Logique mathématique

La logique mathématique, ou logique formelle, est une discipline des mathématiques introduite à la fin du XIX^e siècle et qui s'est donnée comme objet l'étude des mathématiques en tant que langage. Les objets fondamentaux de la logique mathématiques sont les formules modélisant les énoncés mathématiques, les dérivations ou démonstrations formelles modélisant les raisonnements mathématiques et les sémantiques ou modèles qui définissent le « sens » des formules (et parfois même des démonstrations) comme certains invariants : par exemple l'interprétation des formules du calcul des prédicats dans les structures permet de leur affecter une valeur de vérité.

Sommaire 1 Sous-domaines de la logique mathématique 2 Histoire de la logique mathématique 3 Intérêt de la logique mathématique dans les mathématiques 3.1 Interactions entre la logique et les mathématiques 3.2 Formalisation 4 Quelques résultats fondamentaux 5 Système logique 5.1 Définition 5.2 Syntaxe et sémantique 5.3 Systèmes de déduction 6 Le calcul des propositions 6.1 Connecteurs les plus fréquents 6.2 En logique classique un unique connecteur suffit 7 Le calcul des prédicats 7.1 Substitution 7.2 Les quantificateurs 7.2.1 Utilisation des quantificateurs 7.3 L’égalité 7.3.1 Axiomes de l'égalité en logique du premier ordre 7.3.2 Définition en logique du second ordre 8 Quelques systèmes déductifs 9 La théorie des ensembles 9.1 L’appartenance 10 Bibliographie 10.1 Handbooks composés de long articles écrits par des universitaires 10.2 Histoire et philosophie 10.2.1 Bande dessinée 10.2.2 Livres 10.2.3 Recueils de textes 10.3 Manuels et ouvrages généralistes de référence 10.3.1 En anglais 10.3.2 En français 11 Notes et références 12 Voir aussi

Sous-domaines de la logique mathématique

Au cours du XX^e siècle, la logique mathématique s'est ramifiée en sous-domaines^[1] :

• la théorie des ensembles ;
• la théorie de la démonstration ;
• la théorie des modèles ;
• la théorie de la calculabilité.

On peut y ajouter un cinquième grand axe un petit peu plus récent avec les travaux sur la théorie des types.

Histoire de la logique mathématique

La logique mathématique^[2] est née à la fin du XIX^e siècle de la logique au sens philosophique du terme ; elle est l'une des pistes explorées par les mathématiciens de cette époque afin de résoudre la crise des fondements provoquée par la complexification des mathématiques et l'apparition des paradoxes. Ses débuts sont marqués par la rencontre entre deux idées nouvelles :

• la volonté chez Frege, Russell, Peano et Hilbert de donner une fondation axiomatique aux mathématiques ;
• la découverte par George Boole de l'existence de structures algébriques permettant de définir un « calcul de vérité ».

La logique mathématique se fonde sur les premières tentatives de traitement formel des mathématiques, dues à Leibniz et Lambert (fin XVII^e siècle - début XVIII^e siècle). Leibniz a en particulier introduit une grande partie de la notation mathématique moderne (usage des quantificateurs, symbole d'intégration, etc.). Toutefois on ne peut parler de logique mathématique qu'à partir du milieu du XIX^e siècle, avec les travaux de George Boole (et dans une moindre mesure ceux d'Auguste De Morgan) qui introduit un calcul de vérité où les combinaisons logiques comme la conjonction, la disjonction et l'implication, sont des opérations analogues à l'addition ou la multiplication des entiers, mais portant sur les valeurs de vérité faux et vrai (ou 0 et 1) ; ces opérations booléennes se définissent au moyen de tables de vérité.

Le calcul de Boole véhiculait l'idée apparemment paradoxale mais qui devait s'avérer spectaculairement fructueuse que le langage mathématique pouvait se définir mathématiquement et devenir un objet d'étude pour les mathématiciens. Toutefois il ne permettait pas encore de résoudre les problèmes de fondements. Dès lors, nombre de mathématiciens ont cherché à l'étendre au cadre général du raisonnement mathématique et on a vu apparaître les systèmes logiques formalisés ; l'un des premiers est dû à Frege au tournant du XX^e siècle.

