Limites de reference

Limites de référence

Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires

Cette page est une annexe de l'article Limite (mathématiques élémentaires), conçue pour être une liste la plus complète possible des limites des suites usuelles, et des limites des fonctions usuelles partout où il y a lieu d'étudier une limite, c'est-à-dire aux bornes du domaine de définition.

En effet la plupart des fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition $D \,\!$ donc si $a \in D \,\!$ , on a $\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \,\!$ .

Sommaire

1 Fonctions polynômes et rationnelles
2 Fonctions logarithmes, exponentielle et puissances
- 2.1 Logarithmes
- 2.2 Exponentielle et puissance d'un réel positif
3 Fonctions trigonométriques et hyperboliques
4 Suites usuelles
5 Voir aussi

Fonctions polynômes et rationnelles

Fonctions constantes

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \lambda \\ \end{array}$
avec $\lambda\in\R$

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lambda \,\!$

Monômes...

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & x^n \\ \end{array}$
avec $n\in\N^*$

En $+\infty \,\!$ : $\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty \,\!$
En :
- Pour $n$ pair : $\lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty\,\!$
- Pour $n$ impair : $\lim_{x \to -\infty} x^n = -\infty\,\!$

...et leurs inverses

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R^* & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \cfrac{1}{x^n} \\ \end{array}$
avec $n\in\N^*$

En $\pm \infty \,\!$ : $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^n} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0 \,\!$
En les fonctions ne sont pas définies :
- Pour $n$ pair : $\lim_{x \to 0\atop x \neq 0} \frac{1}{x^n} = +\infty \,\!$
- Pour n impair :
  - $\lim_{x \to 0\atop x < 0} \frac{1}{x^n} = -\infty \,\!$
  - $\lim_{x \to 0\atop x > 0} \frac{1}{x^n} = +\infty \,\!$

Polynômes

Les limites en $\pm\infty \,\!$ d'une fonction polynôme $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \,\!$ avec $a_n \neq 0 \,\!$ sont les mêmes que celles du terme de plus haut degré $a_n x^n \,\!$ , dit terme prédominant.

On se rapporte donc à l'étude des monômes, et on conclut selon la parité de $n \,\!$ et le signe de $a_n \,\!$ .

Monômes de puissance quelconque

Puissances positives :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R_+ & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & x^\alpha \\ \end{array}$
avec

α > 0

$\lim_{x \to +\infty} x^\alpha = +\infty$
Cas particulier :
$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ , donc $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$

Puissances négatives :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R_+ & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & x^\alpha \\ \end{array}$
avec

α < 0

$\lim_{x \to 0\atop x > 0} x^\alpha = +\infty$
$\lim_{x \to +\infty} x^\alpha = 0$

Fonctions logarithmes, exponentielle et puissances

Logarithmes

Logarithme népérien (ou naturel) :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R_+^* & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \ln(x) \end{array}$

$\lim_{x \to 0 \atop x > 0} \ln(x) = -\infty$
$\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$

Logarithme de base $a$ :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R_+^* & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \log_a(x) \end{array}$
avec

a > 0

Base a > 1 :
- $\lim_{x \to 0 \atop x > 0} \log_a(x) = -\infty \,\!$
- $\lim_{x \to +\infty} \log_a(x) = +\infty \,\!$
Base a < 1 :
- $\lim_{x \to 0 \atop x > 0} \log_a(x) = +\infty \,\!$
- $\lim_{x \to +\infty} \log_a(x) = -\infty \,\!$

Exponentielle et puissance d'un réel positif

La fonction exponentielle :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & {\rm e}^x \end{array}$

$\lim_{x \to -\infty} {\rm e}^x = 0$
$\lim_{x \to +\infty} {\rm e}^x = +\infty$

Fonction exponentielle de base $a$ :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & a^x = {\rm e}^{x\ln a} \end{array}$
avec

a > 0

Base a > 1 :
- $\lim_{x \to -\infty} a^x = 0 \,\!$
- $\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty \,\!$
Base a < 1 :
- $\lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty \,\!$
- $\lim_{x \to +\infty} a^x = 0 \,\!$

