Theoreme de composition des limites

Theoreme de composition des limites

Théorème de composition des limites

En mathématiques, le théorème de composition des limites est un théorème de base de l'analyse réelle. Elle permet d'exprimer une limite d'une fonction composée en fonction des limites des fonctions la composant.

Enoncé

Théorème —  Soient f une application de I dans \R, g une application de J dans \R où I et J sont deux intervalles de \R contenant au moins deux points (c'est-à-dire d'intérieur non vide) et tels que f(I) \subset J. Soit a un point ou une extrémité de I.

On suppose que

\lim_{x \to a} f(x)=\ell;

où \ell est un point ou une extrémité de J et que

\lim_{x \to \ell} g(x)=\ell'\in \R\cup\{-\infty,+\infty\}.

Alors

\lim_{x \to a} (g\circ f)(x)=\ell'.
Démonstration

Elle s'adapte à chaque cas (selon si a ou \ell ou \ell' sont des extrémités ou non, puis lesquelles). Traitons l'exemple pour a réel, \ell=+\infty et \ell'=-\infty.

Comme

\lim_{x \to a} f(x)=+\infty;

pour tout γ réel, il existe α > 0 tel que pour tout x\in I

|x-a|<\alpha \Longrightarrow f(x)>\gamma.

Comme a est un point ou une extrémité de I, il existe x_0 \in I tel que | x0 − a | < α. On a donc f(x_0) \in J >\gamma. Donc pour tout γ réel, il existe y \in J tel que y > γ. Donc comme c'est un intervalle, J est du type [\omega,+\infty].

Montrons maintenant que

\lim_{x \to a} (g\circ f)(x)=-\infty.

Par la deuxième hypothèse on peut se donner A un réel puis B un réel tel que pour tout x \in J

x>B \Longrightarrow g(x)<A.

Soit C un réel positif tel que pour tout x \in I

|x-a|<C \Longrightarrow f(x)>B.

On a alors pour tout x \in I

|x-a|<C \Longrightarrow g(f(x))<A;

d'où le résultat.

Exemple

Calculons

\lim_{x \to +\infty} \ln \left( \frac{1}{x} \right).

Le domaine d'arrivée de la fonction inverse, restreinte aux réels positifs est bien contenu dans le domaine de définition du logarithme naturel. Clairement on a

\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x}=0.

On calcule donc la limite de ln à la limite trouvée précédemment:

\lim_{x \to 0^+} \ln(x)=-\infty.

Finalement, on a

\lim_{x \to +\infty} \ln\left(\frac{1}{x} \right)=-\infty.
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