En 1900 au cours d'une très célèbre conférence au congrès international des mathématiciens à Paris, David Hilbert a proposé une liste des 23 problèmes non résolus les plus importants des mathématiques d'alors. Le deuxième était celui de la cohérence de l'arithmétique, c’est-à-dire de démontrer par des moyens finitistes la non-contradiction des axiomes de l'arithmétique.

Le programme de Hilbert a suscité de nombreux travaux en logique dans le premier quart du siècle, notamment le développement de systèmes d'axiomes pour les mathématiques : les axiomes de Peano pour l'arithmétique, ceux de Zermelo complété par Skolem et Fraenkel pour la théorie des ensembles et le développement par Whitehead et Russell d'un programme de formalisation des mathématiques, les Principia Mathematica. C'est également la période où apparaissent les principes fondateurs de la théorie des modèles : notion de modèle d'une théorie, théorème de Löwenheim-Skolem.

En 1929 Kurt Gödel montre dans sa thèse de doctorat son théorème de complétude qui énonce le succès de l'entreprise de formalisation des mathématiques : tout raisonnement mathématique peut en principe être formalisé dans le calcul des prédicats. Ce théorème a été accueilli comme une avancée notable vers la résolution du programme de Hilbert, mais un an plus tard, Gödel démontrait le théorème d'incomplétude (publié en 1931) qui montrait irréfutablement l'impossibilité de réaliser ce programme.

Ce résultat négatif n'a toutefois pas arrêté l'essor de la logique mathématique. Les années 30 ont vu arriver une nouvelle génération de logiciens anglais et américains, notamment Alonzo Church, Alan Turing, Stephen Kleene, Haskell Curry et Emil Post, qui ont grandement contribué à la définition de la notion d'algorithme et au développement de la théorie de la complexité algorithmique (théorie de la calculabilité, théorie de la complexité des algorithmes). La théorie de la démonstration de Hilbert a également continué à se développer avec les travaux de Gerhard Gentzen qui a produit la première démonstration de cohérence relative et initié ainsi un programme de classification des théories axiomatiques.

Le résultat le plus spectaculaire de l'après-guerre est dû à Paul Cohen qui démontre en utilisant la méthode du forcing l'indépendance de l'hypothèse du continu en théorie des ensembles, résolvant ainsi le 1^er problème de Hilbert. Mais la logique mathématique subit également une révolution due à l'apparition de l'informatique ; la découverte de la correspondance de Curry-Howard qui relie les preuves formelles au lambda-calcul de Church et donne un contenu calculatoire aux démonstrations va déclencher un vaste programme de recherche.

Intérêt de la logique mathématique dans les mathématiques

Interactions entre la logique et les mathématiques

L'intérêt principal de la logique réside dans ses interactions avec d'autres domaines des mathématiques et les nouvelles méthodes qu'elle y apporte. De ce point de vue les réalisations les plus importantes viennent de la théorie des modèles qui est parfois considérée comme une branche de l'algèbre plutôt que de la logique ; la théorie des modèles s'applique notamment en théorie des groupes et en combinatoire (théorie de Ramsey).

D'autres interactions très productives existent toutefois : le développement de la théorie des ensembles est intimement lié à celui de la théorie de la mesure et a donné lieu à un domaine mathématique à part entière, la théorie descriptive des ensembles. La théorie de la calculabilité est l'un des fondements de l'informatique théorique et de la complexité algorithmique.

Plus récemment depuis la fin du XX^e siècle on a vu la théorie de la démonstration s'associer à la théorie des catégories et par ce biais commencer à interagir avec la topologie algébrique. D'autre part avec l'apparition de la logique linéaire elle entretient également des liens de plus en plus étroit avec l'algèbre linéaire, voire avec la géométrie non commutative.

Formalisation

La formalisation des mathématiques dans des systèmes logiques, qui a suscité en particulier les travaux de Whitehead et Russell, a été l'une des grandes motivation du développement de la logique mathématique. L'apparition d'outils informatiques spécialisés, démonstrateurs automatiques, systèmes experts et assistants de preuve, ont donné un nouvel intérêt à ce programme. Les assistants de preuve en particulier ont plusieurs applications en mathématique.

