Opérations sur les limites

Cette page est une annexe de l'article limite (mathématiques élémentaires), qui explique comment traduire en termes de limites les opérations usuelles : addition, multiplication, composition...

Tous les résultats listés ici sont valables à la fois pour les limites de fonctions et pour les limites de suites

Articles détaillés : limite (mathématiques), limite (mathématiques élémentaires) et limites de référence.

Sommaire

1 Opérations algébriques
2 Composition
- 2.1 Composition de deux fonctions
- 2.2 Composition d'une fonction et d'une suite
3 Voir aussi

Opérations algébriques

On considère ici le cas où on effectue les opérations algébriques élémentaires sur des fonctions ou des suites dont on connaît les limites. Dans la plupart des cas on peut conclure mais parfois une étude supplémentaire est nécessaire, on parle de forme indéterminée, ou FI. Ces cas seront traités à part.

Multiplication par un réel

On peut multiplier une suite $u = (u n)$ ou une fonction $f$ par un réel fixé $k$ ; on obtient alors :

La suite $k u = ((k u) n)$ définie par : $\forall n \in \N,(ku)_n = k \times u_n$

La fonction $k f$ définie par : $\forall x \in \R,(kf)(x) = k \times f(x)$

Alors on peut écrire le tableau suivant, selon que la suite converge vers une limite finie $\ell$ ou diverge vers $\pm\infty$ :

$lim u n$		$\ell$	$-\infty$	$+\infty$
$lim(k u) n$	$k > 0$	$k\ell$	$-\infty$	$+\infty$
$lim(k u) n$	$k < 0$	$k\ell$	$+\infty$	$-\infty$

On a exactement le même tableau pour les cas d'une fonction $f$ . Que ce soit pour une limite en un point $a \in \R$ ou pour une limite en $\pm\infty$ on écrira $lim f$ . La limite de $k f$ est :

$lim f$		$\ell$	$-\infty$	$+\infty$
$lim k f$	$k > 0$	$k\ell$	$-\infty$	$+\infty$
$lim k f$	$k < 0$	$k\ell$	$+\infty$	$-\infty$

Addition

On peut additionner deux suites $u = (u n)$ et $v = (v n)$ ou deux fonctions $f$ et $g$ :

La suite $u + v$ est définie par : $\forall n \in \N, (u+v)_n = u_n+v_n$

La fonction $f + g$ est définie par : $\forall x \in \R, (f+g)(x) = f(x)+g(x)$

On peut donner la limite de la suite $u + v$ en fonction des limites respectives des suites $u$ et $v$ . Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

		$\ell'$	$-\infty$	$+\infty$
		$lim v$
$lim u$	$\ell$	$\ell + \ell'$	$-\infty$	$+\infty$
	$-\infty$	$-\infty$	$-\infty$	FI
	$+\infty$	$+\infty$	FI	$+\infty$

On a exactement le même tableau pour la limite de $f + g$ en fonction des limites respectives de $f$ et de $g$ .

		$\ell'$	$-\infty$	$+\infty$
		$lim g$
$\lim f$	$\ell$	$\ell + \ell'$	$-\infty$	$+\infty$
	$-\infty$	$-\infty$	$-\infty$	FI
	$+\infty$	$+\infty$	FI	$+\infty$

Multiplication

On peut multiplier deux suites $u = (u n)$ et $v = (v n)$ ou deux fonctions $f$ et $g$ :

La suite $u \times v$ est définie par : $\forall n \in \N, (u \times v)_n = u_n \times v_n$

La fonction $f \times g$ est définie par : $\forall x \in \R, (f \times g)(x) = f(x) \times g(x)$

On peut donner la limite de la suite $u \times v$ en fonction des limites respectives des suites $u$ et $v$ . Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

		$\ell'<0$	$\ell'>0$	$0$	$-\infty$	$+\infty$
		$lim v$
$lim u$	$\ell<0$	$\ell \ell'$	$\ell \ell'$	$0$	$+\infty$	$-\infty$
	$\ell>0$	$\ell \ell'$	$\ell \ell'$	$0$	$-\infty$	$+\infty$
	$0$	$0$	$0$	$0$	FI	FI
	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI	$+\infty$	$-\infty$
	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI	$-\infty$	$+\infty$

On a exactement le même tableau pour la limite de $f \times g$ en fonction des limites respectives de $f$ et de $g$ .

