Liste de fractales par dimension de Hausdorff

Liste de fractales par dimension de Hausdorff: Cet article est une liste de fractales, ordonnées par dimension de Hausdorff croissante.

En mathématiques, une fractale est un ensemble dont la dimension de Hausdorff (notée δ) est strictement supérieure à la dimension topologique^[1].

Sommaire

1 Fractales déterministes

1.1 δ < 1

1.2 1 ≤ δ < 2

1.3 δ = 2

1.4 2 < δ < 3

1.5 δ = 3

2 Fractales aléatoires et naturelles

3 Notes et références

4 Voir aussi

4.1 Bibliographie

4.2 Articles connexes

4.3 Liens externes

Fractales déterministes

δ < 1

δ
(val. exacte) δ
(val. approchée) Nom Illustration Remarques

0 ⇒ donc pas une fractale mais dim box-counting = 1 0 Nombres rationnels La dimension de Hausdorff des ensembles dénombrables vaut toujours zéro. Ces ensembles ne peuvent être fractals. Ajoutons que la dimension "box counting" d'un tel ensemble peut être différent s'il s'agit d'un sous-ensemble dense d'une région ouverte de R. L'ensemble des nombres rationnels a ainsi une dimension box-counting de "1" car sa clôture est R^[1].

Calculé 0.538 Attracteur de Feigenbaum L'attracteur de Feigenbaum (entre les flèches) est l'ensemble des points générés par itérations successives de la fonction logistique pour le paramètre critique $\scriptstyle{\lambda_\infty = 3.570}$ , où le doublement de périodes est infini. Remarque : cette dimension est la même pour toute fonction différentiable et unimodale^[2].

$\textstyle{\frac {\ln(2)} {\ln(3)}}$ 0,6309 Ensemble de Cantor Construit en retirant le tiers central à chaque itération. Nulle part dense et de mesure nulle mais indénombrable. Généralisation : L'ensemble de Cantor généralisé se construit en retirant à chaque segment et à la $n e m e$ itération, le segment central de longueur $γ m$ . Sa dimension fractale vaut alors $\textstyle{-\frac{\log(2)}{\log(\frac{1-\gamma}{2})}}$ et peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 1. L'ensemble de Cantor usuel est construit avec $\scriptstyle{\gamma=1/3}$ ^[3].

$\textstyle{\frac {\log(\scriptstyle\varphi)}{\log(2)}}$ 0.6942 Ensemble de Cantor asymétrique Remarquer que la dimension n'est plus $\textstyle{\frac {\log(2)}{\log(3)}}$ ^[4]. Construit en retirant le deuxième quart à chaque itération. Nulle part dense et de mesure nulle mais indénombrable.
$\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2$ (nombre d'or).

$\textstyle{\frac {\log(5)}{\log(10)}}$ 0.69897 Nombres réels avec décimales paires Similaire à un ensemble de Cantor^[1].

$\textstyle{\frac {\ln(5)} {\ln(9)}}$ 0,7325 Fractale UNU Fractale auto-descriptive construite par itérations successives du schéma suivant : u → unu (un « u ») → unuunnunu (un « u », un « n », un « u ») → etc.

1 ≤ δ < 2

δ
(val. exacte) δ
(val. approchée) Nom Illustration Remarques

1 1.0000 Ensemble de Smith-Volterra-Cantor Construit en retirant le quart, puis le seizième, le 64^e… central à chaque itération. N'est nulle part dense mais est indénombrable et a pour mesure de Lebesgue 1/2. Il a donc pour dimension 1.

$\textstyle{2+\frac {\log(1/2)} {\log(2)}}$ 1.0000 Courbe de Takagi ou Blanc-manger Définie sur l'intervalle unité par $\textstyle{f(x) = \sum_{n=0}^\infty {s(2^{n}x)\over 2^n}}$ , où $s (x)$ est la fonction "dents de scie". Cas particulier de la courbe de Takahi-Landsberg: $\textstyle{f(x) = \sum_{n=0}^\infty {w^n s(2^{n}x)}}$ avec $\scriptstyle{w = 1/2}$ . La dimension de Hausdorff vaut $2 + l o g (w) / l o g (2)$ . (Hunt cité par Mandelbrot^[5] ).

calculé 1.0812 Ensemble de Julia z² + 1/4 Ensemble de Julia pour c = 1/4^[6].

Solution s de $2 | α | 3 s + | α | 4 s = 1$ 1.0933 Frontière de la Fractale de Rauzy $Rauzy fractal.png$ Représentation géométrique du système dynamique associé à la substitution de Tribonacci: $\scriptstyle{1\mapsto12}$ , $\scriptstyle{2\mapsto13}$ et $\scriptstyle{3}\mapsto1$ ^[7].. $α$ est l'une des deux racines complexes conjuguées de $z 3 - z 2 - z - 1 = 0$ .

$\textstyle{2\frac {\ln(3)} {\ln(7)}}$ 1,12915 Île de Gosper Baptisée par Mandelbrot (1977)^[8]. Frontière de la courbe de Gosper.

Mesuré (Box counting) 1.2 Ensemble de Julia "Dendrite" Ensemble de Julia pour c=i

$\textstyle{3\frac{\log(\varphi)}{\log \left(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)}}$ 1.2083 Fractale du mot de Fibonacci à 60 ° Construite à partir du Mot de Fibonacci, avec un angle à 60°. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous ^[9]. Avec $\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).

1.2107 Frontière du tame twindragon Un des six 2-autopavés réguliers (peut être pavé par deux copies de lui-même, de même taille).^[10]

$\textstyle{\frac{\log(3)}{\log(1+\sqrt{2})}}$ 1.2465 Frontière de la fractale du mot de Fibonacci $Fibonacci word fractal boundary.png$ Construite à partir du Mot de Fibonacci. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous ^[9]. Avec $\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).

1,26 Attracteur de Hénon La carte de Hénon canonique (a = 1,4 et b = 0.3) possède δ = 1,261 ± 0,003. Différents paramètres conduisent à différentes valeurs de δ

$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(3)}}$ 1,2619 Courbe de Koch En juxtaposant 3 fois cette courbe en triangle on obtient le flocon de Koch et l'anti-flocon de Koch si elle est inversée.

$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(3)}}$ 1,2619 Frontière de la Courbe Terdragon L-System : similaire à la courbe du dragon avec un angle de 30°. Le Fudgeflake est construit en juxtaposant 3 segments initiaux en triangle.

$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(3)}}$ 1,2619 Carré de Cantor Ensemble de Cantor en deux dimensions.

calculé 1,2683 Ensemble de Julia pour z²-1 Ensemble de Julia pour c=-1^[11].

Mesuré (box-counting) 1,3 Fractale Beryl pour k=1 $Beryl fractal.png$ Pour k=1. La fractale Béryl est définie par f(x, y)→(k(x+y), xy) avec x et y complexes et la coupe dans le plan $ν 0 = 1$ ^[12]

calculé 1,3057 Baderne d'Apollonius Voir^[13]

calculé (box-counting) 1.328 Fractale d'inversion à 5 cercles L'ensemble limite généré itérativement via des inversions par rapport à 5 cercles tangents. Également une baderne d'Apollonius à 4 cercles de base. Voir^[14]

calculé 1.3934 Lapin de Douady Ensemble de Julia pour c=-0,123+0.745i^[15].

Mesuré (box counting) 1,42 +/- 0,02 Fractale de Newton $Newton fractal.png$ Frontière triple des bassins d'attraction des 3 racines complexes de l'equation $z 3 - 1 = 0$ par la méthode de Newton.

$\textstyle{\frac {\ln(5)} {\ln(3)}}$ 1,4649 Fractale de Vicsek $Box fractal.png$ Construit en substituant itérativement chaque carré par une croix de 5 carrés.

