Fonction centrale

En théorie des groupes, une fonction centrale est une application définie sur un groupe et constante le long de ses classes de conjugaison. Les fonctions centrales à valeurs complexes interviennent dans l'étude des représentations d'un groupe compact ; les fonctions centrales complexes de carré intégrable apparaissent comme les éléments du centre de son algèbre hilbertienne (en), d'où leur nom.

Définition

Une application f définie sur un groupe G est dite centrale si pour tous s et t dans G, on a :

ou encore (via la bijection (s,t)↦(u=st,v=s ^-1))

Propriétés

Pour tout corps K, le groupe G agit naturellement à droite sur l'espace vectoriel K^G des applications de G dans K par : s.f:t↦f(sts^-1). Les fonctions centrales sur G à valeurs dans K sont donc les points fixes de cette représentation, et forment de ce fait un sous-espace vectoriel de K^G.

Cet espace vectoriel des fonctions centrales sur G à valeurs dans K est par ailleurs naturellement isomorphe à l'espace K^C, où C désigne l'ensemble des classes de conjugaison de G.

Exemples

• Sur un groupe abélien, toute fonction est centrale. En effet, les classes de conjugaison sont alors les singletons.
• Un exemple un tout petit peu moins trivial de fonctions centrales est celui des morphismes de groupes à valeurs dans un groupe abélien.
• Un autre est celui de l'application, d'un groupe de torsion G dans l'ensemble ℕ*, qui à chaque élément de G associe son ordre.
• Si G est un groupe topologique, on se restreint en général aux fonctions centrales mesurables, voire même continues.

Algèbre hilbertienne d'un groupe compact

Si G est un groupe compact, on note λ sa mesure de Haar définie comme l'unique mesure de probabilité invariante par translation à gauche, et L²(G) l'espace de Hilbert des fonctions complexes mesurables sur G et de carré λ-intégrable. Cet espace peut être muni :

• d'un produit associatif et distributif d'élément neutre la fonction constante égale à 1, le produit de convolution, défini par :

• d'une involution définie par :

Muni de ces lois, L²(G) est une algèbre de Banach involutive, et même une algèbre hilbertienne (en). L'étude de cette algèbre est liée à l'étude des représentations continues de G (lire Théorème de Peter-Weyl (en)).

Cette relation transparait dans l'étude du centre de L²(G). En effet, un calcul direct donne pour toutes fonctions mesurables f et g de carré intégrable :

Une fonction f appartient au centre de L²(G) si et seulement si pour toute fonction g∊L²(G), les convoluées f∗g et g∗f sont égales presque partout, donc partout car elles sont continues. De fait, cela équivaut à ce que pour presque tous u et v dans G, on a : f(uv)=f(vu).

Le centre de L²(G) est donc le sous-espace vectoriel fermé des (classes de) fonctions centrales mesurables sur G et de carré intégrable.

Caractère d'un groupe compact

Une représentation continue de dimension finie du groupe compact G est une application continue ρ:G→GL(V) où V est un espace vectoriel complexe de dimension finie.

Le caractère associé est la fonction centrale définie par :

Deux représentations équivalentes ont même caractère.

On appelle caractère irréductible un caractère associé à une représentation continue irréductible. Les caractères irréductibles appartiennent à L²(G), les caractères associés à deux représentations non équivalentes sont orthogonaux, et l'ensemble des caractères irréductibles forme une base hilbertienne de L²(G).

Pour un groupe fini G, le nombre de représentations irréductibles est le nombre des classes de conjugaison de G.

Articles connexes

• Fonction centrale sur un groupe fini
• C*-algèbre d'un groupe localement compact (en)

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