Fonctions trigonométriques et hyperboliques

Fonctions trigonométriques

Tangente :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R\setminus\left\{\cfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\Z\right\} & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \tan(x) = \cfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \end{array}$
Remarque :
$\R\setminus\left\{\cfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\Z\right\} = \underset{k \in \Z}{\bigcup} \left]k\pi - \cfrac{\pi}{2}; k\pi + \cfrac{\pi}{2} \right[$

Pour tout entier relatif :
- $\lim_{x \to -\frac{\pi}{2} + k \pi \atop x > -\frac{\pi}{2} + k \pi} \tan(x) = -\infty \,\!$
- $\lim_{x \to +\frac{\pi}{2} + k \pi \atop x < +\frac{\pi}{2} + k \pi} \tan(x) = +\infty \,\!$

Cotangente :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R\setminus\left\{k\pi, k\in\Z\right\} & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \cot(x) = \cfrac{\cos(x)}{\sin(x)} \end{array}$
Remarque :
$\R\setminus\left\{k\pi, k\in\Z\right\} = \underset{k \in \Z}{\bigcup} \left]k\pi; (k+1)\pi \right[$

Pour tout entier relatif :
- $\lim_{x \to k \pi \atop x > k \pi} \cot(x) = -\infty \,\!$
- $\lim_{x \to (k + 1) \pi \atop x < (k + 1) \pi} \cot(x) = +\infty \,\!$

Autres fonctions trigonométriques :

Fonctions hyperboliques

Sinus hyperbolique :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \operatorname{sh}(x) = \cfrac{{\rm e}^x-{\rm e}^{-x}}{2} \end{array}$

$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{sh}(x) = -\infty \,\!$
$\lim_{x \to +\infty} \operatorname{sh}(x) = +\infty \,\!$

Cosinus hyperbolique :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \operatorname{ch}(x) = \cfrac{{\rm e}^x+{\rm e}^{-x}}{2} \end{array}$

$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{ch}(x) = +\infty \,\!$
$\lim_{x \to +\infty} \operatorname{ch}(x) = +\infty \,\!$

Tangente hyperbolique :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \operatorname{th}(x) = \cfrac{\operatorname{sh}(x)}{\operatorname{ch}(x)} \end{array}$

$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{th}(x) = -1 \,\!$
$\lim_{x \to +\infty} \operatorname{th}(x) = 1 \,\!$

Fonctions réciproques

Arc tangente :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \operatorname{Arctan}(x) \end{array}$

$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{Arctan}(x) = -\frac{\pi}{2} \,\!$
$\lim_{x \to +\infty} \operatorname{Arctan}(x) = \frac{\pi}{2} \,\!$

Argument sinus hyperbolique :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \operatorname{Argsh}(x) \end{array}$

$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{Argsh}(x) = -\infty \,\!$
$\lim_{x \to +\infty} \operatorname{Argsh}(x) = +\infty \,\!$

Argument cosinus hyperbolique :

$\begin{array}{ccccc} f & : & [1;+\infty[ & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \operatorname{Argch}(x) \end{array}$

$\lim_{x \to +\infty} \operatorname{Argch}(x) = +\infty \,\!$

Argument tangente hyperbolique :

$\begin{array}{ccccc} f & : & ]-1;1[ & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \operatorname{Argth}(x) \end{array}$

$\lim_{x \to -1} \operatorname{Argth}(x) = -\infty \,\!$
$\lim_{x \to 1} \operatorname{Argth}(x) = +\infty \,\!$

Suites usuelles

Une suite est en général définie terme-à-terme en fonction de n :

$\forall n \in \N, \ u_n=f(n) \,\!$

ou alors définie par son premier terme $u_0 \in \R \,\!$ et une relation de récurrence :

$\forall n \in \N, \ u_{n+1} = \varphi(u_n) \,\!$

Dans le premier cas l'étude de la limite est simplement celle de la limite de la fonction $f \,\!$ en $+\infty \,\!$ ; dans le second l'étude est souvent plus difficile. On peut cependant conclure directement dans certains cas particuliers.