Tout d'abord dans la fin du XX^e siècle et au début du XXI^e siècle des anciennes conjectures ont été résolues en faisant appel à l'ordinateur pour traiter un très grand nombre de cas : le théorème des quatre couleurs et la conjecture de Kepler. Le doute levé par l'utilisation de l'ordinateur a motivé la formalisation et vérification complète de ces démonstrations.

D'autre part des programmes de formalisation de mathématiques utilisant les assistants de preuves se sont développés afin de produire un corpus complétement formalisé de mathématiques ; pour les mathématiques l'existence d'un tel corpus aurait en particulier l'intérêt de permettre des traitements algorithmiques comme la recherche par motif : trouver tous les théorèmes qui se déduisent du théorème des nombres premiers, trouver tous les théorèmes à propos de la fonction zeta de Riemann, etc.

Quelques résultats fondamentaux

Quelques résultats importants ont été établis pendant la décennie 1930 :

• Le théorème de complétude du calcul des prédicats du premier ordre que Gödel a montré dans sa thèse de doctorat, un an avant son célèbre théorème d'incomplétude. Ce théorème énonce que toute démonstration mathématique peut être représentée dans le formalisme du calcul des prédicats (qui est donc complet).

• L'ensemble des théorèmes du calcul des prédicats n'est pas calculable, c'est-à-dire qu'aucun algorithme ne permet de vérifier si un énoncé donné est prouvable ou non. Il existe, cependant un algorithme qui étant donnée une formule du premier ordre en trouve une preuve en un temps fini s'il en existe une, mais continue indéfiniment sinon. On dit que l'ensemble des formules du premier ordre prouvables est « récursivement énumérable » ou « semi-décidable ».

• La cohérence (non contradiction) d'un ensemble d'axiomes, appelé aussi théorie, (par exemple : les axiomes de Peano pour l'arithmétique) n'est pas une conséquence de ces seuls axiomes^[3]. C'est le fameux second théorème d'incomplétude de Gödel.

• L'ensemble des formules prouvables du second ordre n'est pas calculable ; mais contrairement au cas du premier ordre il n'est pas non plus récursivement énumérable. Ceci est une conséquence du théorème d'incomplétude.

• Tout théorème purement logique peut être démontré en n'utilisant que des propositions qui sont des sous-formules de son énoncé. Connu sous le nom de propriété de la sous-formule, ce résultat est une conséquence du théorème d'élimination des coupures en calcul des séquents de Gerhard Gentzen.
  • La propriété de la sous-formule a pour conséquence la cohérence de la logique, car elle interdit la dérivation de la formule vide (identifiée à l'absurdité).

D'autres résultats importants ont été établis pendant la deuxième partie du XX^e siècle.

• L'indépendance de l'hypothèse du continu par rapport aux autres axiomes de la théorie des ensembles (ZF) est achevée en 1963 par Paul Cohen^[4].
• La théorie de la calculabilité se développe.
• Au tournant de la décennie 1980, la correspondance de Curry-Howard identifie la simplification des démonstrations et les programmes, créant ainsi un pont entre mathématiques et informatique.
• En 1990, cette correspondance est étendue à la logique classique.

Système logique

Définition

Un système logique ou système de déduction est un système formel constitué de trois composantes. Les deux premières définissent sa syntaxe, la troisième sa sémantique :

• Un ensemble de formules, ou faits ; dans les systèmes de logique classique ou intuitionniste, les formules représentent des énoncés mathématiques exprimés formellement. Les formules sont définies par des moyens combinatoires : suites de symboles, arbres étiquetés, graphes...

• Un ensemble de déductions ; les déductions sont également définies par des moyens combinatoires. Une déduction permet de dériver des formules (les formules prouvables ou théorèmes) à partir de formules de départ (les axiomes) au moyen de règles (les règles d'inférence).

• Une interprétation des formules ; il s'agit d'une fonction associant à toute formule un objet dans une structure abstraite appelée modèle, ce qui permet de définir la validité des formules.

Syntaxe et sémantique

La caractéristique principale des formules et des déductions est qu'il s'agit d'objets finis ; plus encore, chacun des ensembles de formules et de déductions est récursif, c'est-à-dire que l'on dispose d'un algorithme qui détermine si un objet donné est une formule correcte ou une déduction correcte du système.

