Représentations du groupe symétrique d'indice trois

Représentations du groupe symétrique d'indice trois

En mathématiques les représentations du groupe symétrique d'indice trois noté S3 sont un exemple simple d'application de la théorie des représentations d'un groupe fini.

Sur un corps de caractéristique nulle et contenant toutes les racines sixièmes de l'unité, il existe trois représentations irréductibles du groupe symétrique d'indice trois, la représentation triviale, celle correspondant à la signature et une d'ordre deux correspondant aux isométries linéaires laissant invariant un triangle équilatéral.

L'analyse des représentations de S3 est une illustration des concepts comme le théorème de Maschke, le caractère, la représentation régulière, les représentations induites et la réciprocité de Frobenius. Les constructions des différentes représentations sont ici réalisées manuellement, ce que permet la petitesse de l'ordre du groupe.

Sommaire

Représentations du groupe S3

Représentation régulière

Article détaillé : Représentation régulière.

Le groupe est d'ordre suffisamment limité pour permettre une représentation matricielle exhaustive de la représentation régulière. Si cette méthode est trop lourde pour être envisagé ne serait-ce que pour S4, elle est ici praticable.

Le groupe S3 contient six éléments et trois classes de conjugaison, la première ne contient que l'identité noté 1, la deuxième les transpositions t1 = (23), t2 = (13) et t3 = (12) et la troisième les deux cycles d'ordre trois c1 = (123) et c2 = (132). Si V est l'espace vectoriel de la représentation régulière, alors (1, c1, c2, t1, t2, t3) est la base canonique de la représentation, à l'ordre près.

Soit ρ le morphisme de groupe de S3 dans le groupe général linéaire GL(V) de V. Soit x et y deux éléments de G et donc de la base de V. Par définition de la représentation régulière, ρx(y) = xy. On en déduit les matrices Mx de la représentation :

M_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ,\quad M_{c_1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} ,\quad M_{c_2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

M_{t_1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ,\quad M_{t_2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad ,\quad M_{t_3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

On remarque l'existence de deux vecteurs propres pour toutes les images de ρ :

f_1=1+c_1+c_2+t_1+t_2+t_3 \quad et \quad f_2=1+c_1+c_2 - t_1 - t_2 - t_3 \;

Toute permutation laisse f1 invariant, toute permutation paire laisse f2 invariant et toute permutation impaire transforme f2 en -f2. On obtient ainsi deux représentations de degré un, l'une t est la représentation triviale, associant un à chaque élément de S3, l'autre σ associe la signature. Ces représentations sont de degré un donc irréductibles.

1 c1 c2 t1 t2 t3
t 1 1 1 1 1 1
σ 1 1 1 -1 -1 -1

Théorème de Maschke

Article détaillé : Théorème de Maschke.

Recherchons les autres représentations, le théorème de Maschke indique qu'elles sont toutes sommes directes de représentations irréductibles, il suffit donc de connaître toutes les représentations irréductibles.

Tout sous-espace vectoriel stable pour la représentation possède un supplémentaire stable pour cette représentation, le théorème de Maschke indique une méthode pour le trouver. Soit F l'espace vectoriel engendré par f1 et f2 et p le projecteur sur F parallèlement à l'espace engendré par c1, c2, t1, t2, alors le projecteur p0 défini par l'égalité suivante possède un noyau stable par toutes les images de ρ.

p_0=\frac{1}{6}\sum_{t\in G}\rho_t \circ p \circ \rho_t^{-1}

Dans la base canonique, on obtient les matrices P et P0 des deux projecteurs :

P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ,\quad P_0=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Notons G le noyau de p0. Le projecteur p0 est composé de deux matrices bloc égales, c'est la matrice du projecteur dont le noyau est composé des vecteurs colonnes de somme nulle. Notons G le noyau de p0. Si j désigne la racine cubique de l'unité, alors on obtient la base suivante de G

g_1=1+j.c_1+j^2.c_2\quad g_2=1+j^2.c_1+j.c_2\quad g_3=t_1+j.t_2+j^2.t_3\quad g_4=t_1+j^2.t_2+j.t_3

Considérons alors la représentation (G, φ) la représentation où φ est la restriction de ρ à G. Si Gx est la matrice de φx dans la base (gi) pour x élément de S3, on obtient :