Suites arithmétiques

* Voir article détaillé : suite arithmétique $\forall n \in \N, \ u_{n+1} = u_n + r \,\!$

Dans ce cas $\varphi(x)=x+r \,\!$ et $r \in \R \,\!$ est appelé la raison de la suite $u \,\!$ : on peut donner une expression directe de $u_n \,\!$ : $\forall n \in \N, \ u_n=u_0+nr \,\!$ .

Si $r>0 \,\!$ on a : $\lim_{n \to +\infty} (u_n) = +\infty \,\!$

Si $r<0 \,\!$ on a : $\lim_{n \to +\infty} (u_n) = -\infty \,\!$

Suites géométriques

Voir article détaillé: suite géométrique

$\forall n \in \N, \ u_{n+1} = q u_n \,\!$

Dans ce cas $\varphi(x)=q x \,\!$ et $q \in \R \,\!$ est encore appelé la raison de la suite $u \,\!$ : on peut donner une expression directe de $u_n \,\!$ : $\forall n \in \N, \ u_n=q^n u_0 \,\!$ .

Si $|q|<1 \,\!$ on a : $\lim_{n \to +\infty} (u_n) = 0 \,\!$

Si $q=1 \,\!$ on a : $\lim_{n \to +\infty} (u_n) = u_0 \,\!$

Si $q>1 \,\!$ on a : $\lim_{n \to +\infty} (u_n) = +\infty \,\!$

Si $q<-1 \,\!$ alors $u \,\!$ n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :

$\lim_{n \to +\infty} (u_{2n}) = +\infty \,\!$

$\lim_{n \to +\infty} (u_{2n+1}) = -\infty \,\!$

Suites arithmético-géométriques

Voir article détaillé : suite arithmético-géométrique

$\forall n \in \N, \ u_{n+1} = q u_n + r \,\!$

Dans ce cas $\varphi(x)=q x + r \,\!$ (avec $q \neq 1 \,\!$ ) et on peut donner une expression directe de $u_n \,\!$ : $\forall n \in \N, \ u_n = q^n u_0 + r \frac{q^n-1}{q-1} \,\!$ .

Si $|q|<1 \,\!$ on a : $\lim_{n \to +\infty} (u_n) = \frac{r}{1-q} \,\!$

Si $q>1 \,\!$ on a : $\lim_{n \to +\infty} (u_n) = +\infty \,\!$

Si $q<-1 \,\!$ alors $u \,\!$ n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :

$\lim_{n \to +\infty} (u_{2n}) = +\infty \,\!$

$\lim_{n \to +\infty} (u_{2n+1}) = -\infty \,\!$

Suites homographiques

$\forall n \in \N, \ u_{n+1} = \frac{a u_n + b}{c u_n + d} \,\!$

Dans ce cas $\varphi(x)=\frac{ax+b}{cx+d} \,\!$ (avec $c \neq 0 \,\!$ et $ad-bc \neq 0 \,\!$ ) et on ne peut pas en général donner d'expression directe de $u_n \,\!$ . Cependant on peut déterminer les limites éventuelles selon les valeurs du discriminant $\Delta = (a-d)^2 + 4bc \,\!$ de l'équation $\varphi(x) = x \,\!$ .

Si $\Delta < 0 \,\!$ la suite ne peut pas avoir de limite.

Si $\Delta = 0 \,\!$ la seule limite $\ell \,\!$ possible est $\frac{a-d}{2c} \,\!$ .

Si $\Delta > 0 \,\!$ les seules limites $\ell \,\!$ possibles sont $\frac{a-d-\sqrt{\Delta}}{2c} \,\!$ ou $\frac{a-d+\sqrt{\Delta}}{2c} \,\!$ .