La sémantique, au contraire, échappe à la combinatoire en faisant appel (en général) à des objets infinis. Elle a d'abord servi à « définir » la vérité. Par exemple, en calcul des propositions, les formules sont interprétées par des éléments d'une algèbre de Boole ; les formules valides sont celles qui sont interprétées par le plus grand élément.

Une mise en garde est de rigueur ici, car Kurt Gödel (suivi par Alfred Tarski) a montré avec son théorème d'incomplétude l'impossibilité de définir mathématiquement la vérité mathématique. C'est pourquoi il est plus approprié de voir la sémantique comme une métaphore : les formules — objets syntaxiques — sont projetées dans un autre monde, plus abstrait, par exemple les algèbres de Boole. Cette technique — plonger les objets dans un monde plus vaste pour mieux raisonner dessus — est couramment utilisée en mathématique et a amplement démontré son efficacité.

Ainsi la sémantique ne sert pas qu'à « définir » la vérité. Par exemple, la sémantique dénotationnelle est une interprétation, non des formules, mais des déductions visant à capturer leur contenu calculatoire.

Systèmes de déduction

En logiques classique et intuitionniste, on distingue deux types d'axiomes : les axiomes logiques qui expriment des propriétés purement logiques comme par exemple (principe du tiers exclu, valide en logique classique mais pas en logique intuitionniste) et les axiomes extra-logiques qui définissent des objets mathématiques ; par exemple les axiomes de Peano définissent les entiers de l'arithmétique ou les axiomes de Zermelo-Fraenkel définissent la notion d'ensemble. Quand le système possède des axiomes extra-logiques, on parle de théorie axiomatique. L'étude des différents modèles d'une même théorie axiomatique est l'objet de la théorie des modèles.

Deux systèmes de déduction peuvent être équivalents au sens où ils ont exactement les mêmes théorèmes. On démontre cette équivalence en fournissant des traductions des déductions de l'un dans les déductions de l'autre. Par exemple, il existe (au moins) trois types de systèmes de déduction équivalents pour le calcul des prédicats : les systèmes à la Hilbert, la déduction naturelle et le calcul des séquents. On y ajoute parfois le style de Fitch qui est une variante de la déduction naturelle dans laquelle les démonstrations sont présentées de façon linéaire.

Alors que la théorie des nombres démontre des propriétés des nombres, on notera la principale caractéristique de la logique en tant que théorie mathématique : elle « démontre » des propriétés de systèmes de déduction dans lesquels les objets sont des « théorèmes ». Il y a donc un double niveau dans lequel il ne faut pas se perdre. Pour clarifier les choses, les « théorèmes » énonçant des propriétés des systèmes de déduction sont parfois appelés des « métathéorèmes ». Le système de déduction que l'on étudie est appelé la « théorie » et le système dans lequel on énonce et démontre les métathéorèmes est appelé la « métathéorie ».

Les propriétés fondamentales des systèmes de déduction sont les suivantes.

• La correction : La correction énonce que les théorèmes sont valides dans tous les modèles. Cela signifie que les règles d'inférence sont bien adaptées à ces modèles, autrement dit que le système de déduction formalise correctement le raisonnement dans ces modèles.

• La cohérence : Un système de déduction est cohérent (on emploie aussi l'anglicisme consistant) s'il admet un modèle, ou ce qui revient au même, s'il ne permet pas de démontrer n'importe quelle formule. On parle aussi de cohérence équationnelle lorsque le système admet un modèle non trivial, c'est-à-dire ayant au moins deux éléments. Cela revient à affirmer que le système ne permet pas de démontrer n'importe quelle équation.

• La complétude : Elle se définit par rapport à une famille de modèles. Un système de déduction est complet par rapport à une famille de modèles, si toute proposition qui est valide dans tous les modèles de la famille est un théorème. En bref, un système est complet si tout ce qui est valide est démontrable.

Une autre propriété des systèmes de déduction apparentée à la complétude est la cohérence maximale. Un système de déduction est maximalement cohérent, si l'ajout d'un nouvel axiome qui n'est pas lui-même un théorème rend le système incohérent.

Affirmer « tel système est complet pour telle famille de modèles » est un exemple typique de métathéorème.

Dans ce cadre, la notion intuitive de vérité donne lieu à deux concepts formels : la validité et la démontrabilité. Les trois propriétés de correction, cohérence et complétude précisent comment ces notions peuvent être reliées, espérant qu'ainsi la vérité, quête du logicien, puisse être cernée.