G_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad G_{c_1}=\begin{pmatrix} j^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & j & 0 & 0 \\ 0 & 0 & j & 0 \\ 0 & 0 & 0 & j^2 \end{pmatrix},\quad G_{c_1}=\begin{pmatrix} j & 0 & 0 & 0 \\ 0 & j^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & j^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & j \end{pmatrix}


G_{t_1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad G_{t_2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & j & 0 \\ 0 & 0 & 0 & j^2 \\ j^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & j & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad G_{t_3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & j^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & j \\ j & 0 & 0 & 0 \\ 0 & j^2 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Représentation de S3 comme groupe des isométries du triangle

On remarque alors que l'espace vectoriel H engendré par g1 et g3 est un sous-espace stable par φ, il possède le supplémentaire engendré par g2 et g4 aussi stable et dont la représentation est isomorphe à celle de H. Soit θ la restriction de φ à H, (H, θ) est une représentation de degré deux, elle est présente deux fois dans la représentation ρ. Cette représentation est irréductible car sinon ρ serait une représentation de matrices diagonales et son ensemble d'arrivé serait un groupe abélien, ce qui est impossible car ce groupe est isomorphe à S3 qui ne l'est pas.

Considérons la base de H composée des deux vecteurs suivants h1 = g1 + g3 et h1 = i.(g1 - g3) où i désigne un complexe imaginaire de carré égal à -1. Soit Hx la matrice de θx dans cette base. On a alors :

H_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad H_{c_2}=\begin{pmatrix} cos\frac{2\pi}3 & -sin\frac{2\pi}3 \\ sin\frac{2\pi}3 & cos\frac{2\pi}3 \end{pmatrix},\quad H_{c_1}=\begin{pmatrix} cos\frac{-2\pi}3 & -sin\frac{-2\pi}3 \\ sin\frac{-2\pi}3 & cos\frac{-2\pi}3 \end{pmatrix}
H_{t_1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},\quad H_{t_2}=\begin{pmatrix} cos\frac{2\pi}3 & sin\frac{2\pi}3 \\ sin\frac{2\pi}3 & -cos\frac{-2\pi}3 \end{pmatrix},\quad H_{t_3}=\begin{pmatrix} cos\frac{-2\pi}3 & sin\frac{-2\pi}3 \\ sin\frac{-2\pi}3 & -cos\frac{-2\pi}3 \end{pmatrix}

On reconnaît le groupe diédral du triangle représenté sur la figure de droite, les rotations c1 et c2 sont au nombre de deux, elle déplace le point 1 vers j ou j2 si le plan est identifié au plan complexe, les trois symétries, correspondant aux transpositions ont un axe représenté en rouge sur la figure.

En conclusion, la représentation régulière est composée d'une somme directe de quatre représentations : deux de degré un, la représentation triviale et celle associée à la signature, et deux de degré deux, isomorphes et correspondant aux applications linéaires laissant un triangle invariant.

Caractère

Orthogonalité

Article détaillé : Caractère d'une représentation d'un groupe fini.

Le caractère d'une représentation correspond à la fonction du groupe dans le corps qui à un élément s associe la trace de sa représentation. Dans les paragraphes précédents, cinq représentations ont été explicitées, la représentation régulière ρ, la triviale t, celle associée à la signature σ, celle associée à φ de degré quatre et enfin celle de θ de degré deux.

Si, à chaque valeur du groupe, on associe son caractère, on obtient le tableau suivant:

Car. de S3 1 t1 t2 t3 c1 c2
ρ 6 0 0 0 0 0
σ 1 -1 -1 -1 1 1
t 1 1 1 1 1 1
φ 4 0 0 0 -2 -2
θ 2 0 0 0 -1 -1

Les caractères sont associés à un produit hermitien. Si χ1 et χ2 sont deux caractères et si x* désigne le nombre complexe conjugué de x, alors leur produit est le suivant :

<\chi_1\, |\, \chi_2>=\frac 16\sum_{s \in S_3} \chi_1(s).\chi_2(s)^*

Un caractère est irréductible si et seulement si sa norme, associé au produit scalaire est égale à un. Il est donc simple de vérifier que φ n'est pas une représentation irréductible, mais que θ l'est :

