Courbe de Gosper

Courbe de Gosper à la 4ème itération

La Courbe de Gosper, baptisée d'après son découvreur Bill Gosper, est une courbe de Peano remplissant le plan. Il s'agit d'une courbe fractale, voisine, dans sa construction, à la courbe du dragon ou la courbe de Hilbert.

Construction

La courbe de Gosper est obtenue par un processus itératif consistant à remplacer, à chaque itération, chaque segment par 7 segments d'une longueur réduite de 1/√7.

Première itération	Quatrième itération.

La courbe ayant ainsi 7 similitudes internes de rapport 1/√7, sa dimension fractale tend vers 2, elle pave donc le plan. A l'infini, l'ensemble rempli par la courbe est appelée île de Gosper.

L'île de Gosper

Le frontière de l'île de Gosper peut également être obtenue, à partir d'un hexagone, de manière itérative comme suit.

A chaque itération, chaque segment est substitué par 3 segments √7 fois plus courts. La dimension de Hausdorff de cette frontière vaut donc = 1,12915.

Sept copies de l'île de Gosper juxtaposées forment une île de Gosper √7 fois plus grande, comme illustré ci-dessous. Le pavage est non seulement possible à l'infini mais également à chaque niveau d'itération.

Un programme Logo

Un programme Logo pour tracer la courbe de Gosper:

to rg :st :ln
make "st :st - 1
make "ln :ln / 2.6457
if :st > 0 [rg :st :ln rt 60 gl :st :ln  rt 120 gl :st :ln lt 60 rg :st :ln lt 120 rg :st :ln rg :st :ln lt 60 gl :st :ln rt 60]
if :st = 0 [fd :ln rt 60 fd :ln rt 120 fd :ln lt 60 fd :ln lt 120 fd :ln fd :ln lt 60 fd :ln rt 60]
end

to gl :st :ln
make "st :st - 1
make "ln :ln / 2.6457
if :st > 0 [lt 60 rg :st :ln rt 60 gl :st :ln gl :st :ln rt 120 gl :st :ln rt 60 rg :st :ln lt 120 rg :st :ln lt 60 gl :st :ln]
if :st = 0 [lt 60 fd :ln rt 60 fd :ln fd :ln rt 120 fd :ln rt 60 fd :ln lt 120 fd :ln lt 60 fd :ln]
end

Le programme peut être invoqué avec, par exemple, rg 4 300, ou gl 4 300. La constante 2.6457 est l'approximation numérique de √7.

Voir aussi

• Liste de fractales

Liens externes

• http://www.mathcurve.com/fractals/gosper/gosper.shtml La courbe de Gosper sur mathcurve.com.
• http://mathworld.wolfram.com/GosperIsland.html La courbe de Gosper sur Mathworld.
• http://kilin.u-shizuoka-ken.ac.jp/museum/gosperex/343-024.pdf

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