Produit direct

Produit direct

La plupart des structures algébriques permettent de construire de façon très simple une structure produit sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents. Plus généralement, on peut appeler produit direct un produit qui commute avec le foncteur d'oubli[réf. souhaitée]. C'est la cas de la topologie produit dans la catégorie des espaces topologiques.

Sommaire

Produit direct de deux magmas

Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne T et F un ensemble muni d'une loi de composition interne \star. On peut définir une loi de composition interne * sur le produit cartésien E\times F de la façon suivante :

(x,y) * (x',y') = (x\ T\ x', y \star y')

Propriétés

  • Si T et \star sont associatives, alors la loi * est associative.
  • Si T et \star sont commutatives, alors la loi * est commutative.
  • Si T admet un élément neutre e et si \star admet un élément neutre f, alors (e,f) est neutre pour * .
  • Si x admet un symétrique x' pout T et si y admet un symétrique y' pour \star, alors (x,y) admet (x',y') comme symétrique.

Produit direct de magmas

Soit (E_i)_{i\in I} une famille d'ensembles, chaque Ei étant muni d'une loi de composition interne \star_i. On peut définir une loi de composition interne * sur le produit cartésien \prod_{i\in I} E_i de la façon suivante :

(x_i)_{i\in I} * (x'_i)_{i\in I} = (x_i\star_i x'_i)_{i\in I}

Propriétés

  • Si chaque loi \star_i est associative, la loi * est associative.
  • Si chaque loi \star_i est commutative, la loi * est commutative.
  • Si chaque loi \star_i possède un élément neutre ei (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche). La famille e=(e_i)_{i\in I} est neutre (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche) pour * .
  • Si chaque loi \star_i possède un élément neutre. Et si dans chaque Ei, un élément quelconque xi possède un symétrique ( respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche) yi. La famille (x_i)_{i\in I} admet la famille (y_i)_{i\in I} comme symétrique (respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche).

En particulier, le produit direct d'une famille de groupe est un groupe.

Article détaillé : produit direct (groupes).

Produit direct d'anneau

Soit (E_i)_{i\in I} une famille d'ensemble, chaque Ei étant muni de deux lois + i et * i. On peut comme précédemment définir une loi + , produit direct des + i et une loi * , produit direct des lois * i.

Si chaque loi * i est distributive par rapport à la loi + i, alors la loi * est distributive par rapport à la loi + .

En particulier, si chaque (E_i)_{i\in I} est muni d'une structure d'anneau, on construit ainsi un anneau produit direct.

Attention : Le produit direct de deux anneaux non nuls (ou plus) n'est jamais intègre. En effet (0,a)\ *\ (a,0)=(0,0). Dans beaucoup de cas, par exemple pour construire le corps des nombres complexes, ou le corps des fractions, on utilisera un procédé plus subtil.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Produit direct de Wikipédia en français (auteurs)

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