Operations sur les equivalents

Operations sur les equivalents

Opérations sur les équivalents

Dans cet article, on fait le point sur les opérations qu'on a le droit d'effectuer sur les équivalents en analyse mathématique.

Sommaire

Règles simples

Inversion

Soient f,g deux fonctions qui, localement, sont non-nulles au voisinage de a (sauf peut-être en a). En particulier, on peut définir leurs inverses. Alors :

Si f\sim_a g, on a \frac{1}{f}\sim_a\frac{1}{g}.


Démonstration

Tout simplement, on sait qu'on a \frac{f}{g}\to 1 quand x \to a. Tenant compte des opérations sur les limites autorisées, on a donc \frac{1}{\frac{f}{g}}=\frac{g}{f}=\frac{\frac{1}{f}}{\frac{1}{g}}\to 1, et donc \frac{1}{f} et \frac{1}{g} qui sont équivalentes en a.

Produit

Soient les fonctions f_1\,, f_2\,, g_1\,, g_2\,. On a alors :

Si f_1 \sim_a g_1 et f_2 \sim_a g_2 alors f1f2˜ag1g2.


Démonstration

On fait la démonstration dans le cas plus simple où on peut caractériser l'équivalence par la limite du quotient. On a ainsi : \frac{f_1}{g_1} et \frac{f_2}{g_2} tendent vers 1 quand x\to a et il en est donc de même pour leur produit . C'est-à-dire : \frac{f_1 f_2}{g_1 g_2}\to 1. Cela signifie bien que f1g1 et f2g2 sont équivalentes.

Multiplication par un scalaire

Soient les fonctions f,g et \lambda \in \mathbb{C}^*. On a alors :

Si f \sim_a g alors λf˜aλg.


Démonstration

C'est un cas particulier de la règle sur le produit des équivalents avec (f1,g1) = (f,g) et les fonctions f2,g2 constantes égales à λ.

Quotient

Soient les fonctions f_1\,, f_2\,, g_1\,, g_2\,. On suppose que f2 et g2 ne s'annulent pas localement autour de a. On a alors:

Si f_1 \sim_a g_1 et f_2 \sim_a g_2 alors \frac{f_1}{f_2} \sim_a \frac{g_1}{g_2}.


Démonstration

D'après la règle sur l'inversion, on a \frac{1}{f_2}\sim_a \frac{1}{g_2}. On applique ensuite la règle sur le produit.

Puissance

Soient les fonctions f \,\!, g \,\! et n \in \mathbb{N}^*. On a alors :

Si f \sim_a g alors f^{n} \sim_a g^{n} \,\!.


Démonstration

C'est un cas particulier de la règle sur le produit des équivalents. f^n=f \,\!×...×f, n fois.

Règles plus subtiles

Composition

Il n'existe pas de théorème général. Cependant, on peut remarquer certains cas particuliers:

  • Soient f\, et g\, deux fonctions définies sur un voisinage V de a (sauf peut-être en a):
\lim_{x \to a}{(f-g)(x)}=0 \Rightarrow e^f \sim_a e^g


démonstration

\lim_{x \to a}{(f-g)(x)}=0 \Rightarrow \lim_{x \to a}{e^{(f-g)(x)}} = e^0 = 1 \Rightarrow \lim_{x \to a}{\frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}} = 1 \Rightarrow e^f \sim_a e^g\,

  • Soient f\, et g\, deux fonctions définies sur un voisinage V de a (sauf peut-être en a), strictement positives sur V, telles que f \sim_a g et \lim_{x \to a} f(x) \ne 1. Alors on a: \ln \circ f \sim_a \ln \circ g.


démonstration

On a:
\frac{\ln(f(x))}{\ln(g(x))} = \frac{\ln(\frac{f(x)}{g(x)}g(x))}{\ln(g(x))} = \frac{\ln(\frac{f(x)}{g(x)})+\ln(g(x))}{\ln(g(x))} = \frac{\ln(\frac{f(x)}{g(x)})}{\ln(g(x))}+1
De plus, \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = 1 donc \lim_{x \to a}{\ln \frac{f(x)}{g(x)}} = \ln(1) = 0
Or \lim_{x \to a}g(x) = \lim_{x \to a}f(x) = l \in \overline{\mathbb R}-\{1\} donc \lim_{x \to a}\ln(g(x)) \in \overline{\mathbb R}^* donc \lim_{x \to a}\frac{\ln(\frac{f(x)}{g(x)})}{\ln(g(x))} = 0\, donc \lim_{x \to a}\frac{\ln(f(x))}{\ln(g(x))} = 1 donc \ln \circ f \sim_a \ln \circ g

Remarque: si \lim_{x \to a}f(x) = 1 alors \ln \circ f \sim_a f - 1


démonstration

\lim_{x \to a}\frac{\ln(f(x))}{f(x) - 1} = \lim_{x \to a}\frac{\ln(1+f(x)-1) - \ln(1)}{f(x)-1} = \lim_{h \to 0}\frac{\ln(1+h)-\ln(1)}{h} avec h = f(x)-1\,. Remarquons que \lim_{x \to a}h = \lim_{x \to a}f(x) - 1 = 1 - 1 = 0. On reconnaît la dérivée du logarithme en 1, qui vaut 1. Donc \lim_{x \to a}\frac{\ln(f(x))}{f(x)-1} = 1 donc \ln \circ f \sim_a f - 1.

Opérations interdites, contre-exemples

Somme, différence

Dans le cas général, on ne peut pas faire la somme ou la différence de fonctions équivalentes; il faut donc repasser par la limite du quotient. Par exemple, on a pour un x réel:

\left\{\begin{array}{l}x+x^2\sim_0x \\ -x+x^3\sim_0 -x \end{array} \right.

mais

(x+x^2)+(-x+x^3)=(x^2+x^3)\nsim_0 0=x+(-x)

Composition de fonctions

Exponentielle

Si f \sim_a g, on ne peut pas en déduire ef˜aeg. Par exemple

x+1 \sim_\infty x

mais

e^{x+1}=ee^x \nsim_{+\infty} e^x

L'hypothèse

f-g \underset{x \to a}{\longrightarrow} 0

est indispensable (voir le théorème énoncé plus haut).

Logarithme

Si f \sim_a g et que

f \underset{x \to a}{\longrightarrow} 1

on ne peut conclure \ln \circ f \sim_a \ln \circ g. Par exemple

1+x \sim_o 1+2x \underset{x \to 0}{\longrightarrow} 1

Or d'après un développement limité

ln(1 + x)˜0x

on a donc

\ln(1+2x)\sim_0 2x \nsim_0 x \sim_0 \ln(1+x)

L'hypothèse que f ne tende pas vers 1 est indispensable (voir théorème plus haut).

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