Le calcul des propositions

Les propositions sont des formules exprimant des faits mathématiques, c'est à dire des propriétés qui ne dépendent d'aucun paramètre, et qui donc ne peuvent qu'être vraies ou fausses, comme par exemple « il pleut » ou « 3 est un multiple de 4 » (au contraire de « n est un multiple de 4 » qui est vraie ou fausse selon la valeur que l'on donne au paramètre n). Les propositions sont utilisées notamment pour exprimer des principes logiques : par exemple la propriété déjà évoquée que d'une contradiction on peut déduire n'importe quoi s'exprime par la formule propositionnelle (P ∧ ¬P) ⇒ Q. Elles servent également à fonder les systèmes de déductions logiques.

Les propositions élémentaires, appelées variables propositionnelles, sont combinées au moyen de connecteurs pour former des formules complexes. Les propositions peuvent être interprétées en remplaçant chaque variable propositionnelle par un fait. Par exemple une interprétation de la proposition ci-dessus pourrait être « si 3 est pair et 3 est impair alors 0 = 1 ». En général on simplifie en interprétant les variables propositionnelles par la valeur de vérité du fait associé, les connecteurs deviennent alors des opérations booléennes. Le calcul des propositions peut donc être vu comme une formalisation du calcul booléen, ce qui autorise plusieurs types d'applications, notamment son utilisation comme langage de spécification de circuits en électronique.

Le premier article porte sur les aspects de logique mathématique, tandis que le second porte sur les aspects pragmatiques tels qu'ils sont vus par les électroniciens.

Connecteurs les plus fréquents

Les connecteurs sont présentés avec leur interprétation en logique classique.

La disjonction

La disjonction de deux propositions P et Q est la proposition notée P ∨ Q ou « P ou Q » qui est vraie si l’une au moins des deux propositions est vraie, et fausse si les deux propositions sont fausses.

La négation

La négation d’une proposition P, est la proposition notée ¬P, ou « non P » qui est vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie.

À partir de ces deux connecteurs, on peut construire d’autres connecteurs ou abréviations utiles :

La conjonction

La conjonction de deux propositions P et Q est la proposition suivante :

¬((¬P) ∨ (¬Q)) c'est-à-dire non ( (non P) ou (non Q) )

Celle-ci est notée P ∧ Q ou « P et Q » et n’est vraie que lorsque P et Q sont vraies et fausse si l’une des deux propositions est fausse.

L'implication

L'implication de Q par P est la proposition (¬P) ∨ Q, notée « P ⇒ Q » ou « P implique Q », et qui est fausse seulement si P est une proposition vraie et Q fausse.

L'équivalence

L'équivalence logique de P et Q est la proposition ( (P ⇒ Q) ∧ ( Q ⇒ P) ) ( ((P implique Q) et (Q implique P) )), notée « P ⇔ Q » ou (P est équivalent à Q), et qui n'est vraie que si les deux propositions P et Q ont même valeur de vérité.

Le ou exclusif

Le ou exclusif ou disjonction exclusive de P et Q est la proposition P ∨∨ Q (parfois aussi notée^[5] P ⊕ Q ou encore^[6] P | Q) qui correspond à (P ∨ Q) ∧ ¬(P ∧ Q), c'est-à-dire en français : soit P, soit Q, mais pas les deux à la fois. Le ou exclusif de P et Q correspond à P ⇔ ¬Q ou encore à ¬(P ⇔ Q). Cette proposition n'est vraie que si P et Q ont des valeurs de vérités distinctes.

En logique classique un unique connecteur suffit

Une caractéristique du calcul propositionnel dit « classique » est que toutes les propositions peuvent s'exprimer à partir de deux connecteurs : par exemple ∨ et ¬ (ou et non)^[7]. Mais d'autres choix sont possibles comme ⇒ (implication) et ⊥ (faux). On sait aussi que l'on peut aussi n'utiliser qu'un seul connecteur, le symbole de Sheffer « | » (Henry M. Sheffer, 1913), appelé « stroke » par son concepteur et appelé aujourd'hui Nand et noté par les concepteurs de circuits ; on peut aussi n'utiliser que le connecteur Nor (noté ) comme l'a remarqué Charles Sanders Peirce (1880) sans le publier.

