operatorname{E}[X_n]=c\quad \mathbf{ et } \quad \lim_{n \to \infty}\operatorname{Var}[X_n]= 0 \Rightarrow X_n \xrightarrow{p} c$ .

Démonstration

On veut montrer que $\lim_{n \to \infty}\operatorname{E}[X_n]= c\quad \mathbf{ et } \quad \lim_{n \to \infty}\operatorname{Var}[X_n]= 0 \Rightarrow X_n \xrightarrow{p} c$

On se sert de l'inégalité de Markov pour les variables aléatoires réelles admettant un moment d'ordre 2 :

Théorème — $\mathbb{P}\left(\left|U\right| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{\operatorname{E}\left[U^2\right]}{\varepsilon^2}\qquad \forall \varepsilon >0.$

D'où, quels que soient le réel strictement positif $ε$ et l'indice n :

$\begin{align} \mathbb{P}\left(\left|X_n-c\right| \geq \varepsilon \right) &\leq \frac{\operatorname{E}\left[(X_n-c)^2\right]}{\varepsilon ^2}\\ &= \frac{\operatorname{Var}(X_n-c)+\left(\operatorname{E}[X_n-c]\right)^2}{\varepsilon ^2}\text{ (formule de Huygens)}\\ &= \frac{\operatorname{Var}(X_n)+\left(\operatorname{E}[X_n]-c\right)^2}{\varepsilon ^2}\\ \end{align}$

Il en découle que :

si $\operatorname{E}[X_n]\to c \quad \mathbf{ et }\quad \operatorname{Var}[X_n]\to 0\text{ alors }\mathbb{P}\left( |X_n -c|\geq\varepsilon\right)\to 0,\text{ donc } X_n \xrightarrow{p} c$

Exemple :

Ce théorème est très utile pour démontrer la loi faible des grands nombres de manière simple: il suffit de voir que si $\left(X_i\right)$ est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées d'espérance $μ$ et de variance $σ 2$ et que $\bar{X}_n =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ , alors:

$\operatorname{E}[\bar{X}_n]=\mu$

$\lim_{n\to\infty}\operatorname{Var}[\bar{X}_n]=\lim_{n\to\infty}\frac{\sigma^2}{n}=0\qquad$ (voir preuve sur la page variance)

Donc $\bar{X}_n\xrightarrow{p}\mu$

La réciproque n'est pas vraie :

En statistiques, un estimateur peut être biaisé mais cependant convergent !

Dans l'exemple suivant, la suite, d'espérance constante, converge vers une constante différente de cette espérance ; la suite des variances tend vers l'infini.

Exemple :

Soit une suite $\left(X_n\right)_{n \geq 1}$ de variables aléatoires telle que chaque $X n$ prenne pour valeurs 0 et n et que :

$\mathbb{P}(X_n=n)=\frac{1}{n}$ , donc $\mathbb{P}(X_n=0)=1-\frac{1}{n}$ .

On voit qu'elle converge en probabilité : $\forall \varepsilon >0, \forall n \geq \varepsilon: \mathbb{P}(|X_n|\geq\varepsilon)= \mathbb{P}(X_n=n)=\frac{1}{n} \to 0\text{ donc }X_n \xrightarrow{p} 0$ .

Cependant, $\operatorname{E}[X_n]=1$ et $\operatorname{Var}[X_n]=n-1\to +\infty$ .

Ainsi les conditions énoncées plus haut de convergence en probabilité vers une constante ne sont pas nécessaires^[3].

Convergence presque sûre

On dit que X_n converge presque sûrement ou presque partout ou avec probabilité 1 ou fortement vers X si

Définition — $\mathbb{P}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}X_n=X\right)=1.$

Cela signifie que les valeurs de X_n approchent la valeur de X, au sens où (cf. presque partout) l'événement sur lequel X_n ne converge pas vers X a une probabilité nulle.

On note souvent cela $X_n \xrightarrow{ps} X$ ou $X_n \xrightarrow{as} X$ (almost surely en anglais).

On peut expliciter la définition de la convergence presque sûre en utilisant l'espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ et le concept de variable aléatoire comme fonction de Ω dans $\R$ :

$\mathbb{P}\left(\big\{\omega \in \Omega \, | \, \lim_{n \to \infty}X_n(\omega) = X(\omega) \big\}\right) = 1.$

Théorème — $X n$ converge vers $X$ presque sûrement $\Rightarrow X_n$ converge vers $X$ en probabilité

La convergence presque sûre est utilisée dans la loi forte des grands nombres.

Convergence en moyenne d'ordre r

Soit r > 0. On dit que X_n converge vers X en moyenne d'ordre r ou en norme L^r si E|X_n|^r < ∞ pour tout n et

$\lim_{n\rightarrow\infty}\mathrm{E}\left(\left|X_n-X\right|^r\right)=0$ .

La convergence en moyenne d'ordre r nous dit que l'espérance de la puissance r-ième de la différence entre X_n et X converge vers zéro.

Pour r =2, on parle de convergence en moyenne quadratique

Théorème — $X n$ converge vers $X$ en norme L^r $\Rightarrow X_n$ converge vers $X$ en probabilité.