$\textstyle{\frac {\ln(5)} {\ln(3)}}$ 1,4649 Courbe de Koch quadratique (type 1) On y retrouve le motif de la fractale box (voir ci-dessus), construit différemment.

$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(4)}}$ 1,5000 Courbe de Koch quadratique (type 2) Appelée également « saucisse de Minkowski ».

$\textstyle{2 -\frac{\log(\sqrt{2})}{\log(2)}}$ (supposé exact) 1.5000 une fonction de Weierstrass: $\textstyle{f(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac {sin(2^k x)} {\sqrt{2}^k}}$ La dimension de Hausdorff de la fonction de Weierstrass $\scriptstyle{f : [0,1] \to \mathbb{R}}$ définie par $\textstyle{f(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac {sin(b^k x)} {a^k}}$ avec $1 < a < 2$ et $b > 1$ a pour borne supérieure $\scriptstyle{2 -\log(a)/\log(b)}$ . Il est conjecturé qu'il s'agit de la valeur exacte. Le même résultat peut être établi en utilisant, à la place de la fonction sinus, d'autres fonctions périodiques comme cosinus^[1].

$\textstyle{\frac{\log\left(\frac{1+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}}{3}\right)} {\log(2)}}$ 1,5236 Frontière courbe du dragon Cf. Chang & Zhang^[16].

$\textstyle{\frac{\log\left(\frac{1+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}}{3}\right)} {\log(2)}}$ 1.5236 Frontière du twindragon Un des six 2-autopavés réguliers (peut être pavé par deux copies de lui-même, de même taille).^[10]

$\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}}$ 1,5849 Arbre à trois branches Chaque branche porte trois branches (ici 90 ° et 60°). La dimension fractale de l'arbre est celle des branches terminales.

$\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}}$ 1,5849 Triangle de Sierpiński C'est également le triangle de Pascal modulo 2.

$\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}}$ 1,5849 Courbe de Sierpiński en pointe de flèche Même limite que le triangle de Sierpiński (ci-dessus), mais obtenue par itérations d'une courbe unidimensionnelle.

$\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}}$ 1,5849 Frontière de la fractale de l'équerre (T-square) $Boundary T-Square fractal.png$

$\textstyle{\frac{\log{\varphi}}{log{\sqrt[\varphi]{\varphi}}}}$ 1,61803 = $φ$ un dragon d'or Construit avec deux homothéties de rapport $r$ et $r 2$ , avec $\scriptstyle{r = 1 / \varphi^{1/\varphi}}$ . La dimension vaut $\scriptstyle{\varphi}$ car $\scriptstyle{({r^2})^\varphi+r^\varphi = 1}$ . Avec $\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).

$1 + l o g 3 (2)$ 1,6309 Triangle de Pascal modulo 3 D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est $\scriptstyle 1 + log_k(\frac{k+1}{2})$ (Cf.Stephen Wolfram^[17])

$\textstyle{\frac{\log(6)}{\log (3)}}$ 1,6309 Hexagone de Sierpinski Construit à la manière du tapis de Sierpinski, sur un réseau hexagonal, avec 6 similitudes de rapport 1/3. On y remarque l'omniprésence du flocon de Koch.

$\textstyle{3\frac{\log(\varphi)}{\log (1+\sqrt{2})}}$ 1,6379 Fractale du mot de Fibonacci $Fibonacci fractal F23 steps.png$ Fractale basée sur le mot de Fibonacci (ou séquence du Lapin) Sloane A005614. Illustration : Fractale après F₂₃ = 28657 segments^[9].. Avec $\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).

Solution de $\scriptstyle{(1/3)^s + (1/2)^s + (2/3)^s = 1}$ 1.6402 Attracteur d'un IFS avec 3 similitudes de ratios 1/3, 1/2 and 2/3 Generalisation : Supposant la condition d'ensemble ouvert satisfaite, l'attracteur d'un système de fonctions itérées à $n$ simulitudes de ratio $c n$ , a pour dimension de Hausdorff s, solution de l'équation : $\scriptstyle{\sum_{k=1}^n c_k^s = 1}$ ^[1].

$1 + l o g 5 (3)$ 1,6826 Triangle de Pascal modulo 5 D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est $\scriptstyle 1 + log_k(\frac{k+1}{2})$ (Cf.Stephen Wolfram^[17])

Mesuré (box-counting) 1.7 Attracteur d'Ikeda Pour les valeurs de paramètres a=1, b=0.9, k=0.4 et p=6 dans le système itéré d'Ikeda $\scriptstyle {z_{n+1} = a + bz_n exp[i[k - p/(1 + \lfloor z_n \rfloor^2)]]}$ . Dérive d'un modélisastion d'interactions d'ondes planaires dans un laser. Différents paramètres entrainent differentes valeurs. ^[18].

$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(\sqrt{5})}}$ 1,7227 Fractale Pinwheel $Pinwheel fractal.png$ Construite à partir du pavage "pinwheel" de John Conway.

$\textstyle{\frac {\ln(7)} {\ln(3)}}$ 1,7712 Flocon hexagonal Construit en substituant itérativement chaque hexagone par un flocon de 7 hexagones. Sa frontière est le flocon de Koch. Contient une infinité de flocons de Koch (en positif comme en négatif).

$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2(1+\cos(85^\circ))}}$ 1,7848 Courbe de Koch à 85 °, fractale de Cesàro Généralisation de la courbe de Koch basée sur un angle a choisi entre 0 et 90°. La dimension fractale vaut alors $\scriptstyle \frac{\ln(N)}{\ln(2(1+cos(a))}$ . La fractale de Cesàro est basée sur ce motif.

$\textstyle{\frac{\log{(3^{0.63}+2^{0.63})}} {\log{2}}}$ 1.8272 Une fractale auto-affine Construite itérativement à partir d'une grille $\scriptstyle{p \times q}$ sur un carré, avec $\scriptstyle{p \le q}$ . Sa dimension de Hausdorff égale $\scriptstyle{\frac{\log{\left (\sum_{k=1}^p n_k^a \right )}} {\log{p}}}$ ^[1] avec $\scriptstyle{a=\frac{\log{ p}}{log{ q}}}$ et $n k$ le nombre d'éléments dans la colonne k. La Dimension de Minkowski–Bouligand (box counting) donne une formule différente, donc une valeur souvent différente. Contrairement aux fractales auto-similaires, la dimension de Hausdorff des fractales auto-affines dépend de la position des éléments itérés et il n'existe pas de formule simple pour le cas général.

$\textstyle{\frac {\ln(6)} {\ln(1+\phi)}}$ 1,8617 Flocon pentagonal (pentaflake) Construit en substituant itérativement chaque pentagone par un flocon de 6 pentagones. Ici, $ϕ$ est le nombre d'or et vaut $\scriptstyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

solution de $\scriptstyle{6(1/3)^s+5{(1/3\sqrt{3})}^s=1}$ 1.8687 L'"arbre des singes" Cette courbe apparaît sous ce nom dans "Fractal geometry of Nature" (1983) de Benoit Mandelbrot. Elle est basée sur 6 homothéties de rapport $1 / 3$ et 5 homothéties de rapport $\scriptstyle{1/{3\sqrt{3}}}$ ^[19].

$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(3)}}$ 1,8928 Tapis de Sierpiński

$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(3)}}$ 1,8928 Cube de Cantor Ensemble de Cantor en trois dimensions.

$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(3)}+\frac {\ln(2)} {\ln(3)}=\frac {\ln(8)} {\ln(3)}}$ 1,8928 Produit cartésien de la Courbe de von Koch et de l'ensemble de Cantor Généralisation : Soit FxG, le produit cartésien de deux ensembles fractals F et G. Alors $D i m H (F x G) = D i m H (F) + D i m H (G)$ .^[1]

Estimé 1,9340 Frontière de la fractale de Lévy Estimé par Duvall et Keesling (1999). La fractale de Lévy en elle-même a pour dimension de Hausdorff 2.

