Inégalité de Minkowski

Inégalité de Minkowski

En mathématiques, l'inégalité de Minkowski, ainsi nommée en l'honneur de Hermann Minkowski, est l’inégalité triangulaire pour la norme des espaces Lp, établissant ainsi que ce sont des espaces vectoriels normés.

Elle concerne également la norme des espaces de suites \ell^p.

Énoncé

Soient (S,\mathcal{A},\mu) un espace mesuré, p\in[1,+\infty[ et deux fonctions f, g \in L_p(S). Alors

||f+g||_p \le ||f||_p + ||g||_p,

c'est-à-dire

\left(\int_S|f+g|^p\mathrm{d}\mu\right)^{\frac 1 p} \leq\left(\int_S|f|^p\mathrm{d}\mu\right)^{\frac 1 p}+\left(\int_S|g|^p\mathrm{d}\mu\right)^{\frac 1 p}.

De plus, il y a égalité si et seulement si f et g sont colinéaires presque partout (pp), c'est-à-dire s’il existe α et β non simultanément nuls tels que \alpha f + \beta g = 0 \ pp.

Démonstration

L_p(S) \ étant un espace vectoriel, f+g \in L_p(S). Si ||f+g||_p = 0 \ , l'inégalité est vérifiée

Sinon, en appliquant successivement l’inégalité triangulaire dans \R et l’inégalité de Hölder (avec q = p / (p − 1)), il vient

\begin{align} \|f + g\|_p^p &= \int_S |f + g|^p \mathrm{d}\mu\\ &\le \int_S (|f| + |g|)|f + g|^{p-1} \mathrm{d}\mu\\ & =\int |f||f + g|^{p-1} \mathrm{d}\mu+\int |g||f + g|^{p-1} \mathrm{d}\mu\\ &\leq \left( \left(\int |f|^p \mathrm{d}\mu\right)^{1/p} + \left (\int |g|^p \mathrm{d}\mu\right)^{1/p} \right) \left(\int |f + g|^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)} \mathrm{d}\mu \right)^{1-\frac{1}{p}}\\ &= (\|f\|_p + \|g\|_p)\frac{\|f + g\|_p^p}{\|f + g\|_p}\end{align}

d’où l'inégalité recherchée.


Pour qu’il y ait égalité, il faut et il suffit que | f | p, respectivement | g | p soient pp-colinéaires avec | f + g | p. Cette condition est nécessaire et suffisante à la fois pour l’égalité de Hölder et l’égalité triangulaire dans \R.

Cas particuliers

À l'instar des inégalités de Hölder, les inégalités de Minkowski se vérifient dans le cas particulier de vecteurs dans \R^n (ou \C^n) et même de séries (n = ∞) :

\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}

Ces inégalités se déduisent de la précédente en utilisant une mesure de dénombrement.

Voir aussi

v · Algèbre bilinéaire
Espace euclidien · Espace hermitien · Forme bilinéaire · Forme quadratique · Forme sesquilinéaire · Orthogonalité · Base orthonormale · Projection orthogonale · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Inégalité de Minkowski · Matrice positive · Matrice définie positive · Décomposition QR · Déterminant de Gram · Espace de Hilbert · Base de Hilbert · Théorème spectral · Théorème de Stampacchia · Théorème de Lax-Milgram · Théorème de représentation de Riesz

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Inégalité de Minkowski de Wikipédia en français (auteurs)

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