- Operations sur les equivalents
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Opérations sur les équivalents
Dans cet article, on fait le point sur les opérations qu'on a le droit d'effectuer sur les équivalents en analyse mathématique.
Sommaire
Règles simples
Inversion
Soient f,g deux fonctions qui, localement, sont non-nulles au voisinage de a (sauf peut-être en a). En particulier, on peut définir leurs inverses. Alors :
- Si
, on a
.
DémonstrationTout simplement, on sait qu'on a
quand
. Tenant compte des opérations sur les limites autorisées, on a donc
, et donc
et
qui sont équivalentes en a.
Produit
Soient les fonctions
,
,
,
. On a alors :
- Si
et
alors f1f2˜ag1g2.
DémonstrationOn fait la démonstration dans le cas plus simple où on peut caractériser l'équivalence par la limite du quotient. On a ainsi :
et
tendent vers 1 quand
et il en est donc de même pour leur produit . C'est-à-dire :
. Cela signifie bien que f1g1 et f2g2 sont équivalentes.
Multiplication par un scalaire
Soient les fonctions f,g et
. On a alors :
- Si
alors λf˜aλg.
DémonstrationC'est un cas particulier de la règle sur le produit des équivalents avec (f1,g1) = (f,g) et les fonctions f2,g2 constantes égales à λ.
Quotient
Soient les fonctions
,
,
,
. On suppose que f2 et g2 ne s'annulent pas localement autour de a. On a alors:
- Si
et
alors
.
DémonstrationD'après la règle sur l'inversion, on a
. On applique ensuite la règle sur le produit.
Puissance
Soient les fonctions
,
et
. On a alors :
- Si
alors
.
DémonstrationC'est un cas particulier de la règle sur le produit des équivalents.
×...×f, n fois.
Règles plus subtiles
Composition
Il n'existe pas de théorème général. Cependant, on peut remarquer certains cas particuliers:
- Soient
et
deux fonctions définies sur un voisinage V de a (sauf peut-être en a):
démonstration- Soient
et
deux fonctions définies sur un voisinage V de a (sauf peut-être en a), strictement positives sur V, telles que
et
. Alors on a:
.
démonstrationOn a:
De plus,donc
Ordonc
donc
donc
donc
- Remarque: si
alors
démonstrationavec
. Remarquons que
. On reconnaît la dérivée du logarithme en 1, qui vaut 1. Donc
donc
.
Opérations interdites, contre-exemples
Somme, différence
Dans le cas général, on ne peut pas faire la somme ou la différence de fonctions équivalentes; il faut donc repasser par la limite du quotient. Par exemple, on a pour un x réel:
mais
Composition de fonctions
Exponentielle
Si
, on ne peut pas en déduire ef˜aeg. Par exemple
mais
L'hypothèse
est indispensable (voir le théorème énoncé plus haut).
Logarithme
Si
et que
on ne peut conclure
. Par exemple
Or d'après un développement limité
- ln(1 + x)˜0x
on a donc
L'hypothèse que f ne tende pas vers 1 est indispensable (voir théorème plus haut).
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Catégorie : Analyse réelle - Si
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