1,974 Pavage de Penrose Cf. Ramachandrarao, Sinha & Sanyal^[20]

δ = 2

δ
(val. exacte) δ
(val. approchée) Nom Illustration Remarques

$2$ 2 Frontière de l'ensemble de Mandelbrot La frontière a la même dimension que l'ensemble^[21]..

$2$ 2 certains ensembles de Julia Pour des valeurs de c déterminées (sur la frontière de l'ensemble de Mandelbrot), l'ensemble de Julia a pour dimension 2^[22]..

$2$ 2 Courbe de Sierpiński Toute courbe remplissant l'espace possède une dimension de Hausdorff δ = 2.

$2$ 2 Courbe de Hilbert Peut être étendue à trois dimensions.

$2$ 2 Courbe de Peano et une famille de courbes de construction similaire, dont les courbes de Wunderlich.

$2$ 2 Courbe de Moore Peut être étendue à 3 dimensions.

$2$ 2 Courbe de Lebesgue Contrairement aux courbes ci-dessus, celle-ci est presque partout différentiable. Un deuxième type de courbe 2D a également été défini. Cette courbe peut être étendue en 3D avec une dimension fractale de 3^[23]..

$\textstyle{\frac {\ln(2)} {\ln(\sqrt{2})}}$ 2 Courbe du dragon Sa frontière a une dimension fractale de 1,5236 (Cf.Chang & Zhang^[16])

2 Courbe "Terdragon" L-System : F→ F+F-F ; angle=120°.

$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}}$ 2 Courbe de Peano-Gosper Sa frontière est l'île de Gosper.

Solution de $\scriptstyle{7({1/3})^s+6({1/3\sqrt{3}})^s=1}$ 2 Courbe remplissant le flocon de Koch Proposée par Mandelbrot en 1982^[24], elle remplit le flocon de Koch. Elle est basée sur 7 similitudes de rapport 1/3 et 6 similitudes de rapport $\scriptstyle{1/3\sqrt{3}}$ .

$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}}$ 2 Tétraèdre de Sierpinski Conséquence de sa dimension 2, sa surface reste inchangée d'itération en itération, et ce, jusqu'à l'infini. ^[25]

$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}}$ 2 Fractale H $H fractal2.png$ Également, l'arbre de Mandelbrot, qui a une structure similaire.

$\textstyle{\frac {\ln(1/2)} {\ln(\sqrt{2}/2)}}$ 2 Arbre de Pythagore Chaque carré génère deux carrés de côté réduit de racine(2)/2.

$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}}$ 2 Fractale en croix grecque $Greek cross fractal stage 4.png$ Chaque segment est substitué par une croix formée de quatre segments.

2 < δ < 3

δ
(val. exacte) δ
(val. approchée) Nom Illustration Remarques

Mesuré 2.01 +-0.01 Attracteur de Rössler La dimension fractale de l'attracteur de Rössler est légèrement supérieure à 2. Pour a=0,1, b=0,1, et c=14 elle est estimée entre 2,01 et 2,02. ^[26]^,^[27].

Mesuré 2.06 +-0.01 Attracteur étrange de Lorenz Pour les paramètres de l'attracteur: v=40, $σ$ =16 et b=4^[28].

$\textstyle{\frac {\log(5)} {\log(2)}}$ 2,3219 Pyramide fractale Chaque pyramide est substituée par 5 pyramides. Ne pas confondre avec le tétraèdre de Sierpinski, il s'agit de pyramides à base carrée.

$\textstyle{\frac {\ln(20)} {\ln(2+\phi)}}$ 2,3296 Dodécaèdre fractal $Dodecaedron fractal.jpg$ Chaque dodécaèdre est substitué par 20 dodécaèdres.^[25]

$\textstyle{\frac {\ln(13)} {\ln(3)}}$ 2,33 Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 1 Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 1 (la figure illustre la deuxième itération).

2,47 Interstices des sphères d'Apollonius Baderne d'Apollonius en trois dimensions. Modélise la mie de pain ou l'éponge. Dimension calculée par M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert^[29].

$\textstyle{\frac {\ln(32)} {\ln(4)}}$ 2,50 Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 2 Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 2 (la figure illustre la deuxième itération).

$\textstyle{\frac {\ln(16)} {\ln(3)}}$ 2,5237 Hypercube de Cantor pas de représentation possible Ensemble de Cantor en 4 dimensions. D'une manière générale, dans un espace de dimension n, l'ensemble de Cantor a une dimension fractale égale à $\scriptstyle n\frac{\ln(2)}{\ln(3)}$

$\textstyle{\frac {\ln(12)} {\ln(1+\phi)}}$ 2,5819 Icosaèdre fractal $Icosaedron fractal.jpg$ Chaque icosaèdre est substitué par 12 icosaèdres.^[25]

$\textstyle{\frac {\ln(6)} {\ln(2)}}$ 2,5849 Octaèdre fractal $Octaedron fractal.jpg$ Chaque octaèdre est substitué par 6 octaèdres.^[25]

$\textstyle{\frac {\log(6)} {\log(2)}}$ 2.5849 Surface de Koch Chaque triangle équilatéral est remplacé par 6 triangles deux fois plus petits. Extension en 2 dimensions de la courbe de Koch.

$\textstyle{\frac {\ln(6)} {\ln(2)}}$ 2,59 Fractale en croix grecque en trois dimensions Chaque segment est substitué par une croix en trois dimensions formée de 6 segments. Extension en trois dimensions de la croix en deux dimensions.

$\textstyle{\frac {\ln(20)} {\ln(3)}}$ 2,7268 Éponge de Menger Sa surface a une dimension fractale de $\scriptstyle \frac{\ln(12)}{\ln(3)} = 2,2618$ .

$\textstyle{\frac {\log(7)} {\log(2)}}$ 2,8073 Heptaèdre fractal Construit avec 7 homothéties de rapport 1/2. Ses faces sont constituées de triangles de Sierpinski. Son volume tend vers zéro.

δ = 3

δ
(val. exacte) δ
(val. approchée) Nom Illustration Remarques

$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(2)}}$ 3 Courbe de Hilbert en trois dimensions Courbe de Hilbert étendue à trois dimensions

$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(2)}}$ 3 Courbe de Lebesgue en trois dimensions Courbe de Lebesgue étendue à trois dimensions^[30]..

$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(2)}}$ 3 Courbe de Moore en trois dimensions Courbe de Moore étendue à trois dimensions.

$\textstyle{3}$ 3 Mandelbulb Extension de l'ensemble de Mandelbrot (puissance 8) à 3 dimensions. ^[31]

Fractales aléatoires et naturelles

δ
(val. exacte) δ
(val. approchée) Nom Illustration Remarques

1/2 0.5 Zeros du graphe d'une fonction brownienne (Processus de Wiener) Les zéros du graphe d'une fonction brownienne constituent un ensemble nulle part dense, de mesure de Lebesgue 0, avec une structure fractale^[1]^,^[32].

Solution de $E(C_1^s + C_2^s)=1$ avec $E (C 1) = 0,5$ et $E (C 2) = 0,3$ 0.7499 Ensemble de Cantor aléatoire 50% / 30% A chaque itération, la longueur de l'intervalle de gauche est définie par une variable aléatoire $C 1$ : un pourcentage variable de la longueur du segment d'origine. Idem pour l'intervalle de droite, avec pour autre variable aléatoire $C 2$ . Sa dimension de Hausdorff $s$ satisfait alors l'équation : $\scriptstyle{E(C_1^s + C_2^s)=1}$ . ( $E (X)$ est l'espérance mathématique de $X$ )^[1].

Mesuré 1,05 Chromosome humain n^o 22 Voir référence pour les détails de la méthode de calcul^[33].