<\chi_{\varphi}\,|\,\chi_{\varphi}>=\frac 16(4^2+2^2+2^2)=4\quad et \quad <\chi_{\theta}\,|\,\chi_{\theta}>=\frac 16(2^2 + (-1)^2 + (-1)^2)=1

Deux représentations irréductibles sont orthogonales, il est simple de vérifier ce fait dans l'exemple S3 :

<\chi_{\sigma}\,|\,\chi_{\theta}>=\frac 16(1\times 2+3(-1\times 0)+2(1\times -1)=0\quad ou \; encore \quad <\chi_t\,|\,\chi_{\theta}>=\frac 16(1\times 2+3(1\times 0)+2(1\times -1)=0

Fonction centrale

Article détaillé : Fonction centrale d'un groupe fini.

Dans le cas de S3 les caractères utilisés ici sont tous constants sur les classes de conjugaison. Cette propriété est générale à tous les groupes et toutes les représentations. Une fonction centrale est une application définie dans un groupe et constante sur chaque classe de conjugaison.

Les représentations irréductibles possèdent une autre propriété, il en existe autant que de classes de conjugaison. Dans le cas de S3, il existe exactement trois classes de conjugaisons, celle de l'unité, celle des transpositions t et celle des cycles d'ordre trois c. Il existe de même trois représentations irréductibles, la triviale t, celle associée à la signature σ et celle de degré deux fidèle (c'est-à-dire injective) θ. Pour cette raison, les tableaux représentant les caractères des représentations d'un groupe sont des tableaux carrés, ne contenant que les représentations irréductibles, car les autres s'en déduisent par produit direct et définis sur les classes de conjugaison. On obtient pour le groupe S3 le tableau suivant :

Car. irr. 1 c t
t 1 1 1
σ 1 1 -1
θ 2 -1 0

La famille des caractères irréductibles est une famille libre car orthogonale, elle est génératrice car de cardinal la dimension de l'espace, c'est donc une base orthonormale des fonctions centrales. Cette propriété permet, à l'aide d'un caractère de déterminer la nature de la représentation à un isomorphisme près. Si χ est le caractère d'une représentation r et χi le caractère d'une représentation irréductible i, le produit hermitien <χr | χi> indique le nombre de copies de la représentation i présente dans r. Une opération de même nature que la Transformée de Fourier permet alors de déterminer toute représentation une fois les représentations irréductibles et leurs caractères connus. On vérifie par exemple que :

<\chi_{\rho}\, |\, \chi_t> = \frac 16 \Big(1.(6\times 1) + 2.(0 \times 1) + 3.(0 \times 1)\Big) = 1
<\chi_{\rho}\, |\, \chi_{\sigma}> = \frac 16 \Big(1.(6\times 1) + 2.(0 \times 1) + 3.(0 \times -1)\Big) = 1
<\chi_{\rho}\, |\, \chi_{\theta}> = \frac 16 \Big(1.(6\times 2) + 2.(0 \times -1) + 3.(0 \times 0)\Big) = 2

En conséquence, la représentation régulière contient une copie de la représentation triviale, une de la représentation signature et deux de la représentation θ, l'unique représentation de degré deux.

Dans le cas général, si h désigne le nombre de classes de conjugaison, di pour i compris entre 1 et h (qui est aussi le nombre de représentations irréductibles) le degré de la i-ième représentation irréductible et g l'ordre du groupe on dispose de la formule :

g = \sum_{i=1}^h d_i^2 \;

Ce qui, dans le cas particulier du groupe S3, donne l'égalité suivante :

6 = 1^2 + 1^2 + 2^2 \;

Représentation induite

Représentation induite par Z/3Z

Article détaillé : Représentation induite d'un groupe fini.

Il existe une autre méthode pour construire une représentation, il suffit de considérer une représentation d'un sous-groupe et de construire la représentation induite. C'est l'approche utilisée dans ce paragraphe pour déterminer l'unique représentation irréductible fidèle de S3.

