- Inégalité de Minkowski
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En mathématiques, l'inégalité de Minkowski, ainsi nommée en l'honneur de Hermann Minkowski, est l’inégalité triangulaire pour la norme des espaces Lp, établissant ainsi que ce sont des espaces vectoriels normés.
Elle concerne également la norme des espaces de suites .
Énoncé
Soient un espace mesuré, et deux fonctions . Alors
c'est-à-dire
De plus, il y a égalité si et seulement si f et g sont colinéaires presque partout (pp), c'est-à-dire s’il existe α et β non simultanément nuls tels que pp.
Démonstrationétant un espace vectoriel, . Si , l'inégalité est vérifiée
Sinon, en appliquant successivement l’inégalité triangulaire dans et l’inégalité de Hölder (avec q = p / (p − 1)), il vient
d’où l'inégalité recherchée.
Pour qu’il y ait égalité, il faut et il suffit que | f | p, respectivement | g | p soient pp-colinéaires avec | f + g | p. Cette condition est nécessaire et suffisante à la fois pour l’égalité de Hölder et l’égalité triangulaire dans .Cas particuliers
À l'instar des inégalités de Hölder, les inégalités de Minkowski se vérifient dans le cas particulier de vecteurs dans (ou ) et même de séries (n = ∞) :
Ces inégalités se déduisent de la précédente en utilisant une mesure de dénombrement.
Voir aussi
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