Cependant, dans les deux cas précédents, la convergence n'est pas assurée. Il faut étudier selon les valeurs du terme initial $u_0 \,\!$ la distance $|u_n-\ell| \,\!$ pour chaque valeur éventuelle de $\ell \,\!$ .

Voir aussi

Ce document provient de « Limites de r%C3%A9f%C3%A9rence ».

Catégorie : Mathématiques élémentaires

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Limites de reference de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

Limites De Référence — Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires Algèbre Logique Arithmétique Probabilités … Wikipédia en Français
Limites de référence — Cette page est une annexe de l article Limite (mathématiques élémentaires), conçue pour être une liste la plus complète possible des limites des suites usuelles, et des limites des fonctions usuelles partout où il y a lieu d étudier une limite, c … Wikipédia en Français
Limites De L'Europe — La définition des limites de l’Europe est sujet à controverse, la géographie physique ne la donnant pas immédiatement. En effet, le continent européen n’existe pas en tant qu’unité physique : il partage avec l Asie une seule plaque… … Wikipédia en Français
Limites de l'europe — La définition des limites de l’Europe est sujet à controverse, la géographie physique ne la donnant pas immédiatement. En effet, le continent européen n’existe pas en tant qu’unité physique : il partage avec l Asie une seule plaque… … Wikipédia en Français
Limites de l’Europe — Limites de l Europe La définition des limites de l’Europe est sujet à controverse, la géographie physique ne la donnant pas immédiatement. En effet, le continent européen n’existe pas en tant qu’unité physique : il partage avec l Asie une… … Wikipédia en Français
Limites de l'Europe — La définition des limites de l’Europe est sujet à controverse, la géographie physique ne la donnant pas immédiatement. En effet, le continent européen n’existe pas en tant qu’unité physique : il partage avec l Asie une seule plaque… … Wikipédia en Français
Limites maximales de résidus — Limite Maximale de Résidus Dans le domaine de l alimentation, un résidu est une substance présente sur ou dans un produit alimentaire, suite à l application de produits pesticides. En raison de leur toxicité certains produits font l objet de… … Wikipédia en Français
Référence religieuse — Religion Une religion est un ensemble de rites, croyances généralement théistes[Note 1], composé de règles (éthiques ou pratiques), de récits, de symboles ou de dogmes adoptés comme conviction par une société, un groupe ou une personne. Par… … Wikipédia en Français
Opérations sur les limites — Cette page est une annexe de l article limite (mathématiques élémentaires), qui explique comment traduire en termes de limites les opérations usuelles : addition, multiplication, composition... Tous les résultats listés ici sont valables à… … Wikipédia en Français
Valeurs de référence pour les principaux tests biologiques — Les valeurs de référence visent à décrire les différentes valeurs que peuvent prendre les résultats des tests de biologie médicale chez les sujets (humains ou animaux) en bonne santé d un groupe d individus définis (par exemple, classes d âge,… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Limites de reference

Limites de référence

Sommaire

Fonctions polynômes et rationnelles

Fonctions constantes

Monômes...

...et leurs inverses

Polynômes

Monômes de puissance quelconque

Fonctions logarithmes, exponentielle et puissances

Logarithmes

Exponentielle et puissance d'un réel positif

Fonctions trigonométriques et hyperboliques

Fonctions trigonométriques

Fonctions hyperboliques

Fonctions réciproques

Suites usuelles

Suites arithmétiques

Suites géométriques

Suites arithmético-géométriques

Suites homographiques

Voir aussi

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Limites de reference

Limites de référence

Sommaire

Fonctions polynômes et rationnelles

Fonctions constantes

Monômes...

...et leurs inverses

Polynômes

Monômes de puissance quelconque

Fonctions logarithmes, exponentielle et puissances

Logarithmes

Exponentielle et puissance d'un réel positif

Fonctions trigonométriques et hyperboliques

Fonctions trigonométriques

Fonctions hyperboliques

Fonctions réciproques

Suites usuelles

Suites arithmétiques

Suites géométriques

Suites arithmético-géométriques

Suites homographiques

Voir aussi

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link