Fractale du mot de Fibonacci

Fractale du mot de Fibonacci
Les trois types de courbes fractales du mot de Fibonacci.

La fractale du mot de Fibonacci est une courbe fractale définie dans le plan à partir du mot de Fibonacci.

Sommaire

Définition

Les premières itérations

Cette courbe se construit itérativement en appliquant au mot de Fibonacci la règle OEDR (Odd-Even Drawing Rule). Pour chaque lettre en position k:

  • tracer un segment
  • et si "0" alors faire quart de tour:
    • à droite si k est pair
    • à gauche si k est impair

Pour un mot de Fibonacci de longueur Fn, une courbe de Fn segments est ainsi associée. Selon la valeur de n, la courbe se présente sous trois aspects différents: F3k, F3k + 1. et F3k + 2.

Propriétés[1].

Les nombres de Fibonacci dans la fractale
  • La courbe Fn, à Fn segments, présente Fn − 1 angles droits et Fn − 2 angles plats.
  • La courbe ne présente jamais d'auto-intersection, ni de points doubles. A la limite, elle présente une infinité de points asymptotiquement proches.
  • La courbe présente des autosimilarités à toutes les échelles. Le facteur de réduction vaut \scriptstyle{1+\sqrt{2}}. Ce nombre, appelé également nombre d'argent \scriptstyle{\delta_{Ag}}, est présent dans nombre des propriétés géométriques évoquées ci-dessous.
  • Le nombre de copies autosimilaires au degré n est un nombre de Fibonacci - 1 (plus précisément F3n + 3 − 1).
  • La courbe délimite une infinité de structures carrées de taille décroissante, dans un rapport de \scriptstyle{1+\sqrt{2}}].
  • Ce nombre de carrés est un nombre de Fibonacci.
  • La courbe peut également être construite de diverses manières (voir galerie):
  • La dimension de Hausdorff de la courbe vaut \scriptstyle{3\frac{\log{\phi}}{{\log({1+\sqrt{2}})}}= 1,6379}, avec \scriptstyle{\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}, le nombre d'or.
  • En généralisant à un angle α quelconque entre 0 et π / 2, sa dimension de Hausdorff vaut \scriptstyle{3\frac{\log{\phi}}{\log({1+a+\sqrt{(1+a)^2+1}})}}, avec a = cosα.
  • La dimension de Hausdorff de sa frontière vaut \scriptstyle{\frac{\log{3}}{{\log({1+\sqrt{2}})}}= 1,2465}.
  • Interchanger le rôle de "0" et de "1" dans le mot de Fibonacci, ou dans la règle, génère la même courbe, mais orientée à 45°
  • À partir du mot de Fibonacci, on peut définir le "mot dense de Fibonacci", sur un alphabet de 3 lettres: 102210221102110211022102211021102110221022102211021... (référencé A143667 dans l'OEIS). L'application, sur ce mot, d'une règle de traçage "naturelle" permet de définir un ensemble infini de variantes de la courbe, parmi lesquelles:
    • la variante "diagonale"
    • la variante "svastika"
    • la variante "compacte"


  • On conjecture que le motif de la fractale du mot de Fibonacci se retrouve pour tout mot sturmien dont la séquence directive (donc expansion de la pente en fractions continues) se termine par une suite infinie de "1".

Galerie

  • Courbe après \textstyle{F_{23}} itérations.

  • Auto-similarités

  • Dimensions

  • Construction par juxtaposition (1)

  • Construction par juxtaposition (2)

  • Fibonacci word fractalX.jpg

  • Mode de construction par suppression itérée de carrés.

  • Mode de construction itérée par des octogones.

  • Construction itérative à partir de carrés.

  • Avec un angle de 60°.

  • Inversion des rôles de "0" et de "1".

  • Variantes générés à partir du mot dense de Fibonacci.

  • Variante "compacte"

  • Variante "svastika"

  • Variante "diagonale"

  • Variante "pi/8"

  • Vue d'artiste (Samuel Monnier).

Tuile de Fibonacci

Pavage (imparfait) par des tuiles de Fibonacci. L'espace non couvert tend vers zéro à l'infini
Pavage parfait par des flocons de Fibonacci

La juxtaposition de 4 courbes de Fibonacci de type F3k permet la construction d'une courbe fermée délimitant une surface connexe d'aire non nulle. Cette figure est appelée "tuile de Fibonacci".

  • La tuile de Fibonacci pave presque le plan. Elle laisse un carré libre dont la surface tend vers zéro à mesure que k tend vers l'infini. A la limite, la tuile de Fibonacci pave le plan.
  • Si la tuile de Fibonacci s'inscrit dans un carré de côté 1, alors son aire tend vers \scriptstyle{2-\sqrt{2} = 0.5857}.

Flocon de Fibonacci

Le flocon de Fibonacci est une tuile de Fibonacci définie selon la règle suivante[2] :

  • \scriptstyle{q_n = q_{n-1}q_{n-2}} si \scriptstyle{n\equiv2 \pmod{3}}
  • \scriptstyle{q_n = q_{n-1}\overline{q_{n-2}}} sinon.

Avec q_0=\epsilon et q1 = D, G = "tourne à gauche" et D = "tourne à droite", et \scriptstyle{\overline{D} = G},

Quelques propriétés remarquables[2],[3] :

  • C'est la tuile de Fibonacci associée à la variante "diagonale" définie précédemment.
  • Il pave le plan à toute itération (à tout ordre)
  • Il pave le plan par translation de deux façons différentes, il s'agit donc d'un double pseudo-carré.
  • son périmètre, à l'ordre n, vaut 4F(3n + 1). F(n) étant le nième nombre de Fibonacci.
  • son aire, à l'ordre n, suit les index successifs de rang impair de la suite de Pell (définie par P(n) = 2P(n − 1) + P(n − 2)).

Références et bibliographie

Voir aussi

Liens externes

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