		$\ell'<0$	$\ell'>0$	$0$	$-\infty$	$+\infty$
		$lim g$
$\lim f$	$\ell<0$	$\ell \ell'$	$\ell \ell'$	$0$	$+\infty$	$-\infty$
	$\ell>0$	$\ell \ell'$	$\ell \ell'$	$0$	$-\infty$	$+\infty$
	$0$	$0$	$0$	$0$	FI	FI
	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI	$+\infty$	$-\infty$
	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI	$-\infty$	$+\infty$

Division

On peut diviser une suite $u = (u n)$ par une suite $v = (v n)$ vérifiant $\forall n\in \N,v_n \neq 0$ ou une fonction $f$ par une fonction $g$ vérifiant $g(x) \neq 0$ pour tout $x$ au voisinage du point considéré :

La suite $\tfrac{u}{v}$ est définie par : $\forall n \in \N, \left(\tfrac{u}{v}\right)_n = \tfrac{u_n}{v_n}$

La fonction $\tfrac{f}{g}$ est définie par : $\left(\tfrac{f}{g}\right)(x) = \tfrac{f(x)}{g(x)}$ pour tous les $x$ tels que $g(x) \neq 0$

On peut donner la limite de la suite $\tfrac{u}{v}$ en fonction des limites respectives des suites $u$ et $v$ . Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

		$\ell'<0$	$\ell'>0$	$0 -$	$0 +$	$-\infty$	$+\infty$
		$lim v$
$lim u$	$\ell<0$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$+\infty$	$-\infty$	$0 ( + )$	$0 ( - )$
	$\ell>0$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$-\infty$	$+\infty$	$0 ( - )$	$0 ( + )$
	$0 -$	$0 ( + )$	$0 ( - )$	FI	FI	$0 ( + )$	$0 ( - )$
	$0 +$	$0 ( - )$	$0 ( + )$	FI	FI	$0 ( - )$	$0 ( + )$
	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI	FI
	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI	FI

On a exactement le même tableau pour la limite de $\frac{f}{g}$ en fonction des limites respectives de $f$ et de $g$ .

		$\ell'<0$	$\ell'>0$	$0 -$	$0 +$	$-\infty$	$+\infty$
		$lim g$
$\lim f$	$\ell<0$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$+\infty$	$-\infty$	$0 ( + )$	$0 ( - )$
	$\ell>0$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$-\infty$	$+\infty$	$0 ( - )$	$0 ( + )$
	$0 -$	$0 ( + )$	$0 ( - )$	FI	FI	$0 ( + )$	$0 ( - )$
	$0 +$	$0 ( - )$	$0 ( + )$	FI	FI	$0 ( - )$	$0 ( + )$
	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI	FI
	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI	FI

Formes indéterminées

Les formes indéterminées sont soit de type additif : $+\infty - (+\infty)$ , soit de type multiplicatif : $0 \times \pm\infty$ , $\tfrac{0}{0}$ ou $\tfrac{\pm\infty}{\pm\infty}$ . Pour parvenir à lever l'indétermination, on utilise une ou plusieurs des techniques suivantes :

On essaye de transformer l'écriture (factorisation, développement, etc.)
On utilise les résultats sur les croissances comparées des fonctions usuelles (voir Limites de référence)
On applique les propriétés classiques des limites

Les articles suivants traitent plus en détails ces techniques :

Exemple :

On cherche à calculer

$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4}\right)$

Or,

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^4} = +\infty$

donc on est dans un cas de forme indéterminée « additive » ; on factorise l'expression :

$\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4} = \frac{1}{x^4} \times (x-1)$

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^4} = +\infty$ et $\lim_{x \to 0^+} (x-1) = -1$

donc on peut conclure d'après les règles sur la multiplication :

$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4}\right) = -\infty$

Composition

Article détaillé : Théorème de composition des limites.

Composition de deux fonctions

La lecture de l'article Composition de fonctions peut aider à la compréhension de ce qui suit

Propriété

Soient :

$g$ une fonction définie sur $J$ ;
$f$ une fonction définie sur $I$ telle que $f(I)\subset J$ ;
$a\in I$ ou $a$ une borne de $I$ .

Si :

$\lim_{x\to a}f(x) = b$
$\lim_{x\to b}g(x) = l$

Alors $\lim_{x\to a}g\circ f (x)=l$

Interprétation schématique

$\begin{array}{ccccc} I & \overset{f}{\longrightarrow} & J & \overset{g}{\longrightarrow} & \mathbb{R} \\ a & \to & \underset{x\to a}{\lim}f(x) & & \\ & & \shortparallel & & \\ & & b & \to & \underset{X\to b}{\lim}g(X) \\ & & & & \shortparallel \\ & & & & l \\ \end{array}$

Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)= \ln \left(\frac{x}{x-1}\right)$ . On cherche la limite de $f$ en $1 +$ .