Démonstration

On se sert de l'inégalité de Markov pour les variables aléatoires réelles admettant un moment d'ordre r :

Théorème — $\mathbb{P}\left(\left|U\right| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{\operatorname{E}\left[|U|^r\right]}{\varepsilon^r}\qquad \forall \varepsilon >0.$

On a donc : $\mathbb{P}\left(\left|X_n-X\right| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{\operatorname{E}[\left|X_n-X\right|^r]}{\varepsilon^r}$ , d'où découle le résultat annoncé.

Théorème — Pour r > s ≥ 1, la convergence en norme L^r implique la convergence en norme L^s.

On a également le résultat suivant:

Théorème — $X n$ converge vers une constante $c$ en moyenne quadratique $\Leftrightarrow \left\{\lim_{n \to \infty}\operatorname{E}[X_n]=c\quad\mathbf{et}\quad \lim_{n \to \infty}\operatorname{Var}[X_n]=0\right\}$ .

Démonstration

On a vu plus haut que :

$\operatorname{E}\left[(X_n-c)^2\right] = \operatorname{Var}(X_n)+\left(\operatorname{E}[X_n]-c\right)^2$

Convergence d'une fonction d'une variable aléatoire

Un théorème très pratique, désigné en anglais généralement sous le nom de Mapping theorem (en), établit qu'une fonction g continue appliquée à une variable qui converge vers X convergera vers g(X) pour tous les modes de convergence:

Théorème — Mapping theorem^[4] Soit $g: \R^k \to\R^m$ une fonction continue en tout point d'un ensemble C tel que $\mathbb{P}(X\in C)=1$ :

Si $X_n\xrightarrow{\mathcal{L}}X\text{ alors }g(X_n)\xrightarrow{\mathcal{L}}g(X)$

Si $X_n\xrightarrow{p}X\text{ alors }g(X_n)\xrightarrow{p}g(X)$

Si $X_n\xrightarrow{p.s}X\text{ alors }g(X_n)\xrightarrow{p.s.}g(X)$

Exemple :

En statistiques, un estimateur convergent de la variance $σ 2$ est donné par:

$s^2_{n-1} \equiv \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(y_i - \overline{y} \right)^2$

On sait alors par le continuous mapping theorem que l'estimateur $\sqrt{s^2_{n-1}}$ de l'écart type $\sigma =\sqrt{\sigma ^2}$ est convergent, car la fonction racine est une fonction continue.

Implications réciproques

À quelques exceptions près, les implications mentionnées dans les sections précédentes n'ont pas de réciproque, à proprement parler. Voici toutefois quelques propriétés utiles qu'on pourrait qualifier de « semblants de réciproques » :

Si X_n converge en loi vers une constante réelle c, alors X_n converge en probabilité vers c.

Si X_n converge presque sûrement vers X, alors X_n converge en loi vers X, et la réciproque est fausse, mais il existe un théorème (appelé « théorème de représentation de Skorokhod (en) ») qui est une forme de réciproque, voir, dans Fonction de répartition, la section Convergence en loi et fonction de répartition, et particulièrement (1. implique 3.).

Si X_n converge en probabilité vers X, et si P(|X_n| ≤ b) = 1 pour tout n et un certain b, alors X_n converge en moyenne d'ordre r vers X pour tout r ≥ 1. Plus généralement, si X_n converge en probabilité vers X, et si la famille (|X|^p_n) est uniformément intégrable, alors X_n converge en moyenne d'ordre p vers X.
Si pour tout ε > 0,

$\sum_n\mathbb P\left(|X_n - X| > \varepsilon\right) < \infty,$

alors X_n converge presque sûrement vers X. En d'autres termes, si X_n converge en probabilité vers X suffisamment rapidement (i.e. la série ci-dessus converge pour tout ε > 0), alors X_n converge aussi presque sûrement vers X. Cela résulte d'une application directe du théorème de Borel-Cantelli.

Soit $(X_n)_{n\ge1}$ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes. Pour tout n, on pose :

$S_n = X_1+\cdots+X_n$ .

Alors la convergence presque sûre de la suite $(S_n)_{n\ge1}$ équivaut à sa convergence en probabilité ; autrement dit, la convergence presque sûre de la série de terme général $X n$ équivaut à sa convergence en probabilité.

Notes

↑ Pour plus de détail sur cet exemple: voir Davidson et McKinnon (1993, chap. 4)
↑ Ce sont en fait des conditions nécessaires et suffisantes de convergence en moyenne quadratique vers cette même constante, cf. infra.
↑ En fait, cet exemple montre qu'une suite de variables aléatoires réelles peut converger en probabilité vers une constante sans converger en moyenne quadratique.
↑ Tiré de Vaart (1998, p.7)

Références

(en) Russell Davidson, McKinnon, James, Estimation and Inference in Econometrics, New York, Oxford University Press, 1993 (ISBN 978-0-19-506011-9) (LCCN 92012048), p. 874
G.R. Grimmett and D.R. Stirzaker (1992). Probability and Random Processes, 2^nd Edition. Clarendon Press, Oxford, p. 271-285 (ISBN 0-19-853665-8)

(en) Adrianus Willem van der Vaart, Asymptotic Statistics, Cambridge, Cambridge University Press, 1998, 1^re éd., relié (ISBN 978-0-521-49603-2) (LCCN 98015176), p. 443

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