Opérations sur les limites

Cette page est une annexe de l'article limite (mathématiques élémentaires), qui explique comment traduire en termes de limites les opérations usuelles : addition, multiplication, composition...

Tous les résultats listés ici sont valables à la fois pour les limites de fonctions et pour les limites de suites

Articles détaillés : limite (mathématiques), limite (mathématiques élémentaires) et limites de référence.

Sommaire

1 Opérations algébriques
2 Composition
- 2.1 Composition de deux fonctions
- 2.2 Composition d'une fonction et d'une suite
3 Voir aussi

Opérations algébriques

On considère ici le cas où on effectue les opérations algébriques élémentaires sur des fonctions ou des suites dont on connaît les limites. Dans la plupart des cas on peut conclure mais parfois une étude supplémentaire est nécessaire, on parle de forme indéterminée, ou FI. Ces cas seront traités à part.

Multiplication par un réel

On peut multiplier une suite $u = (u n)$ ou une fonction $f$ par un réel fixé $k$ ; on obtient alors :

La suite $k u = ((k u) n)$ définie par : $\forall n \in \N,(ku)_n = k \times u_n$

La fonction $k f$ définie par : $\forall x \in \R,(kf)(x) = k \times f(x)$

Alors on peut écrire le tableau suivant, selon que la suite converge vers une limite finie $\ell$ ou diverge vers $\pm\infty$ :

$lim u n$		$\ell$	$-\infty$	$+\infty$
$lim(k u) n$	$k > 0$	$k\ell$	$-\infty$	$+\infty$
$lim(k u) n$	$k < 0$	$k\ell$	$+\infty$	$-\infty$

On a exactement le même tableau pour les cas d'une fonction $f$ . Que ce soit pour une limite en un point $a \in \R$ ou pour une limite en $\pm\infty$ on écrira $lim f$ . La limite de $k f$ est :

$lim f$		$\ell$	$-\infty$	$+\infty$
$lim k f$	$k > 0$	$k\ell$	$-\infty$	$+\infty$
$lim k f$	$k < 0$	$k\ell$	$+\infty$	$-\infty$

Addition

On peut additionner deux suites $u = (u n)$ et $v = (v n)$ ou deux fonctions $f$ et $g$ :

La suite $u + v$ est définie par : $\forall n \in \N, (u+v)_n = u_n+v_n$

La fonction $f + g$ est définie par : $\forall x \in \R, (f+g)(x) = f(x)+g(x)$

On peut donner la limite de la suite $u + v$ en fonction des limites respectives des suites $u$ et $v$ . Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

		$\ell'$	$-\infty$	$+\infty$
		$lim v$
$lim u$	$\ell$	$\ell + \ell'$	$-\infty$	$+\infty$
	$-\infty$	$-\infty$	$-\infty$	FI
	$+\infty$	$+\infty$	FI	$+\infty$

On a exactement le même tableau pour la limite de $f + g$ en fonction des limites respectives de $f$ et de $g$ .

		$\ell'$	$-\infty$	$+\infty$
		$lim g$
$\lim f$	$\ell$	$\ell + \ell'$	$-\infty$	$+\infty$
	$-\infty$	$-\infty$	$-\infty$	FI
	$+\infty$	$+\infty$	FI	$+\infty$

Multiplication

On peut multiplier deux suites $u = (u n)$ et $v = (v n)$ ou deux fonctions $f$ et $g$ :

La suite $u \times v$ est définie par : $\forall n \in \N, (u \times v)_n = u_n \times v_n$

La fonction $f \times g$ est définie par : $\forall x \in \R, (f \times g)(x) = f(x) \times g(x)$

On peut donner la limite de la suite $u \times v$ en fonction des limites respectives des suites $u$ et $v$ . Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

		$\ell'<0$	$\ell'>0$	$0$	$-\infty$	$+\infty$
		$lim v$
$lim u$	$\ell<0$	$\ell \ell'$	$\ell \ell'$	$0$	$+\infty$	$-\infty$
	$\ell>0$	$\ell \ell'$	$\ell \ell'$	$0$	$-\infty$	$+\infty$
	$0$	$0$	$0$	$0$	FI	FI
	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI	$+\infty$	$-\infty$
	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI	$-\infty$	$+\infty$

On a exactement le même tableau pour la limite de $f \times g$ en fonction des limites respectives de $f$ et de $g$ .

		$\ell'<0$	$\ell'>0$	$0$	$-\infty$	$+\infty$
		$lim g$
$\lim f$	$\ell<0$	$\ell \ell'$	$\ell \ell'$	$0$	$+\infty$	$-\infty$
	$\ell>0$	$\ell \ell'$	$\ell \ell'$	$0$	$-\infty$	$+\infty$
	$0$	$0$	$0$	$0$	FI	FI
	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI	$+\infty$	$-\infty$
	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI	$-\infty$	$+\infty$

Division

On peut diviser une suite $u = (u n)$ par une suite $v = (v n)$ vérifiant $\forall n\in \N,v_n \neq 0$ ou une fonction $f$ par une fonction $g$ vérifiant $g(x) \neq 0$ pour tout $x$ au voisinage du point considéré :

La suite $\tfrac{u}{v}$ est définie par : $\forall n \in \N, \left(\tfrac{u}{v}\right)_n = \tfrac{u_n}{v_n}$

La fonction $\tfrac{f}{g}$ est définie par : $\left(\tfrac{f}{g}\right)(x) = \tfrac{f(x)}{g(x)}$ pour tous les $x$ tels que $g(x) \neq 0$

On peut donner la limite de la suite $\tfrac{u}{v}$ en fonction des limites respectives des suites $u$ et $v$ . Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

		$\ell'<0$	$\ell'>0$	$0 -$	$0 +$	$-\infty$	$+\infty$
		$lim v$
$lim u$	$\ell<0$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$+\infty$	$-\infty$	$0 ( + )$	$0 ( - )$
	$\ell>0$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$-\infty$	$+\infty$	$0 ( - )$	$0 ( + )$
	$0 -$	$0 ( + )$	$0 ( - )$	FI	FI	$0 ( + )$	$0 ( - )$
	$0 +$	$0 ( - )$	$0 ( + )$	FI	FI	$0 ( - )$	$0 ( + )$
	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI	FI
	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI	FI

On a exactement le même tableau pour la limite de $\frac{f}{g}$ en fonction des limites respectives de $f$ et de $g$ .

