- Inégalité de Markov
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En théorie des probabilités, l'inégalité de Markov donne une borne supérieure de la probabilité qu'une variable aléatoire à valeurs positives soit supérieure ou égale à une constante positive. Cette inégalité a été nommée ainsi en l'honneur d'Andrei Markov.
Sommaire
Énoncé
Inégalité de Markov — Soit
une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé
et supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors
0,\qquad \mathbb P(Z\geqslant a)\leqslant\frac{\mathbb{E}[Z]}{a}. " border="0">
DémonstrationOn a l'inégalité
dès que
On en déduit que
Corollaire
Elle possède un corollaire fréquemment utilisé:
Corollaire — Soit
une fonction croissante et positive ou nulle sur l'intervalle
Soit
une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé
et telle que
Alors
0,\qquad \mathbb P(Y\geqslant b)\leqslant\frac{\mathbb{E}[\phi(Y)]}{\phi(b)}. " border="0">
DémonstrationOn applique l'inégalité de Markov à
et à
pour obtenir que
0,\qquad \mathbb P\left(\phi(Y)\geqslant \phi(b)\right)\leqslant\frac{\mathbb{E}[\phi(Y)]}{\phi(b)}. " border="0">
La croissance de
entraine que
et donc que
Applications
- Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de
et
donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
- Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de
ou bien
de
et de
0,\ " border="0"> est le premier pas de la démonstration de l'inégalité de Chernoff ou de l'inégalité de Hoeffding.
- L'inégalité de Markov est souvent appliquée conjointement au lemme de Borel-Cantelli, par exemple pour démontrer la loi forte des grands nombres.
Voir aussi
- Portail des probabilités et des statistiques
- Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de
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