Théorie descriptive des ensembles

Théorie descriptive des ensembles

La théorie descriptive des ensembles est une branche des mathématiques s'intéressant aux ensembles « définissables ». Son principal but est de classifier ces ensembles par complexité. Elle a de nombreux liens avec la théorie des ensembles et a des applications dans de nombreux domaines.

Sommaire

Origines de la théorie descriptive des ensembles

Historiquement, les premières questions de la théorie descriptive des ensembles sont apparues suite à la découverte d'une erreur dans une démonstration de Lebesgue[1]. Celui-ci voulait montrer le résultat suivant : si f:\mathbb R^2\mapsto\mathbb R^2 est borélienne telle que pour tout x\in\mathbb R, il existe un unique y\in\mathbb R tel que f(x,y) = 0, alors la fonction qui à chaque x associe ce y est borélienne. L'étape fausse de la démonstration était que Lebesgue affirmait que la projection d'un borélien est borélienne, ce qui est faux. Souslin s'en rendit compte et qualifia les projections de boréliens d'ensembles analytiques.

Uniformisation

On commença ensuite à s'intéresser à la notion d'uniformisation : étant donné un sous-ensemble A du plan X\times Y, peut on trouver une fonction « suffisamment régulière » dont l'ensemble de définition soit πX(A) et telle que \forall x\in\pi_X(A), (x,f(x))\in A?

La réponse est non, même pour les fermés du plan. Ceci dit de nombreuses conditions ont été trouvés au début du XXe siècle (par exemple, que A soit à section dénombrable).

Complexité

On cherche aussi à trouver une hiérarchie précise des ensembles définissables (d'où le nom de théorie descriptive des ensembles), ces questions étant liées à la théorie des jeux (jeu de séparation, jeu de Banach-Mazur[2])...

Théorie descriptive effective

Après la Seconde Guerre mondiale s'est aussi développée une branche très importante : la théorie descriptive effective des ensembles. Sous l'impulsion des travaux de Turing s'est posée la question des ensembles définissables « pour un ordinateur ». On aboutit à une hiérarchie tout aussi riche que celle de la théorie classique, et cette approche a permis de démontrer de nombreux résultats.

Notes et références

  1. ↑ Srivastava, A Course on Borel Sets.
  2. ↑ Kechris, Classical Descriptive Set Theory, ch. 21

Voir aussi


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