Fonction centrale d'un groupe fini

En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes une fonction centrale est une fonction définie sur un groupe et constante sur chaque classe de conjugaison.

Les fonctions centrales possèdent un rôle particulier dans le cadre de la théorie des représentations des groupes finis. Si, par exemple, le corps K de la représentation est égal au corps des nombres complexes, l'espace vectoriel des fonctions centrales à valeurs dans les nombres complexes, peut être muni d'un produit hermitien tel que l'ensemble des caractères irréductibles soit une base orthonormale.

Sommaire

1 Définition et exemples
- 1.1 Définition
- 1.2 Exemples
2 Propriétés
3 Notes et références
- 3.1 Liens externes
- 3.2 Références

Définition et exemples

Définition

Soient G un groupe fini, une application définie sur G est dite fonction centrale si et seulement si elle est constante sur chaque classe de conjugaison.

Cette propriété s'exprime de la manière suivante, f une fonction définie sur G est centrale si et seulement si :

$\forall s,t \in G \quad f(tst^{-1}) = f(s)$

ou encore ( en posant $u = t s, v = t - 1$ )

$\forall u,v \in G \quad f(uv) = f(vu)$

Exemples

On peut citer la fonction associée à la formule des classes de l'article sur les actions de groupe qui, à un élément s de G associe le cardinal de sa classe de conjugaison.

Soit H un groupe abélien et φ un morphisme de groupe de G dans H, alors φ est une fonction centrale. En effet, soit s et t deux éléments conjugués de G, alors il existe u élément de G tel que s = u.t.u^-1. En conséquence φ(s) est égal à φ(u).φ(t).φ(u)^-1, et comme H est abélien, φ(s) est égal à φ(t).

Soient V un espace vectoriel sur un corps commutatif K et (V, ρ) une représentation de G, alors le caractère de ρ est une fonction centrale à valeur dans K.

Propriétés

Propriétés élémentaires

Dans le cas où le groupe G est abélien, alors toute fonction définie sur G est une fonction centrale.

Pour s'en convaincre, il suffit de remarquer que les classes de conjugaison sont toutes des singletons.

L'espace des fonctions centrales F_c de G à valeur dans un corps K est un sous-espace vectoriel de K^G de dimension égale au nombre de classes conjuguées de G.

Pour valider le fait que F_c est un sous-espace, il suffit de vérifier que l'ensemble est non vide, or il contient la fonction nulle, et qu'il est stable par combinaison linéaire. Soit s et t deux éléments de G appartenant à la même classe de conjugaison :

$\forall \lambda_1,\lambda_2 \in K \; \forall f_1,f_2 \in F_c\quad (\lambda_1.f_1+\lambda_2.f_2)(s)=\lambda_1.f_1(s) + \lambda_2.f_2(s)=\lambda_1.f_1(t) + \lambda_2.f_2(t)=(\lambda_1.f_1+\lambda_2.f_2)(t)$

Déterminons la dimension de F_c. Soit h l'entier égal au nombre de classes de conjugaison et c_i pour i variant de 1 à h les différentes classes de conjugaison. On définit f_i la fonction égale à un sur c_i et zéro sinon. La famille (f_i) est une base de F_c contenant h éléments, ce qui démontre que sa dimension est égale à h.

Fonctions centrales et caractères

Article détaillé : Lemme de Schur.

On considère ici les représentations et caractères irréductibles à valeur dans le corps K ayant les propriétés décrites dans le paragraphe sur le caractère. On note χ₁, ..., χ_h les h caractères irréductibles. L'analyse de la représentation régulière de G montre en effet que, si G est d'ordre fini, il existe un nombre fini de représentations irréductibles. L'espace K^G est muni du produit hermitien défini au paragraphe Caractère.

La famille (χ₁, ..., χ_h) est une base orthonormale de l'espace F_c des fonctions centrales à valeur dans C.

Ce résultat est essentiel pour l'étude des caractères des représentations des groupes finis. Il admet le corollaire immédiat suivant :

Il existe autant de représentations irréductibles distinctes que de classes de conjugaison dans le groupe.

