Loi de Rice

Loi de Rice

En statistiques et théorie des probabilités, la loi de Rice est une loi statistique continue (c'est-à-dire à densité).

C'est une généralisation de la loi de Rayleigh utilisée pour décrire le comportement d'un signal radio qui se propage selon plusieurs chemins (multipath) avant d'être reçu par une antenne.

Rice
Densité de probabilité / Fonction de masse
Rice probability density functions σ = 1.0
Densité de probabilité de la loi de Rice pour différentes valeurs de ν   avec σ = 1.
Rice probability density functions σ = 0.25
Densité de probabilité de la loi de Rice pour différentes valeurs de ν   avec σ = 0,25.
Fonction de répartition
Fonction de répartition pour la loi de Rice avec σ = 1.0
Fonction de répartition pour la loi de Rice avec σ = 1,0 pour différentes valeurs de ν.
Rice cumulative distribution functions σ = 0.25
Fonction de répartition pour la loi de Rice avec σ = 0,25 pour différentes valeurs de ν.
Paramètres \nu\ge 0\,
\sigma\ge 0\,
Support x\in [0;\infty)
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{x}{\sigma^2}\exp\left(\frac{-(x^2+\nu^2)} {2\sigma^2}\right)I_0\left(\frac{x\nu}{\sigma^2}\right)
Fonction de répartition 1-Q_1\left(\frac{\nu}{\sigma },\frac{x}{\sigma }\right)

où Q1 is the Marcum Q-Function
Espérance \sigma \sqrt{\pi/2}\,\,L_{1/2}(-\nu^2/2\sigma^2)
Variance 2\sigma^2+\nu^2-\frac{\pi\sigma^2}{2}L_{1/2}^2\left(\frac{-\nu^2}{2\sigma^2}\right)
Asymétrie (compliqué)
Kurtosis normalisé (compliqué)
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Sommaire

Caractérisation

Soient deux variables de Gauss centrées, indépendantes, de même variance σ2. Si on considère qu'elles représentent les deux coordonnées d'un point d'un plan, la distance de ce point à l'origine suit une loi de Rayleigh :

f(x,\sigma) = \frac{x}{\sigma^2}\exp\left(\frac{-x^2} {2\sigma^2}\right).

En supposant que la distribution est centrée sur un point de coordonnées (νcos θ,νsin θ) (coordonnées polaires (ν,θ)), la densité de probabilité devient :

f(x|\nu,\sigma) = \frac{x}{\sigma^2}\exp\left(\frac{-(x^2+\nu^2)} {2\sigma^2}\right)I_0\left(\frac{x\nu}{\sigma^2}\right)

où I0(z) est la Fonction de Bessel modifiée de première espèce et d'ordre 0.

Propriétés

Moments

Les premiers moments (non-centrés) sont:

\mu_1= \sigma \sqrt{\pi/2}\,\,L_{1/2}(-\nu^2/2\sigma^2)
\mu_2= 2\sigma^2+\nu^2\,
\mu_3= 3\sigma^3\sqrt{\pi/2}\,\,L_{3/2}(-\nu^2/2\sigma^2)
\mu_4= 8\sigma^4+8\sigma^2\nu^2+\nu^4\,
\mu_5=15\sigma^5\sqrt{\pi/2}\,\,L_{5/2}(-\nu^2/2\sigma^2)
\mu_6=48\sigma^6+72\sigma^4\nu^2+18\sigma^2\nu^4+\nu^6\,
L_\nu(x)=L_\nu^0(x)=M(-\nu,1,x)=\,_1F_1(-\nu;1;x)

où, Lν(x) représente un Polynôme de Laguerre.

Pour le cas ν = 1/2:

L_{1/2}(x)=\,_1F_1\left( -\frac{1}{2};1;x\right)
=e^{x/2} \left[\left(1-x\right)I_0\left(\frac{-x}{2}\right) -xI_1\left(\frac{-x}{2}\right) \right].

Généralement les moments sont donnés par

\mu_k=s^k2^{k/2}\,\Gamma(1\!+\!k/2)\,L_{k/2}(-\nu^2/2\sigma^2), \,

où s = σ1/2.

Lorsque k est pair, les moments deviennent des polynômes en σ et ν.

Distributions liées

  • La variable r = \sqrt{x^2 + y^2} est distribué selon une loi de Rice R \sim \mathrm{Rice}\left(\sigma,\nu\right) à condition que X \sim N\left(\nu\cos\theta,\sigma^2\right) et Y \sim N\left(\nu \sin\theta,\sigma^2\right) soient deux variables gaussiennes indépendantes.
  • Pour obtenir une variable R \sim \mathrm{Rice}\left(\nu,\sigma\right), on peut considérer une autre procédure:
1. Tirer P selon une loi de Poisson, de paramètre \lambda = \frac{\nu^2}{2\sigma^2}.
2. Tirer X selon une loi du Chi-deux avec 2P + 2 degrés de liberté.
3. Poser R = \sigma\sqrt{X}.
  • Si R \sim \mathrm{Rice}\left(1,\nu\right) alors R2 possède une distribution Chi-deux non-centré, à 2 degrés de liberté et un paramètre de non-centralité ν2.

Cas limites

Pour de grandes valeurs de l'argument, le polynôme de Laguerre devient (voir Abramowitz & Stegun §13.5.1)

\lim_{x\rightarrow -\infty}L_\nu(x)=\frac{|x|^\nu}{\Gamma(1+\nu)}.

On peut constater que lorsque ν devient grand ou que σ devient petit, alors la moyenne devient ν et la variance σ2.

Voir aussi

Références

  • Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (ed.), Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, 1964; reprinted Dover Publications, 1965. ISBN 0-486-61272-4
  • Stephen O. Rice, Mathematical Analysis of Random Noise. Bell System Technical Journal 24 (1945) 46–156.
  • I. Soltani Bozchalooi and Ming Liang, A smoothness index-guided approach to wavelet parameter selection in signal de-noising and fault detection, Journal of Sound and Vibration, Volume 308, Issues 1-2, 20 November 2007, Pages 246–267.
  • Proakis, J., Digital Communications, McGraw-Hill, 2000.

Lien externe


v · Lois de probabilités
Lois discrètes
à support fini Loi de Bernoulli • Loi uniforme discrète • Loi binomiale • Loi hypergéométrique • Loi de Benford
à support dénombrable Loi géométrique • Loi de Poisson • Loi binomiale négative • Loi logarithmique
Lois continues
à support compact Loi uniforme continue • Loi triangulaire • Loi bêta
à support semi-infini Loi exponentielle • Loi Gamma • Loi du χ² • Loi de Fisher • Loi de Weibull • Loi de Rayleigh • Loi de Rice • Loi d'Erlang • Loi de Lévy • Loi inverse-gamma • Loi log-normale
à support infini Loi normale • Loi normale asymétrique • Loi de Cauchy • Loi de Laplace • Loi logistique • Loi de Student • Loi stable • Loi de Gumbel
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