Théorèmes élémentaires sur les limites

Opérations sur les limites

Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires

Cette page est une annexe de l'article limite (mathématiques élémentaires), qui explique comment traduire en termes de limites les opérations usuelles : addition, multiplication, composition...

Tous les résultats listés ici sont valables à la fois pour les limites de fonctions et pour les limites de suites

Articles détaillés : limite (mathématiques), limite (mathématiques élémentaires) et limites de référence.

Sommaire

1 Opérations algébriques
2 Composition
- 2.1 Composition de deux fonctions
- 2.2 Composition d'une fonction et d'une suite
3 Voir aussi

Opérations algébriques

On considère ici le cas où on effectue les opérations algébriques élémentaires sur des fonctions ou des suites dont on connaît les limites. Dans la plupart des cas on peut conclure mais parfois une étude supplémentaire est nécessaire, on parle de forme indéterminée, ou FI. Ces cas seront traités à part.

Multiplication par un réel

On peut multiplier une suite $u = (u n)$ ou une fonction $f$ par un réel fixé $k$ ; on obtient alors :

La suite $k u = ((k u) n)$ définie par : $\forall n \in \N,(ku)_n = k \times u_n$

La fonction $k f$ définie par : $\forall x \in \R,(kf)(x) = k \times f(x)$

Alors on peut écrire le tableau suivant, selon que la suite converge vers une limite finie $\ell$ ou diverge vers $\pm\infty$ :

$\lim u_n$		$\ell$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim (ku)_n$	$k > 0$	$k\ell$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim (ku)_n$	$k < 0$	$k\ell$	$+\infty$	$-\infty$

On a exactement le même tableau pour les cas d'une fonction $f$ . Que ce soit pour une limite en un point $a \in \R$ ou pour une limite en $\pm\infty$ on écrira $\lim f$ . La limite de $k f$ est :

$\lim f$		$\ell$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim kf$	$k > 0$	$k\ell$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim kf$	$k < 0$	$k\ell$	$+\infty$	$-\infty$

Addition

On peut additionner deux suites $u = (u n)$ et $v = (v n)$ ou deux fonctions $f$ et $g$ :

La suite $u + v$ est définie par : $\forall n \in \N, (u+v)_n = u_n+v_n$

La fonction $f + g$ est définie par : $\forall x \in \R, (f+g)(x) = f(x)+g(x)$

On peut donner la limite de la suite $u + v$ en fonction des limites respectives des suites $u$ et $v$ . Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

		$\ell'$	$-\infty$	$+\infty$
		$\lim v$
$\lim u$	$\ell$	$\ell + \ell'$	$-\infty$	$+\infty$
	$-\infty$	$-\infty$	$-\infty$	FI
	$+\infty$	$+\infty$	FI	$+\infty$

On a exactement le même tableau pour la limite de $f + g$ en fonction des limites respectives de $f$ et de $g$ .

		$\ell'$	$-\infty$	$+\infty$
		$\lim g$
$\lim f$	$\ell$	$\ell + \ell'$	$-\infty$	$+\infty$
	$-\infty$	$-\infty$	$-\infty$	FI
	$+\infty$	$+\infty$	FI	$+\infty$

Multiplication

On peut multiplier deux suites $u = (u n)$ et $v = (v n)$ ou deux fonctions $f$ et $g$ :

La suite $u \times v$ est définie par : $\forall n \in \N, (u \times v)_n = u_n \times v_n$

La fonction $f \times g$ est définie par : $\forall x \in \R, (f \times g)(x) = f(x) \times g(x)$

On peut donner la limite de la suite $u \times v$ en fonction des limites respectives des suites $u$ et $v$ . Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

		$\ell'<0$	$\ell'>0$	$0$	$-\infty$	$+\infty$
		$\lim v$
$\lim u$	$\ell<0$	$\ell \ell'$	$\ell \ell'$	$0$	$+\infty$	$-\infty$
	$\ell>0$	$\ell \ell'$	$\ell \ell'$	$0$	$-\infty$	$+\infty$
	$0$	$0$	$0$	$0$	FI	FI
	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI	$+\infty$	$-\infty$
	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI	$-\infty$	$+\infty$

On a exactement le même tableau pour la limite de $f \times g$ en fonction des limites respectives de $f$ et de $g$ .