On peut schématiser le problème par :

$\begin{array}{ccccc} x & \to & \cfrac{x}{x-1} & & \\ & & \shortparallel & & \\ & & X & \to & \ln X \\ 1^+ & \to & +\infty & \to & +\infty \end{array}$

Plus formellement :

$\lim_{x\to 1^+} \frac{x}{x-1} = +\infty$ ;
$\lim_{X\to +\infty} \ln X = +\infty$ .

Par composition de limites : $\lim_{x\to 1^+}f(x) = +\infty$

Composition d'une fonction et d'une suite

Voir aussi

v · d · m Mathématiques élémentaires
Domaines des mathématiques	Algèbre classique · Arithmétique élémentaire · Analyse · Analyse réelle · Suites numériques · Géométrie classique · Logique · Probabilités · Statistiques
Algèbre classique	Addition · Multiplication · Division · Ordre des opérations · Table d'addition · Table de multiplication · Associativité · Commutativité · Distributivité · Transitivité · Proportionnalité · Pourcentage · Règle de trois · Fraction · Équation du premier degré · Équation du second degré · Système d'équation
Géométrie classique	Géométrie du triangle · Quadrilatère · Coordonnées cartésiennes · Théorème de Pythagore · Théorème de Thalès · Théorème de Thalès (cercle) · Théorème des milieux · Théorème d'Al-Kashi · Rotation plane · Homothétie · Translation · Similitude
Arithmétique	Multiple · Diviseur · Division euclidienne · Nombre premier · Congruence sur les entiers · PGCD de nombres entiers · Plus petit commun multiple · Critère de divisibilité · Preuve par neuf
Suites et fonctions	Fonction de référence · Fonction affine · Fonction du second degré · Fonction puissance · Fonction trigonométrique · Fonction logarithme · Fonction exponentielle · Suite arithmétique · Suite géométrique · Limite · Dérivation · Opérations sur les limites · Dérivées usuelles · Opérations sur les dérivées
Logique	Logique (mathématiques élémentaires) · Démonstration · Contre-exemple · Difficulté mathématique
Statistiques et probabilités	Statistiques (mathématiques élémentaires) · Critères de position · Critères de dispersion · Série statistique à deux variables · Probabilités (mathématiques élémentaires) · Arbre de probabilité · Variables aléatoires élémentaires

Portail de l'analyse

Catégories :

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Opérations sur les limites de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

Operations sur les limites — Opérations sur les limites Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires Algèbre Logique Arithmétique Probabilités … Wikipédia en Français
Operations sur les derivees — Opérations sur les dérivées Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires Algèbre Logique Arithmétique Probabilités … Wikipédia en Français
Operations sur les equivalents — Opérations sur les équivalents Dans cet article, on fait le point sur les opérations qu on a le droit d effectuer sur les équivalents en analyse mathématique. Sommaire 1 Règles simples 1.1 Inversion 1.2 Produit … Wikipédia en Français
Opérations sur les dérivées — Le calcul de la dérivée de certaines fonctions à valeurs réelles ou complexes (ou plus généralement dans un corps topologique) peut être effectué en utilisant un certain nombre d opérations sur les dérivées, notamment certaines liées aux… … Wikipédia en Français
Opérations sur les équivalents — Dans cet article, on fait le point sur les opérations valides sur les équivalents de fonctions, en analyse mathématique. Sommaire 1 Règles simples 1.1 Inversion 1.2 Produit 1.3 … Wikipédia en Français
Théorèmes élémentaires sur les limites — Opérations sur les limites Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires Algèbre Logique Arithmétique Probabilités … Wikipédia en Français
Limites De Référence — Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires Algèbre Logique Arithmétique Probabilités … Wikipédia en Français
Limites de reference — Limites de référence Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires Algèbre Logique Arithmétique Probabilités … Wikipédia en Français
Limites de référence — Cette page est une annexe de l article Limite (mathématiques élémentaires), conçue pour être une liste la plus complète possible des limites des suites usuelles, et des limites des fonctions usuelles partout où il y a lieu d étudier une limite, c … Wikipédia en Français
Limites de suites — Limite de suite De manière intuitive, la limite d une suite est l élément dont les termes de la suite se rapprochent quand les indices deviennent très grands. Cette définition intuitive n est guère exploitable car il faudrait pouvoir définir le… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Opérations sur les limites

Sommaire

Opérations algébriques

Multiplication par un réel

Addition

Multiplication

Division

Formes indéterminées

Composition

Composition de deux fonctions

Propriété

Interprétation schématique

Exemple

Composition d'une fonction et d'une suite

Voir aussi

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Opérations sur les limites

Sommaire

Opérations algébriques

Multiplication par un réel

Addition

Multiplication

Division

Formes indéterminées

Composition

Composition de deux fonctions

Propriété

Interprétation schématique

Exemple

Composition d'une fonction et d'une suite

Voir aussi

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link