Inégalité de Nesbitt

Inégalité de Nesbitt: Sommaire

1 Énoncé

2 Démonstration

3 Bibliographie

4 Pages liées

Énoncé

L'inégalité de Nesbitt peut s'énoncer ainsi :

Inégalité de Nesbitt — Soient $a, b, c > 0.$ Alors
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}.$

Démonstration

On suppose, sans perte de généralité, que $\scriptstyle\ a\ \geq\ b\ \geq\ c.\$ On a alors :
$\frac{1}{a+b}\ \leq\ \frac{1}{a+c}\ \leq\ \frac{1}{b+c}.$
En appliquant 2 fois l'inégalité de réarrangement, il vient :
$\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+ \frac{a}{b+c} \geq \frac{a}{a+b}+\frac{c}{a+c}+ \frac{b}{b+c},$
et
$\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+ \frac{a}{b+c}\geq \frac{b}{a+b}+\frac{a}{a+c}+ \frac{c}{b+c}.$
En ajoutant ces deux inégalités, on obtient :
$2\left(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+ \frac{a}{b+c}\right) \geq \frac{a+b}{a+b}+\frac{a+c}{a+c}+ \frac{b+c}{b+c},$
c'est-à-dire
$2\left(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+ \frac{a}{b+c} \right)\geq 3,$
d'où on déduit l'inégalité de Nesbitt.

Bibliographie

(en) J. Michael Steele, The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, Cambridge University Press, 26 avril 2004, 1^re éd., 316 p. (ISBN 052154677X) , Exercice 5.6, page 84.

(en) A. M. Nesbitt - Problem 15114, Educational Times, numéro 2, pages 37-38, 1903.

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