Courbe De Peano

Courbe De Peano

Courbe de Peano

Quatre itérations de la courbe de Peano

Une courbe de Peano est une fonction continue sur l'intervalle [0, 1], surjective dans le carré [0, 1] x [0, 1], c'est-à-dire que la courbe passe par chaque point du carré. Elle est une fractale : bien que formée d'une simple ligne, elle est de dimension 2. Une courbe de Peano est généralement décrite comme limite d'une suite de courbes. Cette courbe est nommée en l'honneur de Giuseppe Peano qui fut le premier à la décrire.

Les travaux de Hilbert ont ainsi donné naissance à une famille de courbes nommées courbes de Peano-Hilbert.

Hilbert curve.png Six itérations de la courbe de Hilbert.

Remarque. La courbe de Peano est 1/2-höldérienne. Néanmoins, il est impossible d'obtenir une application a-höldérienne surjective de [0,1] sur [0,1]^2 pour a>1/2. La preuve est mentionnée dans l'article Condition de Hölder.

Citations

« J'ai la plus grande estime pour M. Peano, qui a fait de très jolies choses (par exemple sa courbe qui remplit toute une aire), mais enfin, il n'est allé ni plus loin, ni plus haut, ni plus vite que la plupart des mathématiciens aptères et il aurait pu faire tout aussi bien avec ses jambes ». (Henri Poincaré, Science et méthode).

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