Le calcul des prédicats

Le calcul des prédicats étend le calcul propositionnel en permettant d'écrire des formules qui dépendent de paramètres ; pour cela le calcul des prédicats introduit les notions de variables, de symboles de fonctions et de relations, de termes et de quantificateurs ; les termes sont obtenus en combinant les variables au moyen des symboles de fonction, les formules élémentaires sont obtenues en appliquant les symboles de relations à des termes.

Une formule typique du calcul des prédicats est « ∀a,b ((p = a.b) ⇒ ((a = 1) ∨ (b = 1)) » qui lorsqu'on l'interprète dans les entiers exprime que le paramètre p est un nombre premier (ou 1). Cette formule utilise deux symboles de fonction (le point, fonction binaire interprétée par la multiplication des entiers, et le symbole « 1 », fonction 0-aire, c'est à dire constante) et un symbole de relation (pour l'égalité). Les variables sont a, b et p, les termes sont a.b et 1 et les formules élémentaires sont « p = a.b », « a = 1 » et « b = 1 ». Les variables a et b sont quantifiées mais pas la variable p dont la formule dépend.

Il existe plusieurs variantes du calcul des prédicats ; dans la plus simple, le calcul des prédicats du premier ordre, les variables représentent toutes les même types d'objets, par exemple dans la formule ci-dessus, les 3 variables a, b et n vont toutes représenter des entiers. Dans le calcul des prédicats du second ordre, il y a deux types de variables : des variables pour les objets et d'autres pour les prédicats, c'est à dire les relations entre objets. Par exemple en arithmétique du second ordre on emploie des variables pour représenter des entiers, et d'autres pour des ensembles d'entiers. La hiérarchie continue ainsi, au 3ème ordre on a 3 types de variables pour les objets, les relations entre objets, les relations entre relations, etc.

Substitution

Sur le plan syntaxique l'opération de base du calcul des prédicats est la substitution qui consiste à remplacer dans une formule toutes les occurrences d'une variable x par un terme a, obtenant ainsi une nouvelle formule ; par exemple si on remplace la variable p par le terme n! + 1 dans la formule ci-dessus on obtient la formule « ∀a,b ((n! + 1 = a.b) ⇒ ((a = 1) ∨ (b = 1)) » (qui exprime que la factorielle de l'entier n plus 1 est un nombre premier).

Si P est une formule dépendant d'un paramètre x et a est un terme, l’assemblage obtenu en remplaçant x par a dans P est une formule notée

(a|x)P ou P[a/x]

et s’appelle formule obtenue par substitution de x par a dans P.

Pour mettre en évidence un paramètre x dont dépend une formule P, on écrit celle-ci sous la forme P{x} ; on note alors P{a} la proposition (a|x)P.

On peut chercher à trouver la (les) substitution(s) qui rend(ent) une formule prouvable ; le problème est particulièrement intéressant dans le cas de formules dites équationnelles, c'est à dire de la forme t(x) = t'(x). Le théorie qui cherche à résoudre de telles équations dans le cadre de la logique mathématique s'appelle l'unification.

Les quantificateurs

Les quantificateurs sont les ingrédients syntaxiques spécifiques du calcul des prédicats. Comme les connecteurs propositionnels ils permettent de construire de nouvelles formules à partir d'anciennes, mais ils s'appuient pour cela sur l'utilisation des variables.

Soit une formule P dépendant d'une variable x. On construit alors une nouvelle formule dite existentielle :

∃ x P

et qui se lit : « il existe au moins un objet a, tel que (a|x)P » ou plus simplement « il existe x tel que P ». Le signe ∃ s’appelle le quantificateur existentiel.

De même on peut construire une formule dite universelle en utilisant le quantificateur universel noté ∀  :

∀ x P

qui se lit « pour tout objet a on a (a|x)P » ou plus simplement « pour tout x, P ».

En logique classique le quantificateur universel peut se définir à partir du quantificateur existentiel par :

¬( ∃x ¬P )

Dans ce contexte la proposition (∀x P) est fausse si et seulement si (∃ x ¬ P) est vraie.

Utilisation des quantificateurs

Propriétés élémentaires

Soient P et Q deux propositions et x un objet indéterminé.

