Opérations sur les ensembles

Opérations sur les ensembles

Opération ensembliste

Les opérations ensemblistes sont les opérations mathématiques faites sur les ensembles, sans soccuper de la nature des éléments qui composent ces ensembles. Les opérations booléennes (réunion, intersection, complémentaire ...) sont traitées dans l'article algèbre des parties d'un ensemble.

Sommaire

Ensemble des parties

Lensemble des parties d'un ensemble E, noté habituellement \mathcal{P}(E) ou \mathfrak{P}(E), est, comme son nom lindique, lensemble formé par tous les sous-ensembles de lensemble E:

 \mathfrak{P}(E) = \{ A | A \subseteq E \}

Par exemple si A = {a,b}, \mathfrak{P}(A)={Ø,{a},{b},A}

Lexistence de lensemble des parties est assurée par un axiome, laxiome de l'ensemble des parties. Cet axiome exprime en substance que pour tout ensemble E, il existe un ensemble F contenant tous les sous-ensembles de E.

Lunicité de lensemble des parties est assurée par un autre axiome, laxiome d'extensionnalité.

Lensemble des parties dun ensemble, muni de la réunion, de lintersection et de linclusion forme une algèbre de Boole.

Lensemble des parties dun ensemble, muni de la différence symétrique et de lintersection forme un corps commutatif. Si l'ensemble de départ est fini, de cardinal n, alors ce corps est isomorphe à   \mathbb{F}_{2^n}, corps fini à 2n éléments.

Produit cartésien

Le produit cartésien, noté  A \times B (lire « A croix B »), de deux ensembles A et B est lensemble des couples dont la première composante vient de A et la seconde de B :

 A \times B = \{ (x, y) | (x \in A) \wedge (y \in B) \}

On a pour A et B finis: \mathrm{card}(A \times B) = \mathrm{card}(A) \;\mathrm{card}(B)

Somme disjointe

La différence symétrique de deux ensembles A et B ne doit pas être confondue avec leur somme disjointe, notée A + B \,,A \dot\cup B \, ou encore A \sqcup B :

A + B = (\{ 0 \}\times A) \cup (\{ 1 \} \times B) = \{ ( 0, x) | (x \in A) \} \cup \{ ( 1, x) | (x \in B) \}\,

Les symboles  0\, et  1\, dans la définition précédente peuvent être remplacés par dautres, par exemple  \empty et  \{\empty\} . La seule exigence est que les deux symboles utilisés différent lun de lautre.

La somme disjointe a été conçue pour que, contrairement à la réunion, le cardinal de son résultat soit toujours la somme des cardinaux des ensembles concernés :

 \mathrm{card}( A + B ) = \mathrm{card}( A ) + \mathrm{card}( B)\,

Elle peut être utilisée comme substitut à la notion de couple densembles, surtout quand ces ensembles sont susceptibles dêtre des classes.

Exponentiation

On définit F^E \, comme lensemble des applications de E dans F.

On peut alors identifier lensemble des parties dun ensemble E, \mathfrak P(E), à \{0,1\}^E \, ; cela revient en effet à identifier chaque partie de E à son indicatrice.

On peut aussi considérer le produit cartésien \bigotimes_{i\in I}E_i comme étant lensemble EI.

Voir aussi

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