Solution de $s + 1 = 12 * 2 - (s + 1) - 6 * 3 - (s + 1)$ 1.144… Courbe de Koch avec intervalle aléatoire La longueur de l'intervalle médian est une variable aléatoire à distribution uniforme dans (0;1/3)^[1].

mesuré 1,24 Côte de Grande-Bretagne $Britain-fractal-coastline-combined.jpg$ Dimension fractale de la côte ouest de Grande-Bretagne, mesurée par Lewis Fry Richardson et cité par Benoît Mandelbrot^[34].

$\textstyle{\frac {\log(4)} {\log(3)}}$ 1.2619 Courbe de Koch avec orientation aléatoire On introduit ici un élément de hasard qui n'affecte pas la dimension en choisissant aléatoirement, à chaque itération, de placer le triangle équilatéral au-dessus ou en dessous de la courbe^[1].

$\textstyle{\frac {4}{3}}$ 1,33 Frontière du mouvement brownien^[35]

$\textstyle{\frac {4}{3}}$ 1,33 Polymère en deux dimensions Similaire au mouvement brownien sans auto-intersection^[36].

$\textstyle{\frac {4}{3}}$ 1,33 Front de percolation, front de corrosion en deux dimensions Dimension fractale du front de percolation par invasion au seuil de percolation (59,3%). C'est également la dimension fractale du front de corrosion^[36].

1,40 Agrégat d'agrégats en deux dimensions Des agrégats se combinent progressivement en un agrégat unique de dimension 1,4^[36].

$\textstyle{\textstyle{2-\frac{1}{2}}}$ 1.5 Graphe d'une fonction Brownienne (Processus de Wiener) Graphe d'une fonction $f$ telle que, pour tout couple de réels positifs $x$ et $x + h$ , la différence de leurs images $f (x + h) - f (x)$ suit une distribution gaussienne centrée de variance = $h$ . Généralisation : Une fonction fractionnelle Brownienne d'index $α$ suit la même définition mais avec une variance = $h 2α$ , dans ce cas, la dimension de Hausdorff de son graphe = $2 - α$ ^[1].

Mesuré 1,52 Côte de Norvège Cf J. Feder^[37].

Mesuré 1,55 Marche aléatoire sans intersection Marche aléatoire dans un réseau carré sans auto-intersection, avec algorithme de retour arrière pour évitement des impasses.

$\textstyle{\frac {5} {3}}$ 1,66 Polymère en trois dimensions Similaire au mouvement brownien dans un réseau cubique, mais sans auto-intersection^[36].

1,70 Agrégat par diffusion en deux dimensions En deux dimensions, des particules forment progressivement par diffusion un agrégat de dimension 1,70^[36].

$\textstyle{\frac {\log(9*0.75)} {\log(3)}}$ 1.7381 Percolation fractale à 75% de probabilité Le modèle de percolation fractale est construit par le remplacement progressif de chaque carré par une grille de 3x3 dans laquelle est placée une collection aléatoire de sous-carrés, chaque sous-carré ayant une probabilité p d'être retenu. La dimension de Hausdorff "presque certaine" égale $\textstyle{\frac {\log(9p)} {\log(3)}}$ ^[1].

7/4 1,75 Frontière d'un amas de percolation en deux dimensions La frontière d'un amas de percolation peut également être simulée par une marche générant spécifiquement cette frontière ou en utilisant l'évolution de Schramm-Loewner (en)^[38].

$\textstyle{\frac {91} {48}}$ 1,8958 Amas de percolation en deux dimensions Sous le seuil de percolation (59,3%), l'amas de percolation par invasion couvre une surface de dimension fractale 91/48^[36]^,^[39]. Au-delà du seuil, l'amas est infini et 91/48 devient la dimension fractale des « clairières ».

$\textstyle{\frac {\ln(2)} {\ln(\sqrt{2})}}$ 2 Mouvement brownien Modélisé par la marche aléatoire. La dimension de Hausdorff reste égale 2 dans toutes les dimensions supérieures ou égales à 2.

Mesuré Environ 2 Distribution des amas de galaxies Mesuré à partir des résultats 2005 du Sloan Digital Sky Survey. Voir référence^[40]

$\textstyle{\frac {\ln(13)} {\ln(3)}}$ 2,33 Surface du chou-fleur Chaque branche porte environ 13 branches 3 fois plus courtes.

2,4 ± 0,2 Boule de papier froissé Le diamètre de la boule de papier froissé, élevé à une puissance non entière comprise entre 2 et 3 est approximativement proportionnel à la surface de papier utilisé^[41]. Les plis se forment à toutes les échelles.

2,50 Agrégat par diffusion en trois dimensions En trois dimensions, des particules forment progressivement par diffusion un agrégat de dimension 2,5^[36].

2.50 Figure de Lichtenberg Les décharges electriques arborescentes, dites figures de Lichtenberg, croissent à la manière d'une diffusion par agrégation^[36].

$\textstyle{3-\frac{1}{2}}$ 2.5 surface Brownienne Une fonction $\scriptstyle{f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}}$ , donne l'altitude d'un point $(x, y)$ telle que, pour deux incréments positifs $h$ et $k$ , $\scriptstyle{f(x+h,y+k)-f(x,y)}$ suive une distribution Gaussienne centrée de variance = $\scriptstyle{\sqrt{h^2+k^2}}$ . Généralisation : Une surface Brownienne fractionnelle d'index $α$ suit la même définition mais avec une variance = $\scriptstyle{(h^2+k^2)^\alpha}$ , dans ce cas, sa dimension de Hausdorff = $3 - α$ ^[1].

Mesuré 2.52 Amas de percolation en 3 dimensions Au seuil de percolation, l'amas 3D de percolation par invasion a une dimension fractale de 2,52 environ^[39].

Mesuré 2.66 Brocoli^[42]

2.79 Surface du cerveau humain^[43]

2,97 Surface pulmonaire Le réseau d'alvéoles pulmonaires forme une surface fractale proche de 3^[36].

Calculé 3 Corde quantique Trajectoire d'une corde quantique dont le point représentatif dérive au hasard^[44].

Notes et références

↑ ^{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m et n} Kenneth Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, John Wiley & Sons, Ltd., 1990 & 2003 (ISBN 978-0-470-84862-3), p. xxv

↑ Dimension fractale de l'attracteur de Feigenbaum

↑ The scattering from generalized Cantor fractals

↑ Tsang, K. Y., « Dimensionality of Strange Attractors Determined Analytically », dans Phys. Rev. Lett., vol. 57, 1986, p. 1390-1393

↑ Benoit Mandelbrot, Gaussian self-affinity and Fractals (ISBN 978-0-387-98993-8)

↑ Dimension fractale de l'ensemble de Julia pour c = 1/4

↑ Frontière du fractal de Rauzy

↑ L'île de Gosper sur Mathworld

↑ ^{a, b et c} Dimension fractale de la fractale du mot de Fibonacci

↑ ^{a et b} On 2-reptiles in the plane, Ngai, 1999

↑ Dimension fractale de l'ensemble de Julia z²-1

↑ Dimension fractale de la fractale Béryl pour k=1

↑ Dimension fractale de la baderne d'Apollonius

↑ Dimension de la fractale d'inversion à 5 cercles

↑ Dimension fractale du lapin de Douady

↑ ^{a et b} Dimension fractale de la courbe du dragon

↑ ^{a et b} Stephen Wolfram, Geometry of Binomial Coefficients (1984)

↑ Estimating Fractal dimension

↑ La courbe de l'"arbre des singes"

↑ P. Ramachandrarao, A. Sinha et D. Sanyal, On the fractal nature of Penrose tiling [1] [PDF]

↑ Dimension fractale de la la frontière de l'ensemble de Mandelbrot

↑ Dimension fractale de la frontière de certains ensembles de Julia

↑ Variantes 2D et 3D de la courbe de Lebesgue

↑ "Penser les mathématiques", Editions du Seuil (1982) (ISBN 2020060612)

↑ ^{a, b, c et d} polyèdres fractals sur le site de Paul Bourke

↑ Les attracteurs étranges

↑ Fractals and the Rössler attractor

↑ The fractal dimension of the Lorenz attractor, Mc Guinness (1983)

↑ M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert, The Fractal Dimension of the Apollonian Sphere Packing [2] [PDF]

↑ Extension 3D de la courbe de Lebesgue

↑ Dimension de Haudorff du Mandelbulb

↑ Peter Mörters, Yuval Peres, Oded Schramm, "Brownian Motion", Cambridge University Press, 2010

↑ Dimension fractale du chromosome humain n°22

↑ How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension, B. Mandelbrot

↑ Gregory F. Lawler, Oded Schramm, Wendelin Werner, 2000, « The Dimension of the Planar Brownian Frontier is 4/3 », 2.

