Théorèmes élémentaires sur les limites

Théorèmes élémentaires sur les limites

Opérations sur les limites

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Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires
Algèbre
Logique
Arithmétique
Probabilités
Statistiques

Cette page est une annexe de l'article limite (mathématiques élémentaires), qui explique comment traduire en termes de limites les opérations usuelles : addition, multiplication, composition...

Tous les résultats listés ici sont valables à la fois pour les limites de fonctions et pour les limites de suites

Sommaire

Opérations algébriques

On considère ici le cas où on effectue les opérations algébriques élémentaires sur des fonctions ou des suites dont on connaît les limites. Dans la plupart des cas on peut conclure mais parfois une étude supplémentaire est nécessaire, on parle de forme indéterminée, ou FI. Ces cas seront traités à part.

Multiplication par un réel

On peut multiplier une suite u = (un) ou une fonction f par un réel fixé k ; on obtient alors :

  • La suite ku = ((ku)n) définie par : \forall n \in \N,(ku)_n = k \times u_n
  • La fonction kf définie par : \forall x \in \R,(kf)(x) = k \times f(x)

Alors on peut écrire le tableau suivant, selon que la suite converge vers une limite finie \ell ou diverge vers \pm\infty  :

\lim u_n \ell -\infty +\infty
\lim (ku)_n k > 0 k\ell -\infty +\infty
k < 0 k\ell +\infty -\infty

On a exactement le même tableau pour les cas d'une fonction f. Que ce soit pour une limite en un point a \in  \R ou pour une limite en \pm\infty on écrira \lim f . La limite de kf est :

\lim f \ell -\infty +\infty
\lim kf k > 0 k\ell -\infty +\infty
k < 0 k\ell +\infty -\infty

Addition

On peut additionner deux suites u = (un) et v = (vn) ou deux fonctions f et g :

  • La suite u + v est définie par : \forall n \in \N, (u+v)_n = u_n+v_n
  • La fonction f + g est définie par : \forall x \in \R, (f+g)(x) = f(x)+g(x)

On peut donner la limite de la suite u + v en fonction des limites respectives des suites u et v. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

  \lim v
\ell' -\infty +\infty
\lim u \ell \ell + \ell' -\infty +\infty
-\infty -\infty -\infty FI
+\infty +\infty FI +\infty

On a exactement le même tableau pour la limite de f + g en fonction des limites respectives de f et de g.

  \lim g
\ell' -\infty +\infty
\lim f \ell \ell + \ell' -\infty +\infty
-\infty -\infty -\infty FI
+\infty +\infty FI +\infty

Multiplication

On peut multiplier deux suites u = (un) et v = (vn) ou deux fonctions f et g :

  • La suite u \times v est définie par : \forall n \in \N, (u \times v)_n = u_n \times v_n
  • La fonction f \times g est définie par : \forall x \in \R, (f \times g)(x) = f(x) \times g(x)

On peut donner la limite de la suite u \times v en fonction des limites respectives des suites u et v. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

  \lim v
\ell'<0 \ell'>0 0 -\infty +\infty
\lim u \ell<0 \ell \ell' \ell \ell' 0 +\infty -\infty
\ell>0 \ell \ell' \ell \ell' 0 -\infty +\infty
0 0 0 0 FI FI
-\infty +\infty -\infty FI +\infty -\infty
+\infty -\infty +\infty FI -\infty +\infty

On a exactement le même tableau pour la limite de f \times g en fonction des limites respectives de f et de g.

  \lim g
\ell'<0 \ell'>0 0 -\infty +\infty
\lim f \ell<0 \ell \ell' \ell \ell' 0 +\infty -\infty
\ell>0 \ell \ell' \ell \ell' 0 -\infty +\infty
0 0 0 0 FI FI
-\infty +\infty -\infty FI +\infty -\infty
+\infty -\infty +\infty FI -\infty +\infty

Division

On peut diviser une suite u = (un) par une suite v = (vn) vérifiant \forall n\in \N,v_n \neq 0 ou une fonction f par une fonction g vérifiant g(x) \neq 0 pour tout x au voisinage du point considéré :

