Moment (mathematiques)

Moment (mathématiques)

Pour les articles homonymes, voir Moment.

En probabilités (mathématiques, statistiques), on définit le moment d'ordre n>0 d'une variable aléatoire X, s'il existe, le nombre $m_n = \mathbb{E}[~X^n~] \,$ .

Sommaire

1 Notion de moment
2 Estimation des moments
3 Moments centrés
4 Moments remarquables
5 Formules de détermination récursive des moments
6 Fonction génératrice des moments
7 Problème des moments

Notion de moment

La notion de moment en mathématiques, notamment en calcul des probabilités, a pour origine la notion de moment en physique.

Soit une fonction $f : I \to \R$ continue sur un intervalle $I$ (non réduit à un point) de $\R$ . Étant donné un entier naturel n, le n-ième moment de $f$ est défini (sous réserve d'existence) par :

$m_n(f)=\int_I x^n\,f(x)\,dx.$

Remarque : pour un entier naturel n donné, l'ensemble des fonctions continues sur $I$ dont le moment d'ordre n existe est un espace vectoriel réel, et l'application $m_n : f \mapsto m_n(f)$ est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.

Estimation des moments

Lorsque le moment existe, on utilise souvent l'estimateur suivant pour le moment d'ordre k:

$\hat m^k= \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n} X^k_i\,\!$

à partir de l'échantillon $X_1, X_2, \cdots, X_n$ .

On peut montrer que cet estimateur est sans biais.

Moments centrés

On définit le moment centré d'ordre n>0 d'une variable aléatoire X, s'il existe, le nombre $\mu_n = \mathbb{E}[~(X-E(X))^n~] \,$ .

Moments remarquables

Certains moments sont connus sous un nom particulier. Ils sont utilisés couramment pour caractériser une variable aléatoire.

Le moment d'ordre un de la variable : $\mu = \mathbb{E}[X] \,$ correspond à l'espérance

Le moment d'ordre deux de la variable centrée : $\mu_2 = \sigma^2 = \mathbb{E} \left [\left(X-\mu\right)^2\right] \,$ correspond à la variance.

Le moment d'ordre trois de la variable centrée-réduite : $\mu_3 =\mathbb{E} \left[ \left(\frac{X-\mu}{\sigma} \right)^3 \right] \,$ correspond au coefficient d'asymétrie (skewness).

Le moment d'ordre quatre de la variable centrée-réduite : $\mu_4 =\mathbb{E}\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^4\right] \,$ correspond au kurtosis.

Formules de détermination récursive des moments

En définissant

Les moments par rapport à l'origine (moments ordinaires ou raw moments en anglais):

$m_k(X) \equiv \mathbb{E}\left[X^k\right]\,$

Les moments centrés, notés généralement $\mu_k(X)\,$ et qui se définissent ainsi :

$\mu_k(X) \equiv \mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^k]\,$

Il existe des formules (qui ressemblent à celle du binôme) permettant de calculer un moment centré d'ordre k à partir des moments ordinaires d'ordre inférieur ou égal à k, et réciproquement ; voici quelques exemples (jusqu'à l'ordre 4) :

$\mu_2 = m_2 - m^2_1\,$

$\mu_3 = m_3 -3\,m_1\,m_2 + 2m^3_1\,$

$\mu_4 = m_4 -4\,m_1\,m_3 + 6\,m^2_1\,m_2 - 3m^4_1\,\!$

et :

$m_2 = \mu_2 + m^2_1\,$

$m_3 = \mu_3 + 3\,m_1\mu_2 + m^3_1\,$

$m_4 = \mu_4 + 4\,m_1\mu_3 + 6\,m^2_1\mu_2 + m^4_1\,$

Fonction génératrice des moments

Article détaillé : Fonction génératrice des moments.

La fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire $X$ , définie par

$M_X(t) = \mathbb{E}\left(e^{tX}\right), \quad t \in \mathbb{R},$

est utilisée afin de générer les moments associés à la distribution de probabilités de la variable aléatoire $X$ .

Problème des moments

On peut se demander si une fonction continue $f : I \to \R$ dont tous les moments existent est déterminée par la suite de ses moments. Cette question est appelée problème des moments.

En d'autres termes : soient deux fonctions continues $f, g : I \to \R$ dont chacune admet, pour tout entier naturel n, un moment d'ordre n. Si, pour tout $n \in \mathbb{N},\; m_n(f)= m_n(g)$ , peut-on affirmer que $f = g$ ?

D'après un théorème de Hausdorff, la réponse est affirmative lorsque $I$ est un segment $[a,\, b]$ (c'est-à-dire lorsqu'il est fermé et borné).

Démonstration

La fonction $h = f - g$ est continue sur $I$ , et tous ses moments sont nuls, car pour tout $n$ , $m n (h) = m n (f) - m n (g)$ .
On en déduit, par linéarité de l'intégrale, que $\int_a^b P(x)\,h(x)\,dx = 0$ quel que soit le polynôme réel $P$ ; en effet, si $P = \sum_{k = 0}^p a_k\, X^k$ , alors $\int_a^b P(x)\,h(x)\,dx = \sum_{k = 0}^p a_k\, m_k(h) = 0$ .
Or, d'après un théorème de Weierstrass, pour toute fonction continue $[a,\, b] \to \R$ , il existe une suite de polynômes (réels) convergeant uniformément sur $[a,\, b]$ vers cette fonction. Il existe donc une suite $(P n)$ de polynômes qui converge uniformément vers $h$ sur $[a,\, b]$ . Alors, la suite des produits $(P_n\, h)$ converge uniformément vers $h 2$ sur $[a,\, b]$ et il en résulte que $\int_a^b [h(x)]^2\,dx = \lim_{n \to +\infty} \int_a^b P_n(x)\,h(x)\,dx = 0$ .
Comme $h$ est continue sur le segment $[a,\, b]$ , ceci prouve que $h = 0$ , c'est-à-dire $f = g$ .

Dans le cas général, la réponse est négative. Voici un contre-exemple probabiliste donné par William Feller. On considère la fonction $f :\, ]0,\, +\infty[\, \to \R^+$ définie par $f(x) = \frac{1}{x\, \sqrt{2 \pi}}\, e^{-\frac{1}{2}\, (\ln x)^2}$ (densité de la loi log-normale), dont tous les moments existent.

On démontre (par changement de variable) que pour tout entier naturel

n

, $\int_0^{+\infty} x^n f(x) \sin(2 \pi \ln x)\, dx = 0$ .

Pour tout $\alpha \in \R$ , on définit $g_\alpha :\, ]0,\, +\infty[\, \to \R$ par $g_\alpha(x) = f(x)\, [1 + \alpha \sin(2 \pi \ln x)]$ .

Alors : quels que soient $\alpha \in \R$ et $n \in \mathbb{N}$ ,

m n (g α) = m n (f)

, bien que $g_\alpha \neq f$ dès que $\alpha \neq 0$ .

Nota : pour tout $\alpha \in \R$ , $\int_0^{+\infty} g_\alpha(x)\, dx = 1$ car

m 0 (g α) = m 0 (f)

. Or, si on prend $\alpha \in [-1,\, +1]$ ,

g α

est à valeurs positives : dans ce cas,

g α

est une densité de probabilité portée par $\R^\star_+\,$ , distincte de

f

si $\alpha \neq 0$ , dont tous les moments existent et sont les mêmes que ceux de

f

. Ceci prouve que la loi log-normale n'est pas déterminée par ses moments.

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