↑ ^{a, b, c, d, e, f, g, h et i} Bernard Sapoval, Universalités et fractales, Flammarion, coll. « Champs », 2001 (ISBN 2-080-81466-4)

↑ Feder, J., "Fractals,", Plenum Press, New York, (1988)

↑ Hull-generating walks, Ziff, Robert M. (1989)

↑ ^{a et b} "Applications of percolation theory" par Muhammad Sahimi (1994)

↑ Basic properties of galaxy clustering in the light of recent results from the Sloan Digital Sky Survey

↑ (it) Filipponi, Introduzione alla fisica, 2005 (ISBN 8-808-07073-5)

↑ (en) Glenn Elert, « Fractal Dimension of Broccoli », The Physics Factbook. Consulté le 5 avril 2007

↑ Frank Grünberg, « Der Vater des Apfelmännchens », Technology Review, 2005. Consulté le 5 avril 2007

↑ Dimension de Hausdorff d'une corde quantique

Voir aussi

Bibliographie

Kenneth Falconer, Fractal Geometry, John Wiley & Son Ltd (mars 1990), (ISBN 0471922870)

Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman & Co (septembre 1982), (ISBN 0716711869) .

Heinz-Otto Peitgen, The Science of Fractal Images, Dietmar Saupe (éditeur), Springer Verlag (août 1988), (ISBN 0387966080)

Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere, Morgan Kaufmann; (ISBN 0120790610)

Bernard Sapoval, Universalités et fractales, , Flammarion, collection Champs (2001), (ISBN 2080814664)

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Liste en rapport avec les mathématiques

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Remarques
0 ⇒ donc pas une fractale mais dim box-counting = 1	0	Nombres rationnels	La dimension de Hausdorff des ensembles dénombrables vaut toujours zéro. Ces ensembles ne peuvent être fractals. Ajoutons que la dimension "box counting" d'un tel ensemble peut être différent s'il s'agit d'un sous-ensemble dense d'une région ouverte de R. L'ensemble des nombres rationnels a ainsi une dimension box-counting de "1" car sa clôture est R^[1].
Calculé	0.538	Attracteur de Feigenbaum	L'attracteur de Feigenbaum (entre les flèches) est l'ensemble des points générés par itérations successives de la fonction logistique pour le paramètre critique $\scriptstyle{\lambda_\infty = 3.570}$ , où le doublement de périodes est infini. Remarque : cette dimension est la même pour toute fonction différentiable et unimodale^[2].
$\textstyle{\frac {\ln(2)} {\ln(3)}}$	0,6309	Ensemble de Cantor	Construit en retirant le tiers central à chaque itération. Nulle part dense et de mesure nulle mais indénombrable. Généralisation : L'ensemble de Cantor généralisé se construit en retirant à chaque segment et à la $n e m e$ itération, le segment central de longueur $γ m$ . Sa dimension fractale vaut alors $\textstyle{-\frac{\log(2)}{\log(\frac{1-\gamma}{2})}}$ et peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 1. L'ensemble de Cantor usuel est construit avec $\scriptstyle{\gamma=1/3}$ ^[3].
$\textstyle{\frac {\log(\scriptstyle\varphi)}{\log(2)}}$	0.6942	Ensemble de Cantor asymétrique	Remarquer que la dimension n'est plus $\textstyle{\frac {\log(2)}{\log(3)}}$ ^[4]. Construit en retirant le deuxième quart à chaque itération. Nulle part dense et de mesure nulle mais indénombrable. $\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2$ (nombre d'or).
$\textstyle{\frac {\log(5)}{\log(10)}}$	0.69897	Nombres réels avec décimales paires	Similaire à un ensemble de Cantor^[1].
$\textstyle{\frac {\ln(5)} {\ln(9)}}$	0,7325	Fractale UNU	Fractale auto-descriptive construite par itérations successives du schéma suivant : u → unu (un « u ») → unuunnunu (un « u », un « n », un « u ») → etc.