		$\ell'<0$	$\ell'>0$	$0 -$	$0 +$	$-\infty$	$+\infty$
		$lim g$
$\lim f$	$\ell<0$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$+\infty$	$-\infty$	$0 ( + )$	$0 ( - )$
	$\ell>0$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$-\infty$	$+\infty$	$0 ( - )$	$0 ( + )$
	$0 -$	$0 ( + )$	$0 ( - )$	FI	FI	$0 ( + )$	$0 ( - )$
	$0 +$	$0 ( - )$	$0 ( + )$	FI	FI	$0 ( - )$	$0 ( + )$
	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI	FI
	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI	FI

Formes indéterminées

Les formes indéterminées sont soit de type additif : $+\infty - (+\infty)$ , soit de type multiplicatif : $0 \times \pm\infty$ , $\tfrac{0}{0}$ ou $\tfrac{\pm\infty}{\pm\infty}$ . Pour parvenir à lever l'indétermination, on utilise une ou plusieurs des techniques suivantes :

On essaye de transformer l'écriture (factorisation, développement, etc.)
On utilise les résultats sur les croissances comparées des fonctions usuelles (voir Limites de référence)
On applique les propriétés classiques des limites

Les articles suivants traitent plus en détails ces techniques :

Exemple :

On cherche à calculer

$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4}\right)$

Or,

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^4} = +\infty$

donc on est dans un cas de forme indéterminée « additive » ; on factorise l'expression :

$\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4} = \frac{1}{x^4} \times (x-1)$

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^4} = +\infty$ et $\lim_{x \to 0^+} (x-1) = -1$

donc on peut conclure d'après les règles sur la multiplication :

$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4}\right) = -\infty$

Composition

Article détaillé : Théorème de composition des limites.

Composition de deux fonctions

La lecture de l'article Composition de fonctions peut aider à la compréhension de ce qui suit

Propriété

Soient :

$g$ une fonction définie sur $J$ ;
$f$ une fonction définie sur $I$ telle que $f(I)\subset J$ ;
$a\in I$ ou $a$ une borne de $I$ .

Si :

$\lim_{x\to a}f(x) = b$
$\lim_{x\to b}g(x) = l$

Alors $\lim_{x\to a}g\circ f (x)=l$

Interprétation schématique

$\begin{array}{ccccc} I & \overset{f}{\longrightarrow} & J & \overset{g}{\longrightarrow} & \mathbb{R} \\ a & \to & \underset{x\to a}{\lim}f(x) & & \\ & & \shortparallel & & \\ & & b & \to & \underset{X\to b}{\lim}g(X) \\ & & & & \shortparallel \\ & & & & l \\ \end{array}$

Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)= \ln \left(\frac{x}{x-1}\right)$ . On cherche la limite de $f$ en $1 +$ .

On peut schématiser le problème par :

$\begin{array}{ccccc} x & \to & \cfrac{x}{x-1} & & \\ & & \shortparallel & & \\ & & X & \to & \ln X \\ 1^+ & \to & +\infty & \to & +\infty \end{array}$

Plus formellement :

$\lim_{x\to 1^+} \frac{x}{x-1} = +\infty$ ;
$\lim_{X\to +\infty} \ln X = +\infty$ .

Par composition de limites : $\lim_{x\to 1^+}f(x) = +\infty$

Composition d'une fonction et d'une suite

Voir aussi

v · d · m Mathématiques élémentaires
Domaines des mathématiques	Algèbre classique · Arithmétique élémentaire · Analyse · Analyse réelle · Suites numériques · Géométrie classique · Logique · Probabilités · Statistiques
Algèbre classique	Addition · Multiplication · Division · Ordre des opérations · Table d'addition · Table de multiplication · Associativité · Commutativité · Distributivité · Transitivité · Proportionnalité · Pourcentage · Règle de trois · Fraction · Équation du premier degré · Équation du second degré · Système d'équation
Géométrie classique	Géométrie du triangle · Quadrilatère · Coordonnées cartésiennes · Théorème de Pythagore · Théorème de Thalès · Théorème de Thalès (cercle) · Théorème des milieux · Théorème d'Al-Kashi · Rotation plane · Homothétie · Translation · Similitude
Arithmétique	Multiple · Diviseur · Division euclidienne · Nombre premier · Congruence sur les entiers · PGCD de nombres entiers · Plus petit commun multiple · Critère de divisibilité · Preuve par neuf
Suites et fonctions	Fonction de référence · Fonction affine · Fonction du second degré · Fonction puissance · Fonction trigonométrique · Fonction logarithme · Fonction exponentielle · Suite arithmétique · Suite géométrique · Limite · Dérivation · Opérations sur les limites · Dérivées usuelles · Opérations sur les dérivées
Logique	Logique (mathématiques élémentaires) · Démonstration · Contre-exemple · Difficulté mathématique
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