Fractale de Rauzy

Fractale de Rauzy

La fractale de Rauzy (ou, au masculin, "le fractal de Rauzy") est une figure fractale associée à la substitution de Tribonacci : s(1) = 12, s(2) = 13, s(3) = 1. Cette étude a été réalisée en 1981 par Gérard Rauzy^[1], dans l'objectif de généraliser les propriétés dynamiques de la substitution de Fibonacci. Cette fractale se généralise à d'autres substitutions à trois lettres, générant d'autres figures aux propriétés intéressantes (pavage périodique du plan, auto-similarité en 3 parties homothétiques...).

Définitions

Le mot infini de tribonacci se construit d'après la substitution dite de Tribonacci : s(1) = 12, s(2) = 13, s(3) = 1. À partir de 1, les mots de Tribonacci successifs sont donc :

• t₀ = 1
• t₁ = 12
• t₂ = 1213
• t₃ = 1213121
• t₄ = 1213121121312

On montre que, pour n > 2, t_n = t_{n − 1}t_{n − 2}t_{n − 3}, d'où le nom "Tribonacci".

Construction

Considérons, maintenant, l'espace R³ muni d'un référentiel orthonormé. La fractale de Rauzy se construit, alors, comme suit:

1) Interprêter la suite des lettres du mot infini de Tribonacci comme une suite de vecteurs unitaires de l'espace selon la règle: (1 = direction x, 2 = direction y, 3 = direction z).

2) Construire alors un "escalier" en traçant les points atteints par cette séquence de vecteurs. Par exemple, les premiers points sont :

etc...Chaque point peut être coloré selon la valeur de la lettre correspondante afin de mettre en lumière l'auto-similarité.

3) Projeter alors ces points sur l'espace contractant (plan orthogonal à la direction générale de propagation de ces points, aucun des points projetés ne s'échappe à l'infini). La fractale de Rauzy est la clôture de cet ensemble.

Propriétés

• Peut être recouverte par trois copies d'elle-même, réduites de facteurs : k, k² et k³ avec k solution de k³ + k² + k − 1 = 0: .
• Stable par échange de morceaux. On obtient la même figure chageant les trois copies de place.
• Connexe et simplement connexe. N'a pas de trou.
• Pavage périodique par translation: Peut paver le plan par translation, de manière périodique.
• La matrice de la substitution de Tribonacci a pour polynôme caractéristique x³ − x² − x − 1, ses valeurs propres étant un réel β = 1,8392, appelé constante de Tribonacci, un nombre de Pisot, et deux complexes conjugués α et avec .
• Sa frontière est fractale et la dimension de Hausdorff de cette frontière égale 1,0933. (solution de 2 | α | ^3s + | α | ^4s = 1 ^[2].

Variantes et généralisation

Pour toute substitution de type Pisot et unimodulaire, qui vérifie, en plus, une condition particulière dite de coïncidences (toujours vérifiée, semble-t-il), on peut construire un ensemble du même genre appelé fractal de Rauzy de la substitution. Ils sont tous auto-similaires et engendrent, pour les exemples ci-dessous, un pavage périodique de l'espace.

• 

  s(1)=12, s(2)=31, s(3)=1

• 

  s(1)=12, s(2)=23, s(3)=312

• 

  s(1)=123, s(2)=1, s(3)=31

• 

  s(1)=123, s(2)=1, s(3)=1132

Références et bibliographie

Voir aussi

• Liste de fractales
• Suite de Tribonacci

Liens externes

• Fractal de Rauzy, introduction et propriétés, par Anne Siegel
• Propriétés topologiques des fractals de Rauzy
• Géométrie des substitutions, Pierre Arnoux et Anne Siegel, 2004

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