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Illustration	Remarques
1	1.0000	Ensemble de Smith-Volterra-Cantor		Construit en retirant le quart, puis le seizième, le 64^e… central à chaque itération. N'est nulle part dense mais est indénombrable et a pour mesure de Lebesgue 1/2. Il a donc pour dimension 1.
$\textstyle{2+\frac {\log(1/2)} {\log(2)}}$	1.0000	Courbe de Takagi ou Blanc-manger		Définie sur l'intervalle unité par $\textstyle{f(x) = \sum_{n=0}^\infty {s(2^{n}x)\over 2^n}}$ , où $s (x)$ est la fonction "dents de scie". Cas particulier de la courbe de Takahi-Landsberg: $\textstyle{f(x) = \sum_{n=0}^\infty {w^n s(2^{n}x)}}$ avec $\scriptstyle{w = 1/2}$ . La dimension de Hausdorff vaut $2 + l o g (w) / l o g (2)$ . (Hunt cité par Mandelbrot^[5] ).
calculé	1.0812	Ensemble de Julia z² + 1/4		Ensemble de Julia pour c = 1/4^[6].
Solution s de $2 \| α \| 3 s + \| α \| 4 s = 1$	1.0933	Frontière de la Fractale de Rauzy	$Rauzy fractal.png$	Représentation géométrique du système dynamique associé à la substitution de Tribonacci: $\scriptstyle{1\mapsto12}$ , $\scriptstyle{2\mapsto13}$ et $\scriptstyle{3}\mapsto1$ ^[7].. $α$ est l'une des deux racines complexes conjuguées de $z 3 - z 2 - z - 1 = 0$ .
$\textstyle{2\frac {\ln(3)} {\ln(7)}}$	1,12915	Île de Gosper		Baptisée par Mandelbrot (1977)^[8]. Frontière de la courbe de Gosper.
Mesuré (Box counting)	1.2	Ensemble de Julia "Dendrite"		Ensemble de Julia pour c=i
$\textstyle{3\frac{\log(\varphi)}{\log \left(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)}}$	1.2083	Fractale du mot de Fibonacci à 60 °		Construite à partir du Mot de Fibonacci, avec un angle à 60°. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous ^[9]. Avec $\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).
	1.2107	Frontière du tame twindragon		Un des six 2-autopavés réguliers (peut être pavé par deux copies de lui-même, de même taille).^[10]
$\textstyle{\frac{\log(3)}{\log(1+\sqrt{2})}}$	1.2465	Frontière de la fractale du mot de Fibonacci	$Fibonacci word fractal boundary.png$	Construite à partir du Mot de Fibonacci. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous ^[9]. Avec $\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).
	1,26	Attracteur de Hénon		La carte de Hénon canonique (a = 1,4 et b = 0.3) possède δ = 1,261 ± 0,003. Différents paramètres conduisent à différentes valeurs de δ
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(3)}}$	1,2619	Courbe de Koch		En juxtaposant 3 fois cette courbe en triangle on obtient le flocon de Koch et l'anti-flocon de Koch si elle est inversée.
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(3)}}$	1,2619	Frontière de la Courbe Terdragon		L-System : similaire à la courbe du dragon avec un angle de 30°. Le Fudgeflake est construit en juxtaposant 3 segments initiaux en triangle.
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(3)}}$	1,2619	Carré de Cantor		Ensemble de Cantor en deux dimensions.
calculé	1,2683	Ensemble de Julia pour z²-1		Ensemble de Julia pour c=-1^[11].
Mesuré (box-counting)	1,3	Fractale Beryl pour k=1	$Beryl fractal.png$	Pour k=1. La fractale Béryl est définie par f(x, y)→(k(x+y), xy) avec x et y complexes et la coupe dans le plan $ν 0 = 1$ ^[12]
calculé	1,3057	Baderne d'Apollonius		Voir^[13]
calculé (box-counting)	1.328	Fractale d'inversion à 5 cercles		L'ensemble limite généré itérativement via des inversions par rapport à 5 cercles tangents. Également une baderne d'Apollonius à 4 cercles de base. Voir^[14]
calculé	1.3934	Lapin de Douady		Ensemble de Julia pour c=-0,123+0.745i^[15].
Mesuré (box counting)	1,42 +/- 0,02	Fractale de Newton	$Newton fractal.png$	Frontière triple des bassins d'attraction des 3 racines complexes de l'equation $z 3 - 1 = 0$ par la méthode de Newton.
$\textstyle{\frac {\ln(5)} {\ln(3)}}$	1,4649	Fractale de Vicsek	$Box fractal.png$	Construit en substituant itérativement chaque carré par une croix de 5 carrés.
$\textstyle{\frac {\ln(5)} {\ln(3)}}$	1,4649	Courbe de Koch quadratique (type 1)		On y retrouve le motif de la fractale box (voir ci-dessus), construit différemment.
$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(4)}}$	1,5000	Courbe de Koch quadratique (type 2)		Appelée également « saucisse de Minkowski ».
$\textstyle{2 -\frac{\log(\sqrt{2})}{\log(2)}}$ (supposé exact)	1.5000	une fonction de Weierstrass: $\textstyle{f(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac {sin(2^k x)} {\sqrt{2}^k}}$		La dimension de Hausdorff de la fonction de Weierstrass $\scriptstyle{f : [0,1] \to \mathbb{R}}$ définie par $\textstyle{f(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac {sin(b^k x)} {a^k}}$ avec $1 < a < 2$ et $b > 1$ a pour borne supérieure $\scriptstyle{2 -\log(a)/\log(b)}$ . Il est conjecturé qu'il s'agit de la valeur exacte. Le même résultat peut être établi en utilisant, à la place de la fonction sinus, d'autres fonctions périodiques comme cosinus^[1].
$\textstyle{\frac{\log\left(\frac{1+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}}{3}\right)} {\log(2)}}$	1,5236	Frontière courbe du dragon		Cf. Chang & Zhang^[16].
$\textstyle{\frac{\log\left(\frac{1+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}}{3}\right)} {\log(2)}}$	1.5236	Frontière du twindragon		Un des six 2-autopavés réguliers (peut être pavé par deux copies de lui-même, de même taille).^[10]
$\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}}$	1,5849	Arbre à trois branches		Chaque branche porte trois branches (ici 90 ° et 60°). La dimension fractale de l'arbre est celle des branches terminales.
$\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}}$	1,5849	Triangle de Sierpiński		C'est également le triangle de Pascal modulo 2.
$\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}}$	1,5849	Courbe de Sierpiński en pointe de flèche		Même limite que le triangle de Sierpiński (ci-dessus), mais obtenue par itérations d'une courbe unidimensionnelle.
$\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}}$	1,5849	Frontière de la fractale de l'équerre (T-square)	$Boundary T-Square fractal.png$
$\textstyle{\frac{\log{\varphi}}{log{\sqrt[\varphi]{\varphi}}}}$	1,61803 = $φ$	un dragon d'or		Construit avec deux homothéties de rapport $r$ et $r 2$ , avec $\scriptstyle{r = 1 / \varphi^{1/\varphi}}$ . La dimension vaut $\scriptstyle{\varphi}$ car $\scriptstyle{({r^2})^\varphi+r^\varphi = 1}$ . Avec $\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).
$1 + l o g 3 (2)$	1,6309	Triangle de Pascal modulo 3		D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est $\scriptstyle 1 + log_k(\frac{k+1}{2})$ (Cf.Stephen Wolfram^[17])
$\textstyle{\frac{\log(6)}{\log (3)}}$	1,6309	Hexagone de Sierpinski		Construit à la manière du tapis de Sierpinski, sur un réseau hexagonal, avec 6 similitudes de rapport 1/3. On y remarque l'omniprésence du flocon de Koch.
$\textstyle{3\frac{\log(\varphi)}{\log (1+\sqrt{2})}}$	1,6379	Fractale du mot de Fibonacci	$Fibonacci fractal F23 steps.png$	Fractale basée sur le mot de Fibonacci (ou séquence du Lapin) Sloane A005614. Illustration : Fractale après F₂₃ = 28657 segments^[9].. Avec $\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).
Solution de $\scriptstyle{(1/3)^s + (1/2)^s + (2/3)^s = 1}$	1.6402	Attracteur d'un IFS avec 3 similitudes de ratios 1/3, 1/2 and 2/3		Generalisation : Supposant la condition d'ensemble ouvert satisfaite, l'attracteur d'un système de fonctions itérées à $n$ simulitudes de ratio $c n$ , a pour dimension de Hausdorff s, solution de l'équation : $\scriptstyle{\sum_{k=1}^n c_k^s = 1}$ ^[1].
$1 + l o g 5 (3)$	1,6826	Triangle de Pascal modulo 5		D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est $\scriptstyle 1 + log_k(\frac{k+1}{2})$ (Cf.Stephen Wolfram^[17])
Mesuré (box-counting)	1.7	Attracteur d'Ikeda		Pour les valeurs de paramètres a=1, b=0.9, k=0.4 et p=6 dans le système itéré d'Ikeda $\scriptstyle {z_{n+1} = a + bz_n exp[i[k - p/(1 + \lfloor z_n \rfloor^2)]]}$ . Dérive d'un modélisastion d'interactions d'ondes planaires dans un laser. Différents paramètres entrainent differentes valeurs. ^[18].
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(\sqrt{5})}}$	1,7227	Fractale Pinwheel	$Pinwheel fractal.png$	Construite à partir du pavage "pinwheel" de John Conway.
$\textstyle{\frac {\ln(7)} {\ln(3)}}$	1,7712	Flocon hexagonal		Construit en substituant itérativement chaque hexagone par un flocon de 7 hexagones. Sa frontière est le flocon de Koch. Contient une infinité de flocons de Koch (en positif comme en négatif).
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2(1+\cos(85^\circ))}}$	1,7848	Courbe de Koch à 85 °, fractale de Cesàro		Généralisation de la courbe de Koch basée sur un angle a choisi entre 0 et 90°. La dimension fractale vaut alors $\scriptstyle \frac{\ln(N)}{\ln(2(1+cos(a))}$ . La fractale de Cesàro est basée sur ce motif.
$\textstyle{\frac{\log{(3^{0.63}+2^{0.63})}} {\log{2}}}$	1.8272	Une fractale auto-affine		Construite itérativement à partir d'une grille $\scriptstyle{p \times q}$ sur un carré, avec $\scriptstyle{p \le q}$ . Sa dimension de Hausdorff égale $\scriptstyle{\frac{\log{\left (\sum_{k=1}^p n_k^a \right )}} {\log{p}}}$ ^[1] avec $\scriptstyle{a=\frac{\log{ p}}{log{ q}}}$ et $n k$ le nombre d'éléments dans la colonne k. La Dimension de Minkowski–Bouligand (box counting) donne une formule différente, donc une valeur souvent différente. Contrairement aux fractales auto-similaires, la dimension de Hausdorff des fractales auto-affines dépend de la position des éléments itérés et il n'existe pas de formule simple pour le cas général.
$\textstyle{\frac {\ln(6)} {\ln(1+\phi)}}$	1,8617	Flocon pentagonal (pentaflake)		Construit en substituant itérativement chaque pentagone par un flocon de 6 pentagones. Ici, $ϕ$ est le nombre d'or et vaut $\scriptstyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
solution de $\scriptstyle{6(1/3)^s+5{(1/3\sqrt{3})}^s=1}$	1.8687	L'"arbre des singes"		Cette courbe apparaît sous ce nom dans "Fractal geometry of Nature" (1983) de Benoit Mandelbrot. Elle est basée sur 6 homothéties de rapport $1 / 3$ et 5 homothéties de rapport $\scriptstyle{1/{3\sqrt{3}}}$ ^[19].
$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(3)}}$	1,8928	Tapis de Sierpiński
$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(3)}}$	1,8928	Cube de Cantor		Ensemble de Cantor en trois dimensions.
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(3)}+\frac {\ln(2)} {\ln(3)}=\frac {\ln(8)} {\ln(3)}}$	1,8928	Produit cartésien de la Courbe de von Koch et de l'ensemble de Cantor		Généralisation : Soit FxG, le produit cartésien de deux ensembles fractals F et G. Alors $D i m H (F x G) = D i m H (F) + D i m H (G)$ .^[1]
Estimé	1,9340	Frontière de la fractale de Lévy		Estimé par Duvall et Keesling (1999). La fractale de Lévy en elle-même a pour dimension de Hausdorff 2.
	1,974	Pavage de Penrose		Cf. Ramachandrarao, Sinha & Sanyal^[20]

