- Fractale de Rauzy
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La fractale de Rauzy (ou, au masculin, "le fractal de Rauzy") est une figure fractale associée à la substitution de Tribonacci : s(1) = 12, s(2) = 13, s(3) = 1. Cette étude a été réalisée en 1981 par Gérard Rauzy[1], dans l'objectif de généraliser les propriétés dynamiques de la substitution de Fibonacci. Cette fractale se généralise à d'autres substitutions à trois lettres, générant d'autres figures aux propriétés intéressantes (pavage périodique du plan, auto-similarité en 3 parties homothétiques...).
Sommaire
Définitions
Le mot infini de tribonacci se construit d'après la substitution dite de Tribonacci : s(1) = 12, s(2) = 13, s(3) = 1. À partir de 1, les mots de Tribonacci successifs sont donc :
- t0 = 1
- t1 = 12
- t2 = 1213
- t3 = 1213121
- t4 = 1213121121312
On montre que, pour n > 2, tn = tn − 1tn − 2tn − 3, d'où le nom "Tribonacci".
Considérons, maintenant, l'espace R3 muni d'un référentiel orthonormé. La fractale de Rauzy se construit, alors, comme suit:
1) Interprêter la suite des lettres du mot infini de Tribonacci comme une suite de vecteurs unitaires de l'espace selon la règle: (1 = direction x, 2 = direction y, 3 = direction z).
2) Construire alors un "escalier" en traçant les points atteints par cette séquence de vecteurs. Par exemple, les premiers points sont :
etc...Chaque point peut être coloré selon la valeur de la lettre correspondante afin de mettre en lumière l'auto-similarité.
3) Projeter alors ces points sur l'espace contractant (plan orthogonal à la direction générale de propagation de ces points, aucun des points projetés ne s'échappe à l'infini). La fractale de Rauzy est la clôture de cet ensemble.
Propriétés
- Peut être recouverte par trois copies d'elle-même, réduites de facteurs : k, k2 et k3 avec k solution de k3 + k2 + k − 1 = 0: .
- Stable par échange de morceaux. On obtient la même figure chageant les trois copies de place.
- Connexe et simplement connexe. N'a pas de trou.
- Pavage périodique par translation: Peut paver le plan par translation, de manière périodique.
- La matrice de la substitution de Tribonacci a pour polynôme caractéristique x3 − x2 − x − 1, ses valeurs propres étant un réel β = 1,8392, appelé constante de Tribonacci, un nombre de Pisot, et deux complexes conjugués α et avec .
- Sa frontière est fractale et la dimension de Hausdorff de cette frontière égale 1,0933. (solution de 2 | α | 3s + | α | 4s = 1 [2].
Variantes et généralisation
Pour toute substitution de type Pisot et unimodulaire, qui vérifie, en plus, une condition particulière dite de coïncidences (toujours vérifiée, semble-t-il), on peut construire un ensemble du même genre appelé fractal de Rauzy de la substitution. Ils sont tous auto-similaires et engendrent, pour les exemples ci-dessous, un pavage périodique de l'espace.
Références et bibliographie
Voir aussi
Liens externes
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