Somme arithmétique

Suite arithmétique

En mathématique, une suite arithmétique est une suite définie sur $\{n \in \mathbb N, n \geq n_0\}$ à valeurs dans un groupe additif E telle qu'il existe un élément $\ r$ de $\ E$ appelé raison pour lequel :

$\forall n \geq n_0 \ \ \ u_{n+1} = u_n + r \,$

En pratique $E = \R$ ou $\mathbb C$ . Mais on peut tout aussi bien rencontrer des suites arithmétiques à valeurs dans un espace vectoriel.

On dit alors que les termes $\ u_n$ sont en « progression arithmétique ».

Exemple Si la raison $\ r=2$ et $\ u_0=10$ :

$\ u_0=10$
$\ u_1=12$
$\ u_2=14$
$\vdots$

Terme général

Si $E$ est un groupe et si $(u_n )_{n\in\mathbb N}$ est une suite arithmétique de $E$ de raison $r\in E$ alors, pour tout $n\in\mathbb N$ :

$u_n = u_0 + n.r \,$

Plus généralement, si la suite est définie sur $\{n \in \mathbb N, n \geq n_0\}$ et si n et p appartiennent à A alors :

$u_n = u_p + (n - p).r \,$

Une suite arithmétique est donc entièrement déterminée par la donnée de son premier terme $u_{n_0}$ et par sa raison r.

Réciproquement, une suite définie sur $\{n \in \mathbb N, n \geq n_0\}$ par

$u_n = u_{n_0} + (n - n_0).r \,$

est une suite arithmétique de raison r.

En analyse réelle ou complexe, la suite arithmétique est l'aspect discret de la fonction affine.

Sens de variation et convergence

Ce paragraphe concerne les suites arithmétiques à valeurs dans $\R$ .

Si r > 0 la suite est croissante, si r < 0 la suite est décroissante et si r = 0 la suite est constante.

En général (si r est non nul), la suite arithmétique est divergente. Cependant elle admet une limite:

si r > 0 sa limite est $+ \infty$
si r < 0 sa limite est $- \infty$ .
Si la raison est nulle, la suite est constante et converge vers la constante.

Somme des termes

Si $E = \R$ ou $\mathbb C$ et si $(u_n )_{n\in\mathbb N}$ est une suite arithmétique de $E$ alors, pour tout $n\in\mathbb N$ :

$\sum_{0 \le p \le n}u_p={(n+1)\over 2}(u_0+u_n)$

La légende veut que la méthode de calcul fut inventée par Carl Friedrich Gauss, élève dissipé qu'il s'agissait d'occuper et à qui l'on aurait confié la tâche de calculer la somme de tous les entiers de 1 à 100. En écrivant la somme deux fois, dans un ordre différent, il obtint :

S = 1 + 2 + 3 + .... + 98 + 99 + 100

S = 100 + 99 + 98 + ...+ 3 + 2 + 1

Puis, remarquant que 100 + 1 = 99 + 2 = 98 + 3 = ... = 101, il obtint facilement

2S = 100 × 101 donc S = 50 × 101.

Légende ou réalité, cette astuce est la méthode de démonstration pour calculer les somme des termes:

S = u 0 + u 1 + ... + u n

S = u n + u n - 1 + ... + u 0

Remarquant que $u p + u n - p = u 0 + u n$ , il vient

$2S = (n+1) \times (u_0+u_n)$

Cette propriété s'applique pour calculer la somme des n premiers entiers

$1 + 2 + 3 ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

et se généralise à toute somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

$u_p + u_{p+1} + ...+u_n = \frac{(n-p+1)(u_n + u_p)}{2}$

Elle se généralise aussi à toute suite à valeurs dans un espace vectoriel sur un corps de caractéristique différente de $2$

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Suite arithm%C3%A9tique ».

Catégories : Mathématiques élémentaires | Suite

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Somme arithmétique de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

Somme (arithmetique) — Somme (arithmétique) Pour les articles homonymes, voir Somme. En mathématiques, la somme de deux nombres est le résultat de leur addition. Elle se calcule de différentes manières selon le système de numération employé. Du fait de la commutativité … Wikipédia en Français
Somme (arithmétique) — Pour les articles homonymes, voir Somme. En mathématiques, la somme de deux nombres est le résultat de leur addition. Elle se calcule de différentes manières selon le système de numération employé. Du fait de la commutativité et de l… … Wikipédia en Français
Somme totale — Somme (arithmétique) Pour les articles homonymes, voir Somme. En mathématiques, la somme de deux nombres est le résultat de leur addition. Elle se calcule de différentes manières selon le système de numération employé. Du fait de la commutativité … Wikipédia en Français
somme — 1. somme [ sɔm ] n. f. • v. 1175 some « substance d un écrit »; lat. summa, de summus « qui est au point le plus haut » 1 ♦ Math. Quantité formée de quantités additionnées; résultat d une addition. Faire la somme de deux nombres. « C est en… … Encyclopédie Universelle
Arithmetique modulaire — Arithmétique modulaire Couverture de l’édition originale des Recherches arithmétiques de Gauss, livre fondateur de l’arithmétique modulaire. En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres, l’arithmétique modulaire est un… … Wikipédia en Français
Arithmétique Modulaire — Couverture de l’édition originale des Recherches arithmétiques de Gauss, livre fondateur de l’arithmétique modulaire. En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres, l’arithmétique modulaire est un ensemble de méthodes… … Wikipédia en Français
Arithmétique modulaire (synthèse) — Arithmétique modulaire Couverture de l’édition originale des Recherches arithmétiques de Gauss, livre fondateur de l’arithmétique modulaire. En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres, l’arithmétique modulaire est un… … Wikipédia en Français
Arithmétique modulo — Arithmétique modulaire Couverture de l’édition originale des Recherches arithmétiques de Gauss, livre fondateur de l’arithmétique modulaire. En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres, l’arithmétique modulaire est un… … Wikipédia en Français
Arithmetique elementaire — Arithmétique élémentaire L’arithmétique élémentaire regroupe les rudiments de la connaissance des nombres telle qu elle est présentée dans l enseignement des mathématiques. Elle commence avec la comptine numérique, autrement dit la suite des… … Wikipédia en Français
Arithmétique (mathématiques élémentaires) — Arithmétique élémentaire L’arithmétique élémentaire regroupe les rudiments de la connaissance des nombres telle qu elle est présentée dans l enseignement des mathématiques. Elle commence avec la comptine numérique, autrement dit la suite des… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Somme arithmétique

Suite arithmétique

Terme général

Sens de variation et convergence

Somme des termes

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Somme arithmétique

Suite arithmétique

Terme général

Sens de variation et convergence

Somme des termes

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link