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Illustration	Remarques
$2$	2	Frontière de l'ensemble de Mandelbrot		La frontière a la même dimension que l'ensemble^[21]..
$2$	2	certains ensembles de Julia		Pour des valeurs de c déterminées (sur la frontière de l'ensemble de Mandelbrot), l'ensemble de Julia a pour dimension 2^[22]..
$2$	2	Courbe de Sierpiński		Toute courbe remplissant l'espace possède une dimension de Hausdorff δ = 2.
$2$	2	Courbe de Hilbert		Peut être étendue à trois dimensions.
$2$	2	Courbe de Peano		et une famille de courbes de construction similaire, dont les courbes de Wunderlich.
$2$	2	Courbe de Moore		Peut être étendue à 3 dimensions.
$2$	2	Courbe de Lebesgue		Contrairement aux courbes ci-dessus, celle-ci est presque partout différentiable. Un deuxième type de courbe 2D a également été défini. Cette courbe peut être étendue en 3D avec une dimension fractale de 3^[23]..
$\textstyle{\frac {\ln(2)} {\ln(\sqrt{2})}}$	2	Courbe du dragon		Sa frontière a une dimension fractale de 1,5236 (Cf.Chang & Zhang^[16])
	2	Courbe "Terdragon"		L-System : F→ F+F-F ; angle=120°.
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}}$	2	Courbe de Peano-Gosper		Sa frontière est l'île de Gosper.
Solution de $\scriptstyle{7({1/3})^s+6({1/3\sqrt{3}})^s=1}$	2	Courbe remplissant le flocon de Koch		Proposée par Mandelbrot en 1982^[24], elle remplit le flocon de Koch. Elle est basée sur 7 similitudes de rapport 1/3 et 6 similitudes de rapport $\scriptstyle{1/3\sqrt{3}}$ .
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}}$	2	Tétraèdre de Sierpinski		Conséquence de sa dimension 2, sa surface reste inchangée d'itération en itération, et ce, jusqu'à l'infini. ^[25]
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}}$	2	Fractale H	$H fractal2.png$	Également, l'arbre de Mandelbrot, qui a une structure similaire.
$\textstyle{\frac {\ln(1/2)} {\ln(\sqrt{2}/2)}}$	2	Arbre de Pythagore		Chaque carré génère deux carrés de côté réduit de racine(2)/2.
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}}$	2	Fractale en croix grecque	$Greek cross fractal stage 4.png$	Chaque segment est substitué par une croix formée de quatre segments.

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Illustration	Remarques
Mesuré	2.01 +-0.01	Attracteur de Rössler		La dimension fractale de l'attracteur de Rössler est légèrement supérieure à 2. Pour a=0,1, b=0,1, et c=14 elle est estimée entre 2,01 et 2,02. ^[26]^,^[27].
Mesuré	2.06 +-0.01	Attracteur étrange de Lorenz		Pour les paramètres de l'attracteur: v=40, $σ$ =16 et b=4^[28].
$\textstyle{\frac {\log(5)} {\log(2)}}$	2,3219	Pyramide fractale		Chaque pyramide est substituée par 5 pyramides. Ne pas confondre avec le tétraèdre de Sierpinski, il s'agit de pyramides à base carrée.
$\textstyle{\frac {\ln(20)} {\ln(2+\phi)}}$	2,3296	Dodécaèdre fractal	$Dodecaedron fractal.jpg$	Chaque dodécaèdre est substitué par 20 dodécaèdres.^[25]
$\textstyle{\frac {\ln(13)} {\ln(3)}}$	2,33	Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 1		Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 1 (la figure illustre la deuxième itération).
	2,47	Interstices des sphères d'Apollonius		Baderne d'Apollonius en trois dimensions. Modélise la mie de pain ou l'éponge. Dimension calculée par M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert^[29].
$\textstyle{\frac {\ln(32)} {\ln(4)}}$	2,50	Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 2		Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 2 (la figure illustre la deuxième itération).
$\textstyle{\frac {\ln(16)} {\ln(3)}}$	2,5237	Hypercube de Cantor	pas de représentation possible	Ensemble de Cantor en 4 dimensions. D'une manière générale, dans un espace de dimension n, l'ensemble de Cantor a une dimension fractale égale à $\scriptstyle n\frac{\ln(2)}{\ln(3)}$
$\textstyle{\frac {\ln(12)} {\ln(1+\phi)}}$	2,5819	Icosaèdre fractal	$Icosaedron fractal.jpg$	Chaque icosaèdre est substitué par 12 icosaèdres.^[25]
$\textstyle{\frac {\ln(6)} {\ln(2)}}$	2,5849	Octaèdre fractal	$Octaedron fractal.jpg$	Chaque octaèdre est substitué par 6 octaèdres.^[25]
$\textstyle{\frac {\log(6)} {\log(2)}}$	2.5849	Surface de Koch		Chaque triangle équilatéral est remplacé par 6 triangles deux fois plus petits. Extension en 2 dimensions de la courbe de Koch.
$\textstyle{\frac {\ln(6)} {\ln(2)}}$	2,59	Fractale en croix grecque en trois dimensions		Chaque segment est substitué par une croix en trois dimensions formée de 6 segments. Extension en trois dimensions de la croix en deux dimensions.
$\textstyle{\frac {\ln(20)} {\ln(3)}}$	2,7268	Éponge de Menger		Sa surface a une dimension fractale de $\scriptstyle \frac{\ln(12)}{\ln(3)} = 2,2618$ .
$\textstyle{\frac {\log(7)} {\log(2)}}$	2,8073	Heptaèdre fractal		Construit avec 7 homothéties de rapport 1/2. Ses faces sont constituées de triangles de Sierpinski. Son volume tend vers zéro.

