Colinéaires

Colinéaires

Colinéarité

En géométrie vectorielle, deux vecteurs \vec u et \vec v sont colinéaires s'il existe un scalaire k tel que \vec v = k\vec u ou \vec u = k\vec v.

Étymologiquement, on remarque que colinéaire signifie sur une même ligne. En effet, en géométrie affine, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe deux représentants de ces vecteurs situés sur une même droite i.e. il existe trois points A, B, C alignés tels que

\overrightarrow{AB} = \vec u et \overrightarrow{AC} = \vec v

La colinéarité est une notion importante en géométrie affine car elle permet de définir

  • l'alignement : les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires.
  • le parallélisme de deux droites : les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires

On peut remarquer que le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur de l'espace vectoriel.

Sur l'ensemble des vecteurs non nuls, la relation de colinéarité est

  • réflexive : un vecteur est colinéaire à lui-même
  • symétrique : Si un vecteur \vec u est colinéaire à un vecteur \vec v alors \vec v est colinéaire à \vec u
  • transitive :Si un vecteur \vec u est colinéaire à \vec v et si \vec v est colinéaire à \vec w alors \vec u est colinéaire à \vec w

Ce qui permet de dire que (sur l'ensemble des vecteurs non nuls) la relation de colinéarité est une relation d'équivalence dont les classes d'équivalence forment l'espace projectif associé à l'espace vectoriel

Colinéaires.svg

Montrer la colinéarité de deux vecteurs grâce à leurs coordonnées

Soit \vec u et \vec v deux vecteurs quelconques du plan tel que \vec u\binom{a}{b} et \vec v\binom{a'}{b'} alors: \vec u et \vec v sont colinéaires si et seulement si : a'b − ab' = 0

Voir aussi

Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs Colinéarité • Indépendance linéaire • Famille libre • Rang • Famille génératrice • Base • Théorème de la base incomplète Mathématiques
Sous-espace Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension d'un espace vectoriel • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford
Enrichissements de structure Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau
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