• ¬(∃ x P) ⇔ (∀ x ¬ P)
• (∀ x) (P∧Q) ⇔ ( (∀ x) P ∧ (∀ x) Q )
• (∀ x) P ∨ (∀ x) Q ⇒ (∀ x) (P ∨ Q )
  (Implication réciproque fausse en général)
• (∃ x) (P∨Q) ⇔ ( (∃ x) P ∨ (∃ x) Q )
• (∃ x) (P∧Q) ⇒ ( (∃ x) P ∧ (∃ x) Q )
  (Implication réciproque fausse en général)

Propriétés utiles

Soient P une proposition et x et y des objets indéterminés.

• (∀ x) (∀ y) P ⇔ (∀ y) (∀ x) P
• (∃ x) (∃ y) P ⇔ (∃ y) (∃ x) P
• (∃ x) (∀ y) P ⇒ (∀ y) (∃ x) P
  (Implication réciproque fausse en général)

La dernière implication dit que s’il existe un x, tel que pour tout y, on ait P vraie, alors pour tout y, il existe bien un x (celui obtenu avant) tel que P soit vraie.

L’implication réciproque est fausse en général, parce que si pour chaque y, il existe un x tel que P soit vraie, ce x pourrait dépendre de y et varier suivant y. Ce x pourrait donc ne pas être le même pour tout y tel que P soit vraie.

L’égalité

Le symbole de relation = qui représente l'égalité a un statut un petit peu particulier, à la frontière entre les symboles logiques (connecteurs, quantificateurs) et les symboles non logique (relations, fonctions).

La formule a = b signifie que a et b représentent des objets identiques, et se lit « a est égal à b »

≠ est définie par a ≠ b si ¬(a = b)

Axiomes de l'égalité en logique du premier ordre

• ∀ x (x = x) (réflexivité de =)
• ∀ x (∀ y) ( (x = y) ⇔ (y = x) ) (symétrie de =)
• ∀ x (∀ y) (∀ z) ( ((x = y) ∧ (y = z)) ⇒ (x = z) ) (transitivité de =)

La relation = étant réflexive, symétrique et transitive, on dit que la relation = est une relation d'équivalence

• Soit P{x} une formule dépendant d'une variable x. Soient a et b deux termes tels que a = b. Alors les propositions P{a} et P{b} sont équivalentes.

• Soit F(x) une fonction contenant une variable libre x. Soient a et b des termes tels que a = b. Alors les termes F(a) et F(b) (obtenus en remplaçant respectivement x par a et x par b dans F(x)) sont égaux.

Ces deux dernières propriétés expriment intuitivement que = est la plus fine des relations d'équivalence.

Définition en logique du second ordre

En logique du second ordre on peut définir plus simplement l'égalité par :

• a = b si et seulement si ∀P (Pa ⇔ Pb)

Autrement dit deux objets sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes propriétés (principe d'identité des indiscernables énoncé par Leibniz)

Quelques systèmes déductifs

• Les systèmes à la Hilbert ;
• La déduction naturelle ;
• Le calcul des séquents ;

La théorie des ensembles

La théorie des ensembles est à la base de nombreuses théories mathématiques. Outre les symboles de logique énumérés précédemment, cette théorie utilise le symbole de relation ∈ (appartenance) qu'elle utilise pour définir la notion d'ensemble en mathématique.

L’appartenance

Le signe de l’appartenance se note :

∈

et représente la relation d’appartenance d’un objet à un autre.

Si a et b sont deux objets a ∈ b se lit :

« a appartient à b »

ou encore

« a est élément de b »

∉ se définit par a ∉ b si ¬(a ∈ b) vraie.

a ∉ b se lit « a n’appartient pas à b »

Le premier axiome de la théorie des ensemble, l'axiome d'extensionalité, dit que deux ensembles sont égaux dès qu'ils ont les mêmes éléments, ce qui s'écrit :

a = b ⇔ ∀x (x ∈ a ⇔ x ∈ b)

Bibliographie

Handbooks composés de long articles écrits par des universitaires

• Jon Barwise (dir.), Handbook of mathematical Logic, North Holland, 1977 (ISBN 0-7204-2285-X) 

