- Loi de χ²
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Loi du χ²
Loi du χ² Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition
Paramètres degrés de liberté Support Densité de probabilité (fonction de masse) Fonction de répartition Espérance Médiane (centre) approximativement Mode si Variance Asymétrie (statistique) Kurtosis (non-normalisé) Entropie Fonction génératrice des moments pour Fonction caractéristique La loi du χ² (prononcé « khi-deux » ou « khi carré ») est une loi à densité de probabilité. Cette loi est caractérisée par un paramètre dit degrés de liberté à valeur dans l'ensemble des entiers naturels (non nuls).
Soit k variables aléatoires indépendantes de même loi normale centrée et réduite, alors par définition la variable , telle que
suit une loi du χ² à k degrés de liberté.
Soit une variable aléatoire suivant une loi du χ² à degrés de liberté, on notera la loi de .
Alors la densité de notée sera :
pour tout t positif
où Γ est la fonction gamma.
L'espérance mathématique de X vaut k et sa variance vaut 2k.
Sommaire
Approximation
Lorsque k est « grand » (k > 30), la loi du χ² peut s'approximer par une loi normale d'espérance k et de variance 2k.
Utilisation
La principale utilisation de cette loi consiste à apprécier l'adéquation d'une loi de probabilité à une distribution empirique en utilisant le test du χ² basé sur la loi multinomiale. Plus généralement elle s'applique dans le test d'hypothèses à certains seuils (indépendance notamment).
Lien avec les méthodes bayésiennes
Dans son ouvrage Décisions rationnelles dans l'incertain (1974), qui constitue une somme des techniques bayésiennes dont la grande émergence se fait à cette époque, le professeur Myron Tribus montre que le χ² constitue un exemple de passage à la limite du psi-test (test de plausibilité) bayésien lorsque le nombre de valeurs en présence devient grand - ce qui est la condition de travail des statistiques classiques, mais pas nécessairement des bayésiennes. Le raccord entre les deux disciplines, qui sont asymptotiquement convergentes, est ainsi complet.
L'ouvrage de référence de Jaynes en donne également une démonstration en page 287[1].
Voir aussi
Articles connexes
Notes et références
- Portail des probabilités et des statistiques
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