- Logique Minimale
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Logique minimale
La logique minimale est, comme la logique intuitionniste, une variante de la logique classique. Les trois logiques diffèrent sur la façon de traiter la négation et la contradiction dans le calcul des propositions ou le calcul des prédicats. Dans une certaine mesure, la logique minimale n'aborde pas ce concept et représente une logique sans véritable négation.
Sommaire
Comparaison entre les diverses logiques
On utisera comme notation les symboles suivants :
pour la disjonction, 
pour la conjonction, 
pour l'implication, 
pour la négation, 
pour l'équivalence.Les règles communes
Dans les trois logiques, on dispose des deux règles suivantes, relatives à la négation :
- La règle d'élimination de la négation : Si on a à la fois une proposition A et sa négation
, alors on a une contradiction, notée 
. - La règle d'introduction de la négation : Si une proposition A conduit à une contradiction, alors c'est que est valide. Cette règle peut d'ailleurs être prise comme définition de la négation : est un synonyme de
.
Les différences
Les trois logiques diffèrent sur les conséquences à tirer d'une contradiction.
- La logique classique utilise le raisonnement par l'absurde et déduit de
le fait que A est valide. C'est en fait une régle d'élimination de la double négation, puisque est un synonyme de 
. - La logique intuitionniste déduit d'une contradiction n'importe quelle proposition :
, ce qu'on résume par la formule ex falso sequitur quodlibet. - La logique minimale ne prévoit aucun traitement lié à .
Il en résulte que la logique minimale n'établit pas de différence entre la formule et n'importe quelle autre formule. Considérons par exemple une formule quelconque C. Définissons 
comme synonyme de 
. On a alors :- Si on a à la fois A et , alors on a C. En effet, de A et de , on peut déduire C. C'est la règle du modus ponens.
- Si une proposition A conduit à C, alors on a et donc .
On voit donc que, si on n'attribue aucun rôle particulier à la contradiction, on peut faire jouer le rôle de cette contradiction à n'importe quelle formule C, en définissant la négation comme étant
, et qu'inversement, on peut supprimer toute référence à la négation en logique minimale.Par souci de comparaison avec les autres logiques, nous continuerons néanmoins à utiliser les symboles
et Exemples de formules valides en logique minimale
Exemple 1 :
En effet, supposons qu'on ait
(autrement dit, on a à la fois et 
). Montrons que l'on a 
, autrement dit, montrons que l'hypothèse 
conduit à une contradiction. Distinguons les cas : soit on a A qui est bien contradictoire avec l'hypothèse , ou bien on a B qui est contradictoire avec . Dans tous les cas, on a une contradiction, CQFD.Réciproquement, supposons que l'on ait
et montrons que l'on a , autrement dit que A conduit à une contradiction. Mais A entraîne qui est contradictoire avec l'hypothèse. CQFD. On procède de même pour montrer .Par contre, on a seulement
, la réciproque étant seulement vraie en logique classique.Exemple 2 :
Supposons qu'on ait A. Alors l'hypothèse supplémentaire
conduit à une contradiction. On a donc . CQFDLa réciproque est invalide en logique minimale et en logique intuitionniste. On dispose cependant de
. En effet, supposons que 
. L'hypothèse supplémentaire A entraîne qui est contradictoire avec , donc on a .Exemple 3 : On peut montrer la validité en logique minimale de
. Mais la réciproque est seulement valide en logique intuitionniste ou en logique classique.Exemple 4 : En ce qui concerne la contraposition, on peut montrer qu'en logique minimale, on a
, ainsi que 
et 
, mais on ne dispose pas de 
qui est une variante du raisonnement par l'absurde.Exemples de formules invalides
Exemple 1 : La formule
est invalide en logique minimale. En effet, si elle était prouvable, alors on pourrait prouver également, en remplaçant par une proposition quelconque C que 
, or cette dernière formule n'est pas même prouvable en logique classique, sans hypothèse supplémentaire sur C.Exemple 2 : La formule
est valide en logique intuitionniste et en logique classique, mais pas en logique minimale. En effet, une preuve demanderait de supposer 
et d'en déduire 
, et donc de supposer A et d'en déduire B. L'utilisation de par disjonction des cas et de A pour prouver B demanderait de prouver que et A prouvent B, et que B et A prouvent B. Mais la preuve de B à partir de et A n'existe pas en logique minimale. Elle existe en logique intuitionniste, puisque, de la contradiction 
, on peut déduire B.Logique minimale et logique classique
La traduction de Gödel
La logique minimale, amputée du traitement de la négation, semble bien pauvre devant la logique classique ou la logique intuitionniste. Elle n'en est cependant pas si éloignée. On montre en effet, que, pour tout formule A, il existe une formule A', équivalente à A en logique classique, telle que A est prouvable en logique classique si et seulement si A' est prouvable en logique minimale. A' est obtenue au moyen de la traduction de Gödel, définie itérativement comme suit :
pour toute formule atomique différente de 
Autrement dit, la traduction de Gödel d'une formule consiste à rajouter des doubles négations devant les formules atomiques, les disjonctions et les quantificateurs existentiels. Cela signifie qu'en logique classique, il suffit de faire appel à des raisonnements par l'absurde seulement devant des formules atomiques, des disjonctions ou des quantificateurs existentiels.
Exemples
Par exemple, le tiers exclu
est un théorème de la logique classique, mais pas de la logique minimale. Par contre, en logique minimale la formule 
est valide. En effet, celle-ci est équivalente, en logique minimale, à 
ou à 
ou encore à 
, c'est-à-dire à 
qui est une formule valide.Voir aussi
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