• Dale Jacquette (dir.), A Companion to Philosophical Logic, Blackwell, coll. « Companions to Philosophy », 2002, 832 p. (ISBN 9781405145756) [présentation en ligne] 
• Stewart Shapiro (en) (dir.), The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford Scholarship, 2005, 774 p. (ISBN 978-0-19-514877-0) [présentation en ligne] 
• Handbook of Philosophical Logic, Kluwer Academic Publishers, depuis 2001 [présentation en ligne] 

Histoire et philosophie

Bande dessinée

• Logicomix, édition française Vuibert, 2010
  Scénario : Apóstolos K. Doxiàdis, Christos Papadimitriou (en) - Dessin : Alecos Papadatos - Couleurs : Annie Di Donna - ISBN 978-2711743513

Livres

• Haskell Curry,
  • (en) Outlines of a formalist philosophy of mathematics, North Holland, 1951 
  • Foundations of Mathematical Logic, Dover, 1979 (1^re éd. 1963) 
• Hao Wang
  • (en) From Mathematics to Philosophy, London, Routledge & Kegan Paul, 1974 
  • Popular Lectures on Mathematical Logic, New-York, Van Nostrand, 1981 (ISBN 0486676323) 
• Willard Van Orman Quine (trad. J. Largeault), Philosophie de la logique [« Philosophy of Logic »], Paris, Aubier Montaigne, 1975 

Recueils de textes

• (en) Martin Davis (dir.), The Undecidable : Basic Papers on Undecidable Propositions, Unsolvable Problems, and Computable Functions, Dover Publication, 1965 
• (en) Jean van Heijenoort (dir.), From Frege To Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard Univ. Press., 1977 (1^re éd. 1967) [présentation en ligne] 
• (en) Hilary Putnam (dir.) et Paul Benacerraf (dir.), Philosophy of Mathematics: Selected Readings, Cambridge University Press, 1983 (1^re éd. 1964) (ISBN 0-521-29648-X) 
• Jean Largeault (dir.), Logique Mathématique : Textes, Armand Colin, 1972 
• François Rivenc et Philippe de Rouillan, Logique et fondements des mathématiques (1850-1914). Anthologie, Payot, 1992 
• Logique, sémantique, métamathématique, 1923-1944 : Sélection de textes par Gilles Gaston Granger et al., vol. 1 et 2, Paris, Armand Colin, 1974 

Manuels et ouvrages généralistes de référence

En anglais

• Alonzo Church, Introduction to mathematical logic, Princeton University Press, 1956 (1^re éd. 1944) (ISBN 0-691-02906-7) 
• Stephen Cole Kleene
  • Introduction to Metamathematics, Ishi Press International, 1952 [lire en ligne] 
  • Logique mathématique [« Mathematical Logic (John Wiley - Dover 1967) »], Armand Colin (1971) ou Gabay (1987) (ISBN 2-87647-005-5) [lire en ligne] 
• Elliot Mendelson (en), Introduction to mathematical logic, D. Van Nostrand, 1964 
• J. R. Schoenfield, Mathematical Logic, Addison-Wesley, 1967 
• Dirk van Dalen, Logic and Structure, Berlin Heidelberg, Springer-Verlag, 2004 (1^re éd. 1994) 

En français

• Roland Fraïssé, Cours de logique mathématique, Paris, Gauthier-Villars, (3 vol.) 1971-1975 (1^re éd. 1967) 
• René Cori et Daniel Lascar, Logique mathématique, tomes 1 [détail des éditions] et 2 [détail des éditions], Masson, 2003 
• René Lalement, Logique, réduction, résolution, Masson, 1990 
• Michel de Rougemont et Richard Lassaigne, Logique et fondements de l'informatique (logique du premier ordre, calculabilité et lambda calcul), Hermes Science Publications, 1997 (ISBN 2-86601-380-8) 
• Yannis Delmas-Rigoutsos et René Lalement, La Logique ou l'art de raisonner, Paris, Le Pommier, 2000 [détail de l’édition] 
• René David, Karim Nour et Christophe Raffalli, Introduction à la logique. Théorie de la démonstration. Cours et exercices corrigés, Dunod, 2001 (ISBN 2-10-006796-6) 

Notes et références

Voir aussi

• Logique, logique classique, logique intuitionniste, logique minimale, logique linéaire.
• Syllogisme
• Idéographie
• Lambda-calcul
• Logiques multi-valuées
• Logique de description

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