		$\ell'<0$	$\ell'>0$	$0$	$-\infty$	$+\infty$
		$\lim g$
$\lim f$	$\ell<0$	$\ell \ell'$	$\ell \ell'$	$0$	$+\infty$	$-\infty$
	$\ell>0$	$\ell \ell'$	$\ell \ell'$	$0$	$-\infty$	$+\infty$
	$0$	$0$	$0$	$0$	FI	FI
	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI	$+\infty$	$-\infty$
	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI	$-\infty$	$+\infty$

Division

On peut diviser une suite $u = (u n)$ par une suite $v = (v n)$ vérifiant $\forall n\in \N,v_n \neq 0$ ou une fonction $f$ par une fonction $g$ vérifiant $g(x) \neq 0$ pour tout $x$ au voisinage du point considéré :

La suite $\tfrac{u}{v}$ est définie par : $\forall n \in \N, \left(\tfrac{u}{v}\right)_n = \tfrac{u_n}{v_n}$

La fonction $\tfrac{f}{g}$ est définie par : $\left(\tfrac{f}{g}\right)(x) = \tfrac{f(x)}{g(x)}$ pour tous les $x$ tels que $g(x) \neq 0$

On peut donner la limite de la suite $\tfrac{u}{v}$ en fonction des limites respectives des suites $u$ et $v$ . Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

		$\ell'<0$	$\ell'>0$	$0 -$	$0 +$	$-\infty$	$+\infty$
		$\lim v$
$\lim u$	$\ell<0$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$+\infty$	$-\infty$	$0 ( + )$	$0 ( - )$
	$\ell>0$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$-\infty$	$+\infty$	$0 ( - )$	$0 ( + )$
	$0 -$	$0 ( + )$	$0 ( - )$	FI	FI	$0 ( + )$	$0 ( - )$
	$0 +$	$0 ( - )$	$0 ( + )$	FI	FI	$0 ( - )$	$0 ( + )$
	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI	FI
	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI	FI

On a exactement le même tableau pour la limite de $\frac{f}{g}$ en fonction des limites respectives de $f$ et de $g$ .

		$\ell'<0$	$\ell'>0$	$0 -$	$0 +$	$-\infty$	$+\infty$
		$\lim g$
$\lim f$	$\ell<0$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$+\infty$	$-\infty$	$0 ( + )$	$0 ( - )$
	$\ell>0$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$-\infty$	$+\infty$	$0 ( - )$	$0 ( + )$
	$0 -$	$0 ( + )$	$0 ( - )$	FI	FI	$0 ( + )$	$0 ( - )$
	$0 +$	$0 ( - )$	$0 ( + )$	FI	FI	$0 ( - )$	$0 ( + )$
	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI	FI
	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI	FI

Formes indéterminées

Les formes indéterminées sont soit de type additif : $+\infty - (+\infty)$ , soit de type multiplicatif : $0 \times \pm\infty$ , $\tfrac{0}{0}$ ou $\tfrac{\pm\infty}{\pm\infty}$ . Pour parvenir à lever l'indétermination, on utilise une ou plusieurs des techniques suivantes :

On essaye de transformer l'écriture (factorisation, développement, etc.)
On utilise les résultats sur les croissances comparées des fonctions usuelles (voir Limites de référence)
On applique les propriétés classiques des limites

Les articles suivants traitent plus en détails ces techniques :

Exemple :

On cherche à calculer

$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4}\right)$

Or,

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^4} = +\infty$

donc on est dans un cas de forme indéterminée « additive » ; on factorise l'expression :

$\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4} = \frac{1}{x^4} \times (x-1)$

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^4} = +\infty$ et $\lim_{x \to 0^+} (x-1) = -1$

donc on peut conclure d'après les règles sur la multiplication :

$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4}\right) = -\infty$

Composition

Composition de deux fonctions

La lecture de l'article Composition de fonctions peut aider à la compréhension de ce qui suit

Propriété

Soient :

$g$ une fonction définie sur $J$ ;
$f$ une fonction définie sur $I$ telle que $f(I)\subset J$ ;
$a\in I$ ou $a$ une borne de $I$ .

Si :

$\lim_{x\to a}f(x) = b$
$\lim_{x\to b}g(x) = l$

Alors $\lim_{x\to a}g\circ f (x)=l$

Interprétation schématique

$\begin{array}{ccccc} I & \overset{f}{\longrightarrow} & J & \overset{g}{\longrightarrow} & \mathbb{R} \\ a & \to & \underset{x\to a}{\lim}f(x) & & \\ & & \shortparallel & & \\ & & b & \to & \underset{X\to b}{\lim}g(X) \\ & & & & \shortparallel \\ & & & & l \\ \end{array}$

Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)= \ln \left(\frac{x}{x-1}\right)$ . On cherche la limite de $f$ en $1 +$ .

On peut schématiser le problème par :

$\begin{array}{ccccc} x & \to & \cfrac{x}{x-1} & & \\ & & \shortparallel & & \\ & & X & \to & \ln X \\ 1^+ & \to & +\infty & \to & +\infty \end{array}$

Plus formellement :

$\lim_{x\to 1^+} \frac{x}{x-1} = +\infty$ ;
$\lim_{X\to +\infty} \ln X = +\infty$ .

Par composition de limites : $\lim_{x\to 1^+}f(x) = +\infty$

Composition d'une fonction et d'une suite

Voir aussi

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