Caractéristique d'un corps

En algèbre, la caractéristique d'un anneau unitaire A est par définition l'ordre pour la loi additive de l'élément neutre de la loi multiplicative.

On note, pour un anneau unitaire^[1] , 0_A l'élément neutre de «  +  » et 1_A celui de «  ».

La caractéristique d'un anneau est donc le plus petit entier naturel non-nul tel que
Si un tel entier n'existe pas, on dit que la caractéristique est nulle ().

Sommaire 1 L'homomorphisme de Z dans A 2 Propriétés sur les anneaux 3 Propriétés sur les corps 4 Références 4.1 Ouvrages 4.2 Notes

L'homomorphisme de Z dans A

Il existe un unique homomorphisme d'anneaux unitaires f de dans ( est en effet un objet initial de la catégorie des anneaux). Par définition, si n est un nombre entier strictement positif, on a :

,

où 1_A est répété n fois. Comme est un anneau euclidien, le noyau de f est principal et, par définition, la caractéristique de A est son générateur positif. Plus explicitement, c'est l'unique nombre entier positif ou nul c tel que le noyau de f soit l'idéal .

Propriétés sur les anneaux

• La caractéristique d'un anneau intègre est soit nulle, soit un nombre premier.

En effet, si la caractéristique d'un anneau unitaire A est un entier non nul p > 0 divisible, elle peut s'écrire : où n et m sont strictement supérieurs à 1. En reprenant les notations ci-dessus, comme f est un homomorphisme d'anneaux, . Si A est intègre, l'un des facteurs f(n) ou f(m) est nul. Cela contredit la définition de p, qui, comme générateur positif du noyau de f est le plus petit entier positif annulé par f. Donc p n'est pas divisible, il est premier.

• Si la caractéristique d'un anneau est nulle, celui-ci est infini, car il contient un sous-anneau isomorphe à .

L'homomorphisme f est injectif. Il induit un isomorphisme sur son image qui est un sous-anneau unitaire.

• Si B est un sous-anneau unitaire de A, alors A et B ont même caractéristique.

L'homomorphisme se factorise évidemment à travers l'inclusion .

• Pour tout homomorphisme d'anneaux unitaires , la caractéristique de B divise celle de A.

En effet, la composée des homomorphismes g.f est l'unique homomorphisme d'anneaux unitaires . Son noyau est l'image réciproque par f du noyau de g. Il contient notamment le noyau de f. Si p et q sont les caractéristiques de A et de B, q Z contient p Z. Donc, q divise p.

• Si A est un anneau commutatif, et si sa caractéristique est un nombre premier p, alors pour tous éléments x,y dans A, on a (x + y)^p = x^p + y^p. L'application définie par f(x) = x^p est un endomorphisme d'anneau injectif appelé endomorphisme de Frobenius.

Le résultat découle immédiatement de la formule de Newton et de ce que p divise dans Z les coefficients binomiaux apparaissant dans le développement.

Propriétés sur les corps

• Si un corps K est de caractéristique nulle, il contient une copie de Q. S'il est de caractéristique p, il contient une copie de Z/pZ

Comme pour tout anneau intègre, la caractéristique de K est soit nulle soit un nombre premier p. Dans le premier cas, l'unique homomorphisme d'anneaux unitaires est injectif ; comme K est un corps, il induit une injection du corps des fractions de Z, à savoir le corps des rationnels Q (par définition des rationnels). Dans le deuxième cas, l'unique homomorphisme d'anneaux unitaires induit une injection de Z/pZ dans K. Or, comme p est premier, Z/pZ est un corps fini ; c'est l'unique corps fini F_p à p éléments.

• Tout corps fini a pour cardinal une puissance d'un nombre premier, qui en est sa caractéristique.

Si K est un corps fini, pour des raisons de cardinalité, il ne peut pas contenir une copie de Q. Par ce qui précède, il est de caractéristique finie p et contient donc une copie du corps F_p. De fait, K est un espace vectoriel sur F_p ; sa dimension est nécessairement finie. Donc son cardinal est p à la puissance sa dimension.

• Il existe des corps infinis possédant une caractéristique non nulle p, celle-ci étant un nombre premier.

C'est le cas par exemple du corps des fonctions rationnelles sur ou de la clôture algébrique de .

• Tout corps totalement ordonné a une caractéristique nulle.

En effet, l'unique homomorphisme est croissant. Tout entier strictement positif est envoyé sur un élément strictement positif du corps, a fortiori différent de 0.

C'est donc le cas des corps des nombres rationnels , et donc de ceux des nombres réels et complexes (puisque est un sous-anneau de ces deux anneaux).

Références

Ouvrages

Notes

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