On dispose enfin de la proposition suivante :

Soit n la fonction de G dans l'ensemble des entiers positifs qui à s associe le cardinal de la classe de conjugaison de s, alors si s et t désignent deux éléments de G non conjugués, les égalités suivantes sont vérifiées:

$\sum_{i=1}^h \chi_i(s).\chi_i^*(s) = \frac {g}{n(s)} \quad et \quad \sum_{i=1}^h \chi_i(s).\chi_i^*(t)=0$

Dans le cas où K est de caractéristique nulle et est différent du corps des nombres complexes, alors les résultats sont vrais si K contient le corps de décomposition du polynôme X^g - 1. Si K est de caractéristique fini p, le résultat est encore vrai si p est premier avec g et si K contient un corps de décomposition de X^g - 1.

Démonstrations

Pour démontrer le fait que les caractères irréductibles forment une base, un lemme est nécessaire :

Soient (V, ρ) une représentation irréductible de degré n et de caractère χ sur K, f une fonction centrale à valeur dans K et ρ_f l'endomorphisme de V défini par l'égalité suivante. Alors ρ_f est une homothétie de rapport g/n <f^*,χ>.

$\forall v \in V \quad \rho_f(v)=\sum_{s \in G} f(s).\rho_s(v)$

Le lemme de Schur et plus précisément le corollaire 1 dans l'article associé montre que si les égalités suivantes sont vérifiées, alors ρ_f est une homothétie :

$\forall t \in G \quad \rho_f\circ\rho_t=\rho_t\circ\rho_f$

Or, on a les égalités suivantes :

$\forall t \in G \quad \rho_t^{-1}\circ\rho_f\circ\rho_t=\sum_{s \in G} f(s).\rho_t^{-1}\circ\rho_s\circ\rho_t=\sum_{s \in G} f(s).\rho_{t^{-1}st}= \sum_{u \in G} f(tut^{-1}).\rho_u=\sum_{u \in G} f(u).\rho_u=\rho_f$

La dernière égalité est la conséquence du fait que l'application qui à u associe t ^-1ut est un automorphisme, de plus s peut toujours s'écrire t ^-1ut et, comme la fonction est une bijection, sommer sur s ou sur u est équivalent. Enfin u et s sont conjugués donc ont même image par f.

Soit λ le rapport de l'homothétie. Si Tr(ρ_f) désigne la trace de ρ_f alors elle est égale à n.λ et donc :

$n.\lambda= Tr(\rho_f)=Tr\left(\sum_{s \in G} f(s).\rho_s\right)=g.\frac{1}{g}\left( \sum_{s \in G} f(s). Tr(\rho_s)\right)= g.\frac{1}{g}\left( \sum_{s \in G} f(s).\chi(s)\right)=g.<f^*|\chi>$

La famille (χ₁, ..., χ_h) est une base orthonormale de l'espace F_c des fonctions centrales à valeur dans C.

Le fait qu'ils forment une famille orthogonale est déjà démontré dans le paragraphe Orthogonalité de l'article sur les caractères. Il suffit donc de démontrer que la famille est génératrice, ou encore que si f est une fonction centrale à valeur dans K tel que f ^* est orthogonale à tous les caractères irréductibles, alors f est la fonction nulle.

Considérons i un entier compris entre 1 et h et (V_i, ρⁱ) une représentation irréductible de caractère χ_i. L'application ρⁱ_f est nulle, d'après le lemme car f ^* est orthogonale à χ_i. Considérons maintenant la représentation régulière (V, ρ), elle est somme directe de représentations irréductibles, donc ρ_f est aussi nulle. Soit e₁ le vecteur de la base canonique de V indexé par l'élément 1 du groupe G, on a les égalités :

$\rho_f(e_1)=\sum_{s \in G} f(s).\rho_s(e_1)=\sum_{s \in G} f(s).e_s=0$

Comme la famille (e_s) forme une base de V on en déduit que f(s) est égal à zéro pour tout s élément de G. Ce qui termine la démonstration.

Il existe autant de représentations irréductibles distinctes que de classes de conjugaison dans le groupe.

Ce résultat est une conséquence immédiate du fait que F_c est un sous-espace vectoriel de dimension le nombre de classes de conjugaison de G.