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Remarques
$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(2)}}$	3	Courbe de Hilbert en trois dimensions	Courbe de Hilbert étendue à trois dimensions
$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(2)}}$	3	Courbe de Lebesgue en trois dimensions	Courbe de Lebesgue étendue à trois dimensions^[30]..
$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(2)}}$	3	Courbe de Moore en trois dimensions	Courbe de Moore étendue à trois dimensions.
$\textstyle{3}$	3	Mandelbulb	Extension de l'ensemble de Mandelbrot (puissance 8) à 3 dimensions. ^[31]

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Illustration	Remarques
1/2	0.5	Zeros du graphe d'une fonction brownienne (Processus de Wiener)		Les zéros du graphe d'une fonction brownienne constituent un ensemble nulle part dense, de mesure de Lebesgue 0, avec une structure fractale^[1]^,^[32].
Solution de $E(C_1^s + C_2^s)=1$ avec $E (C 1) = 0,5$ et $E (C 2) = 0,3$	0.7499	Ensemble de Cantor aléatoire 50% / 30%		A chaque itération, la longueur de l'intervalle de gauche est définie par une variable aléatoire $C 1$ : un pourcentage variable de la longueur du segment d'origine. Idem pour l'intervalle de droite, avec pour autre variable aléatoire $C 2$ . Sa dimension de Hausdorff $s$ satisfait alors l'équation : $\scriptstyle{E(C_1^s + C_2^s)=1}$ . ( $E (X)$ est l'espérance mathématique de $X$ )^[1].
Mesuré	1,05	Chromosome humain n^o 22		Voir référence pour les détails de la méthode de calcul^[33].
Solution de $s + 1 = 12 * 2 - (s + 1) - 6 * 3 - (s + 1)$	1.144…	Courbe de Koch avec intervalle aléatoire		La longueur de l'intervalle médian est une variable aléatoire à distribution uniforme dans (0;1/3)^[1].
mesuré	1,24	Côte de Grande-Bretagne	$Britain-fractal-coastline-combined.jpg$	Dimension fractale de la côte ouest de Grande-Bretagne, mesurée par Lewis Fry Richardson et cité par Benoît Mandelbrot^[34].
$\textstyle{\frac {\log(4)} {\log(3)}}$	1.2619	Courbe de Koch avec orientation aléatoire		On introduit ici un élément de hasard qui n'affecte pas la dimension en choisissant aléatoirement, à chaque itération, de placer le triangle équilatéral au-dessus ou en dessous de la courbe^[1].
$\textstyle{\frac {4}{3}}$	1,33	Frontière du mouvement brownien^[35]
$\textstyle{\frac {4}{3}}$	1,33	Polymère en deux dimensions		Similaire au mouvement brownien sans auto-intersection^[36].
$\textstyle{\frac {4}{3}}$	1,33	Front de percolation, front de corrosion en deux dimensions		Dimension fractale du front de percolation par invasion au seuil de percolation (59,3%). C'est également la dimension fractale du front de corrosion^[36].
	1,40	Agrégat d'agrégats en deux dimensions		Des agrégats se combinent progressivement en un agrégat unique de dimension 1,4^[36].
$\textstyle{\textstyle{2-\frac{1}{2}}}$	1.5	Graphe d'une fonction Brownienne (Processus de Wiener)		Graphe d'une fonction $f$ telle que, pour tout couple de réels positifs $x$ et $x + h$ , la différence de leurs images $f (x + h) - f (x)$ suit une distribution gaussienne centrée de variance = $h$ . Généralisation : Une fonction fractionnelle Brownienne d'index $α$ suit la même définition mais avec une variance = $h 2α$ , dans ce cas, la dimension de Hausdorff de son graphe = $2 - α$ ^[1].
Mesuré	1,52	Côte de Norvège		Cf J. Feder^[37].
Mesuré	1,55	Marche aléatoire sans intersection		Marche aléatoire dans un réseau carré sans auto-intersection, avec algorithme de retour arrière pour évitement des impasses.
$\textstyle{\frac {5} {3}}$	1,66	Polymère en trois dimensions		Similaire au mouvement brownien dans un réseau cubique, mais sans auto-intersection^[36].
	1,70	Agrégat par diffusion en deux dimensions		En deux dimensions, des particules forment progressivement par diffusion un agrégat de dimension 1,70^[36].
$\textstyle{\frac {\log(9*0.75)} {\log(3)}}$	1.7381	Percolation fractale à 75% de probabilité		Le modèle de percolation fractale est construit par le remplacement progressif de chaque carré par une grille de 3x3 dans laquelle est placée une collection aléatoire de sous-carrés, chaque sous-carré ayant une probabilité p d'être retenu. La dimension de Hausdorff "presque certaine" égale $\textstyle{\frac {\log(9p)} {\log(3)}}$ ^[1].
7/4	1,75	Frontière d'un amas de percolation en deux dimensions		La frontière d'un amas de percolation peut également être simulée par une marche générant spécifiquement cette frontière ou en utilisant l'évolution de Schramm-Loewner (en)^[38].
$\textstyle{\frac {91} {48}}$	1,8958	Amas de percolation en deux dimensions		Sous le seuil de percolation (59,3%), l'amas de percolation par invasion couvre une surface de dimension fractale 91/48^[36]^,^[39]. Au-delà du seuil, l'amas est infini et 91/48 devient la dimension fractale des « clairières ».
$\textstyle{\frac {\ln(2)} {\ln(\sqrt{2})}}$	2	Mouvement brownien		Modélisé par la marche aléatoire. La dimension de Hausdorff reste égale 2 dans toutes les dimensions supérieures ou égales à 2.
Mesuré	Environ 2	Distribution des amas de galaxies		Mesuré à partir des résultats 2005 du Sloan Digital Sky Survey. Voir référence^[40]
$\textstyle{\frac {\ln(13)} {\ln(3)}}$	2,33	Surface du chou-fleur		Chaque branche porte environ 13 branches 3 fois plus courtes.
	2,4 ± 0,2	Boule de papier froissé		Le diamètre de la boule de papier froissé, élevé à une puissance non entière comprise entre 2 et 3 est approximativement proportionnel à la surface de papier utilisé^[41]. Les plis se forment à toutes les échelles.
	2,50	Agrégat par diffusion en trois dimensions		En trois dimensions, des particules forment progressivement par diffusion un agrégat de dimension 2,5^[36].
	2.50	Figure de Lichtenberg		Les décharges electriques arborescentes, dites figures de Lichtenberg, croissent à la manière d'une diffusion par agrégation^[36].
$\textstyle{3-\frac{1}{2}}$	2.5	surface Brownienne		Une fonction $\scriptstyle{f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}}$ , donne l'altitude d'un point $(x, y)$ telle que, pour deux incréments positifs $h$ et $k$ , $\scriptstyle{f(x+h,y+k)-f(x,y)}$ suive une distribution Gaussienne centrée de variance = $\scriptstyle{\sqrt{h^2+k^2}}$ . Généralisation : Une surface Brownienne fractionnelle d'index $α$ suit la même définition mais avec une variance = $\scriptstyle{(h^2+k^2)^\alpha}$ , dans ce cas, sa dimension de Hausdorff = $3 - α$ ^[1].
Mesuré	2.52	Amas de percolation en 3 dimensions		Au seuil de percolation, l'amas 3D de percolation par invasion a une dimension fractale de 2,52 environ^[39].
Mesuré	2.66	Brocoli^[42]
	2.79	Surface du cerveau humain^[43]
	2,97	Surface pulmonaire		Le réseau d'alvéoles pulmonaires forme une surface fractale proche de 3^[36].
Calculé	3	Corde quantique		Trajectoire d'une corde quantique dont le point représentatif dérive au hasard^[44].

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Liste de fractales par dimension de Hausdorff de Wikipédia en français (auteurs)

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Fractales déterministes

δ < 1

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Fractales aléatoires et naturelles

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