Considérons H le sous groupe {1, c1, c2), E un espace vectoriel complexe de base f1, et (E, α) la représentation de H, par exemple de caractère (1, j, j2). La théorie assure l'existence d'une unique représentation de S3 (F, β) induite par α. Soit e2 l'image de e1 par β(t1), comme t1 n'est pas élément du groupe H, cet élément n'est pas inclus dans E. Comme S3/H est d'ordre deux, F est de dimension le double de celle de E, donc de dimension deux. Ceci démontre que (e1, e2) est une base de F. Il ne reste plus qu'à déterminer l'image de cette base par la représentation β :

\beta_1(e_1) = e_1 \quad \beta_{c_1}(e_1)=j.e_1 \quad \beta_{c_2}(e_1)=j^2.e_1 \quad \beta_{t_1}(e_1)=e_2 \quad \beta_{t_2}(e_1)=\beta_{t_1} \circ\beta_{c_1}(e_1)=j.e_2 \quad \beta_{t_3}(e_1)=\beta_{t_1}\circ\beta_{c_2}(e_1)=j^2.e_2 \;
\beta_1(e_2) = e_2 \quad \beta_{c_1}(e_2)=\beta_{t_3}(e_1)=j^2.e_2 \quad \beta_{c_2}(e_2)=\beta_{t_2}(e_1)=j.e_2 \quad \beta_{t_1}(e_2)=e_1 \quad \beta_{t_2}(e_2)=\beta_{c_2}(e_1)=j^2.e_1 \quad \beta_{t_3}(e_1)=\beta_{c_1}(e_1)=j.e_1 \;

On en déduit la représentation matricielle Bx où x est un élément de S3 de β :

B_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad B_{c_1}=\begin{pmatrix} j & 0 \\ 0 & j^2 \end{pmatrix},\quad B_{c_2}=\begin{pmatrix} j^2 & 0 \\ 0 & j \end{pmatrix} , \quad B_{t_1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad H_{t_2}=\begin{pmatrix} 0 & j \\ j^2 & 0 \end{pmatrix},\quad H_{t_3}=\begin{pmatrix} 0 & j^2 \\ j & 0 \end{pmatrix}

Son caractère est égal à celui de θ, β et θ sont deux de représentations isomorphes. On retrouve, de manière plus simple, l'unique représentation irréductible de degré deux.

Formule de Frobenius

Article détaillé : Réciprocité de Frobenius.

La formule de réciprocité de Frobenius permet de déterminer la nature de la représentation induite avant même de réaliser sa construction. Elle donne le produit scalaire de deux caractères dans S3 en fonction du produit scalaire dans H :

<Ind_H^{S_3}\,\chi_{\alpha}\, |\, \chi_{\theta}>_{S_3}= <\chi_{\alpha}\, |\, Res_H^{S_3}\,\chi_{\theta}>_H = \frac 13 \Big(1\times 2 + j\times (-1) + j^2\times (-1)\Big)=1\;

Ici, Ind signifie le caractère de la représentation induite et Res signifie le caractère de la restriction à H.

Si K désigne le sous-groupe {1, t1} et γ la représentation qui associe -1 à t1, il est possible de déterminer a priori quel est la nature de γ :

<Ind_K^{S_3}\,\chi_{\gamma}\, |\, \chi_{\theta}>_{S_3}= <\chi_{\gamma}\, |\, Res_K^{S_3}\,\chi_{\theta}>_K = \frac 12 \Big(1\times 2 + (-1)\times 0\Big)=1\;
<Ind_K^{S_3}\,\chi_{\gamma}\, |\, \chi_{\sigma}>_{S_3}= <\chi_{\gamma}\, |\, Res_K^{S_3}\,\chi_{\sigma}>_K = \frac 12 \Big(1\times 1 + (-1)\times (-1)\Big)=1\;

La représentation de S3 induite par la représentation non triviale de K est donc le produit direct des représentations θ et σ.

Références

Liens externes

Ouvrages

v · Représentations d'un groupe fini
Théorie des représentations d'un groupe fini et de leurs caractères | Algèbre d'un groupe fini | Fonction centrale | Représentation régulière | Produit tensoriel | Représentation induite | Groupe symétrique d'indice trois | Groupe symétrique d'indice quatre | Groupe des quaternions | Théorème de Maschke | Lemme de Schur | Réciprocité de Frobenius | Critère d'irréductibilité de Mackey | Théorème de Burnside (groupe résoluble) | Théorème de Burnside (problème de 1902)

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