Soit n la fonction de G dans l'ensemble des entiers positifs qui à s associe le cardinal de la classe de conjugaison de s, alors si s et t désignent deux éléments de G non conjugués, les égalités suivantes sont vérifiées:

$\sum_{i=1}^h \chi_i(s).\chi_i^*(s) = \frac {g}{n(s)} \quad et \quad \sum_{i=1}^h \chi_i(s).\chi_i^*(t)=0$

Considérons la fonction centrale f_s qui vaut un sur la classe de s et zéro ailleurs. La décomposition sur la base orthonormée des caractères irréductibles montre que :

$f_s=\sum_{i=1}^h\alpha_i.\chi_i \quad avec \quad \alpha_i=<f_s|\chi_i>=\frac{n(s)}{g}.\chi_i(s)^*$

et donc :

$f_s(s)=1=\frac{n(s)}{g}.\sum_{i=1}^h\chi_i(s)\chi_i^*(s) \quad et \quad f_s(t)=0=\sum_{i=1}^h\chi_i(t)\chi_i^*(s)= \sum_{i=1}^h\chi_i(s)\chi_i^*(t)$

Fonctions centrales et algèbre du groupe

Article détaillé : Algèbre d'un groupe fini.

Il existe un autre axe d'analyse que celui des caractères, où la notion de fonction centrale apparaît naturellement. Il provient de l'algèbre du groupe. Cette algèbre, notée K[G], est constituée d'une base indexée par le groupe et de l'ensemble de ses combinaisons linéaires. La multiplication interne est donnée par la formule suivante :

$\forall (a_s)_{s\in G}\, , \, (b_t)_{t\in G}\in K^G \quad (\sum_{s\in G} a_s.s)(\sum_{t\in G} b_t.t)= \sum_{s\in G}\sum_{t\in G} a_sb_t.st$

Une telle algèbre possède une propriété forte, elle est semi-simple. Le théorème fondamental de cette structure à savoir celui d'Artin-Wedderburn s'applique et le cas considéré est celui où le corps est abélien et contient toutes les racines des polynômes minimaux d'une famille génératrice (ie la base canonique). Dans ce contexte, le théorème affirme que K[G] est somme directe d'algèbres des endomorphismes sur des K espaces vectoriel. Plus précisément, si (S_i) où i varie de 1 à h est une famille maximale d'espaces irréductibles non isomorphes deux à deux, alors :

$\mathbb K[G] \; \simeq \; \bigoplus_{i=1}^h \mathcal L_{\mathbb K}(S_i)$

et h est égal au nombre de classes de conjugaison du groupe. Le centre de K[G] possède des analogies avec l'ensemble des fonctions centrales.

Soit c une classe de conjugaison et d_c la somme des éléments de la base indexés par un élément de c. Le centre de K[G] est l'espace vectoriel engendré par les éléments d_c lorsque c parcourt l'ensemble des classes de conjugaison.

Si d_c est identifié à la classe c, les fonctions centrales apparaissent comme le dual du centre considéré comme un espace vectoriel. L'isomorphisme entre les fonctions centrales et le centre dépasse néanmoins ce cadre :

L'application φ défini ci-dessous, de l'espace des fonctions centrales K^C dans le centre de K[G] est un isomorphisme d'algèbre sur K.

$\forall f \in \mathbb K^G \quad \varphi (f) = \sum_{c \in C} f(c).d_c$

Le centre peut être vu de trois manières différentes, soit comme l'espace des fonctions centrales, soit comme une somme directe S d'algèbres d'endomorphismes d'espaces vectoriels L_K(S_i), soit comme un sous-espace vectoriel de K[G]. Si φ désigne l'isomorphisme de K[G] dans S défini précédemment, la relation entre les trois visions est la suivante, si χ_i est le caractère et d_i la dimension de S_i :

Soit u un élément du centre de K[G] et u_s ses coordonnées dans la base canonique, l'image de u par φ est une somme directe d'homothéties sur S_i de rapport λ_i avec :

$\forall i \in [1,h]\quad \lambda_i = \frac{1}{d_i}\sum_{s \in G} u_s \chi_i(s)$

Notes et références

Articles sur les Représentations d'un groupe d'ordre fini

Liens externes

(fr) Cours de représentation des groupes finis par M. Broué de l'université de Paris VII
(fr) Représentation linéaire des groupes finis, une introduction par D. Ferrand de l'université de Renne

Références

Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions]
(en) Marshall Hall, The theory of groups [détail des éditions]
Serge Lang, Algèbre, Dunod, 2004, 926 p. (ISBN 2100079808) [détail des éditions]
N. Bourbaki Algèbre, Chapitre VIII Paris, Hermann 1958

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Catégorie : Théorie des représentations

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