Opérations sur les équivalents

Opérations sur les équivalents

Dans cet article, on fait le point sur les opérations valides sur les équivalents de fonctions, en analyse mathématique.

Sommaire

Règles simples

Inversion

Soient f,g deux fonctions qui ne s'annulent pas au voisinage de a (sauf peut-être en a). Alors leurs inverses sont définies, et l'on a :

si f∼ag, on a \frac{1}{f}\sim_a\frac{1}{g}.
Démonstration
Tout simplement, on sait qu'on a \frac{f}{g}\to 1 quand x \to a. Tenant compte des opérations sur les limites, on a donc \frac{\frac{1}{f}}{\frac{1}{g}}=\frac{g}{f}=\frac{1}{\frac{f}{g}}\to 1, et donc \frac{1}{f} et \frac{1}{g} sont équivalentes en a.
 

Produit

Si f1∼ag1 et f2∼ag2 alors f_1 \cdot f_2\sim_a g_1 \cdot g_2.

Démonstration
On fait la démonstration dans le cas plus simple où on peut caractériser l'équivalence par la limite du quotient. On a ainsi : \frac{f_1}{g_1} et \frac{f_2}{g_2} tendent vers 1 quand x\to a et il en est donc de même pour leur produit . C'est-à-dire : \frac{f_1 f_2}{g_1 g_2}\to 1. Cela signifie bien que f1f2 et g1g2 sont équivalentes.
 

Multiplication par un scalaire

Soit \lambda \in \mathbb{C}^*.

Si f \sim_a g alors \lambda f \sim_a \lambda g~.
Démonstration
C'est un cas particulier de la règle sur le produit des équivalents avec (f2,g2) = (f,g) et les fonctions f1,g1 constantes égales à λ.
 

Quotient

(En supposant, pour que les quotients soient définis, que f2 et g2 ne s'annulent pas au voisinage de a, sauf peut-être en a) :

si f1∼ag1 et f2∼ag2 alors \frac{f_1}{f_2} \sim_a \frac{g_1}{g_2}.
Démonstration
D'après la règle sur l'inversion, on a \frac{1}{f_2}\sim_a \frac{1}{g_2}. On applique ensuite la règle sur le produit.
 

Puissance

Soit n \in \mathbb{N}^*.

Si f \sim_a g alors f^{n} \sim_a g^{n} \,\!.
Démonstration
C'est un cas particulier de la règle sur le produit des équivalents. f^n=f \,\!×...×f~, n fois.
 

Composition

Il n'existe pas de théorème général. Cependant, on peut remarquer certains cas particuliers.

Composition à droite par une même fonction

Si lim ag = b et si f_1\sim_bf_2~ alors f_1\circ g\sim_af_2\circ g

démonstration
Par le théorème de composition des limites, quand x\to a, \frac{f_1\circ g}{f_2\circ g}(x)=\Big(\Big(\frac{f_1}{f_2}\Big)\circ g\Big)(x)\to\lim_b\Big(\frac{f_1}{f_2}\Big)=1.
 

On en déduit en particulier : si lim ag = 1 alors (\ln\circ g)\sim_a (g-1).

démonstration
Il suffit d'appliquer la propriété précédente pour b=1,\ f_1=\ln,\ f_2(y)=y-1. On sait en effet que \ln(y)\sim_{y\to 1}y-1, puisque \lim_{y\to 1}\frac{\ln y}{y-1}=\lim_{y\to 1}\frac{\ln y-\ln 1}{y-1}= la dérivée du logarithme en 1, qui vaut 1.
 

Composition à gauche par le logarithme

(En supposant, pour que leurs logarithmes soient définis, que f et g sont strictement positives au voisinage de a) :

si f \sim_a g et si, au voisinage de a, g "ne s'approche pas" de la valeur 1, c'est-à-dire si 1/(\ln\circ g) est bornée, alors \ln \circ f \sim_a \ln \circ g.
démonstration

On a :
\frac{\ln(f(x))}{\ln(g(x))} = \frac{\ln(\frac{f(x)}{g(x)}g(x))}{\ln(g(x))} = \frac{\ln(\frac{f(x)}{g(x)})+\ln(g(x))}{\ln(g(x))} = \frac{\ln(\frac{f(x)}{g(x)})}{\ln(g(x))}+1

De plus, \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = 1 donc \lim_{x \to a}{\ln \frac{f(x)}{g(x)}} = \ln(1) = 0. Or quand on multiplie une fonction qui tend vers 0 par une fonction bornée, le produit tend vers 0. Donc \lim_{x \to a}\frac{\ln(\frac{f(x)}{g(x)})}{\ln(g(x))} = 0\, donc \lim_{x \to a}\frac{\ln(f(x))}{\ln(g(x))} = 1 donc \ln \circ f \sim_a \ln \circ g
 

Remarque : dans le cas particulier où \lim_ag=b\neq 1, ce résultat est immédiat puisqu'alors f\sim_a g\Rightarrow\lim_af=b\Rightarrow\lim_a\ln\circ f=\ln(b)=\lim_a\ln\circ g, ce qui (puisque \ln(b)\neq 0) entraîne \ln \circ f \sim_a \ln \circ g.

Composition à gauche par l'exponentielle

\lim_{x \to a}{(f-g)(x)}=0 \Rightarrow e^f \sim_a e^g

démonstration
\lim_{x \to a}{(f-g)(x)}=0 \Rightarrow \lim_{x \to a}{e^{(f-g)(x)}} = e^0 = 1 \Rightarrow \lim_{x \to a}{\frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}} = 1 \Rightarrow e^f \sim_a e^g\,
 

Erreurs à éviter, contre-exemples

Somme, différence

Dans le cas général, on ne peut pas faire la somme ou la différence de fonctions équivalentes ; il faut donc repasser par la limite du quotient.

Par exemple, on a \left\{\begin{array}{l}x+x^2\sim_0x \\ -x+x^3\sim_0 -x \end{array} \right.

mais (x+x^2)+(-x+x^3)=(x^2+x^3)\nsim_0 0=x+(-x).

Composition à gauche par l'exponentielle

Si f \sim_a g, on ne peut pas en déduire e^f~\sim_a e^g.

Par exemple x+1 \sim_\infty x,

mais e^{x+1}=ee^x \nsim_{+\infty} e^x.

L'hypothèse lim a(f − g) = 0 est indispensable (voir l'énoncé plus haut).

Composition à gauche par le logarithme

Si f \sim_a g mais si \lim_ag=1, on ne peut conclure \ln \circ f \sim_a \ln \circ g.

En effet, on a dans ce cas (voir plus haut) \ln\circ g\sim_a(g-1) et \ln\circ f\sim_a(f-1), or en général (f-1)\nsim_a(g-1)~.

Par exemple quand x tend vers 0, 1+2x~ et 1+x~ tendent toutes deux vers 1 (donc sont équivalentes), mais \ln(1+2x)\sim_0 2x \nsim_0 x \sim_0 \ln(1+x).

L'hypothèse que g "ne s'approche pas" de 1 est indispensable (voir énoncé plus haut).


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Opérations sur les équivalents de Wikipédia en français (auteurs)

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