  • La suite \tfrac{u}{v} est définie par : \forall n \in \N, \left(\tfrac{u}{v}\right)_n = \tfrac{u_n}{v_n}
  • La fonction \tfrac{f}{g} est définie par : \left(\tfrac{f}{g}\right)(x) = \tfrac{f(x)}{g(x)} pour tous les x tels que g(x) \neq 0

On peut donner la limite de la suite \tfrac{u}{v} en fonction des limites respectives des suites u et v. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

  \lim v
\ell'<0 \ell'>0 0 0 + -\infty +\infty
\lim u \ell<0 \frac{\ell}{\ell'} \frac{\ell}{\ell'} +\infty -\infty 0( + ) 0( − )
\ell>0 \frac{\ell}{\ell'} \frac{\ell}{\ell'} -\infty +\infty 0( − ) 0( + )
0 0( + ) 0( − ) FI FI 0( + ) 0( − )
0 + 0( − ) 0( + ) FI FI 0( − ) 0( + )
-\infty +\infty -\infty +\infty -\infty FI FI
+\infty -\infty +\infty -\infty +\infty FI FI

On a exactement le même tableau pour la limite de \frac{f}{g} en fonction des limites respectives de f et de g.

  \lim g
\ell'<0 \ell'>0 0 0 + -\infty +\infty
\lim f \ell<0 \frac{\ell}{\ell'} \frac{\ell}{\ell'} +\infty -\infty 0( + ) 0( − )
\ell>0 \frac{\ell}{\ell'} \frac{\ell}{\ell'} -\infty +\infty 0( − ) 0( + )
0 0( + ) 0( − ) FI FI 0( + ) 0( − )
0 + 0( − ) 0( + ) FI FI 0( − ) 0( + )
-\infty +\infty -\infty +\infty -\infty FI FI
+\infty -\infty +\infty -\infty +\infty FI FI

Formes indéterminées

Les formes indéterminées sont soit de type additif : +\infty - (+\infty), soit de type multiplicatif : 0 \times \pm\infty , \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\pm\infty}{\pm\infty} . Pour parvenir à lever l'indétermination, on utilise une ou plusieurs des techniques suivantes :

Les articles suivants traitent plus en détails ces techniques :

Exemple  :

On cherche à calculer

\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4}\right)

Or,

\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^4} = +\infty

donc on est dans un cas de forme indéterminée « additive » ; on factorise l'expression :

\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4} = \frac{1}{x^4} \times (x-1)
\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^4} = +\infty et \lim_{x \to 0^+} (x-1) = -1

donc on peut conclure d'après les règles sur la multiplication :

\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4}\right) = -\infty

Composition

Composition de deux fonctions

La lecture de l'article Composition de fonctions peut aider à la compréhension de ce qui suit

Propriété

Soient :

  • g une fonction définie sur J;
  • f une fonction définie sur I telle que f(I)\subset J;
  • a\in I ou a une borne de I.

Si :

  • \lim_{x\to a}f(x) = b
  • \lim_{x\to b}g(x) = l

Alors \lim_{x\to a}g\circ f (x)=l

Interprétation schématique


\begin{array}{ccccc}
  I & \overset{f}{\longrightarrow} & J & \overset{g}{\longrightarrow} & \mathbb{R} \\
  a & \to & \underset{x\to a}{\lim}f(x) & & \\
  & & \shortparallel & & \\
  & & b & \to & \underset{X\to b}{\lim}g(X) \\
  & & & & \shortparallel \\
  & & & & l \\
\end{array}

Exemple

Soit f la fonction définie sur ]1;+\infty[ par f(x)= \ln \left(\frac{x}{x-1}\right). On cherche la limite de f en 1 + .

On peut schématiser le problème par :


\begin{array}{ccccc}
  x & \to & \cfrac{x}{x-1} & & \\
  & & \shortparallel & & \\
  & & X & \to & \ln X \\
  1^+ & \to & +\infty & \to & +\infty
\end{array}

Plus formellement :

  • \lim_{x\to 1^+} \frac{x}{x-1} = +\infty;
  • \lim_{X\to +\infty} \ln X = +\infty.

Par composition de limites : \lim_{x\to 1^+}f(x) = +\infty

Composition d'une fonction et d'une suite

Voir aussi

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